复变函数期末考试复习题及答案详解南京廖华答案网

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文章发布时间 : 2024/12/23 14:26:33星期一

《复变函数》考试试题（一） dz1、 ?|z?z?1(z?z)n?0|__________.（n为自然数） 022.sinz?cos2z? _________.

3.函数sinz的周期为___________.

f(z)?14.设

z2?1，则f(z)的孤立奇点有__________.

?5.幂级数

?nzn的收敛半径为__________.

n?06.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________. lim1?z2?...?zn7.若nlim??zn??z，则n??n?______________.

zRes(ezn,0)?8.

________，其中n为自然数.

9. sinzz的孤立奇点为________ .

limf(10.若z0是f(z)z?zz)?___的极点，则0.

三.计算题（40分）：

f(z)?11. 设

(z?1)(z?2)，求f(z)在D?{z:0?|z|?1}内的罗朗展式.

1dz2. ?|z|?1cosz.

2??13. 设

f(z)??3??7C??zd?，其中

C?{z:|z|?3}，试求f'(1?i).

w?z?14. 求复数

z?1的实部与虚部.

四. 证明题.(20分) 1. 函数

f(z)在区域D内解析. 证明：如果|f(z)|在D内为常数，那么它在

D内为常数.

2. 试证: f(z)?z(1?z)在割去线段0?Rez?1的z平面内能分出两

个单值解析分支, 并求出支割线0?Rez?1上岸取正值的那支在z??1的值.

《复变函数》考试试题（二）

二. 填空题. (20分)

1. 设z??i，则|z|?__,argz?__,z?__

设

f(z)?(x2?2xy)?i(1?sin(x2?y2),?z?x?iy?C，则

zlim?1?if(z)?________.

?dz|z?z0|?1(z?zn?_________.（n为自然数）

0)?4. 幂级数

?nzn的收敛半径为__________ .

n?05. 若z0是f(z)的m阶零点且m>0，则z0是f'(z)的_____零点. 6. 函数ez的周期为__________.

7. 方程2z5?z3?3z?8?0在单位圆内的零点个数为________.

8. 设f(z)?11?z2，则f(z)的孤立奇点有_________.

9. 函数f(z)?|z|的不解析点之集为________.

10. Res(z?1z4,1)?____. 三. 计算题. (40分)

1. 求函数

sin(2z3)的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数

z在正

实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点

z?i处的值.

i3. 计算积分：I???i|z|dz，积分路径为（1）单位圆（|z|?1）

的右半圆.

?sinzz?24. 求

(z??dz)22.

四. 证明题. (20分)

1. 设函数f(z)在区域D内解析，试证：f(z)在D内为常数的充要条件是f(z)在D内解析.

2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.

《复变函数》考试试题（三）

二. 填空题. (20分) 1. 设f(z)?1z2?1，则f(z)的定义域为___________. 2. 函数ez的周期为_________.

3. 若zn?21?n?i(1?1n?n)n，则limn??zn?__________.

4. sin2z?cos2z?___________.

dz5. ?|z?z?0|?1(z?zn_________.（n为自然数）

0)?6. 幂级数

?nxn的收敛半径为__________.

n?07. f(z)?1设

z2?1，则f(z)的孤立奇点有__________.

8. 设

ez??1，则z?___. 9. 若z0是

f(z)的极点，则limz?zf(z)?___.

0z10. Res(ezn,0)?____.

三. 计算题. (40分)

11. 将函数f(z)?z2ez在圆环域0?z??内展为Laurent级数.

??2. 试求幂级数?n!nzn的收敛半径. n?n3. 算下列积分：

?ezdzCz2(z2?9)，其中C是|z|?1.

4. 求z9?2z6?z2?8z?2?0在|z|<1内根的个数.

四. 证明题. (20分) 1. 函数

f(z)在区域D内解析. 证明：如果|f(z)|在D内为常

数，那么它在D内为常数.

2. 设

f(z)是一整函数，并且假定存在着一个正整数n，以及两个正数

R及M，使得当

|z|?R时

|f(z)|?M|z|n，

证明f(z)是一个至多n次的多项式或一常数。

《复变函数》考试试题（四）

二. 填空题. (20分) 1. 设z?11?i，则Rez?__,Imz?___.

2. 若limzzzn??，则1?z2?...?nn??limn??n?______________.

3. 函数ez

的周期为__________. 4. 函数f(z)?11?z2的幂级数展开式为__________ 5. 若函数f(z)在复平面上处处解析，则称它是___________.

6. 若函数f(z)在区域D内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D内的_____________. 7. 设

C:|z|?1，则?C(z?1)dz?___.

8. sinzz的孤立奇点为________.

9. 若z0是

f(z)的极点，则limz?zf(z)?___.

010.

(ezReszn,0)?_____________.

三. 计算题. (40分)

1. 解方程z3?1?0.

2. 设f(z)?ezz2?1，求Res(f(z),?).

?z|z|?2(9?z2)(z?i)dz. .

114. 函数f(z)?ez?1?z有哪些奇点？各属何类型（若是极点，指明它

的阶数）.

四. 证明题. (20分)

1. 证明：若函数

f(z)在上半平面解析，则函数f(z)在下半平面解

析.

2. 证明z4?6z?3?0方程在1?|z|?2内仅有3个根.

《复变函数》考试试题（五）

二. 填空题.（20分） 1. 设

z?1?3i，则|z|?__,argz?__,z?__.

2. 当z?___时，ez为实数. 3. 设ez??1，则z?___.

ez的周期为___.

5. 设

C:|z|?1，则?C(z?1)dz?___.

6. Res(ez?1z,0)?____.

7. 若函数f(z)在区域D内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D内的_____________。 8. 函数f(z)?11?z2的幂级数展开式为_________. 9. sinzz的孤立奇点为________.

10. 设C是以为a心，r为半径的圆周，则

?1C(z?a)ndz?___.

（n为自然数）三. 计算题. (40分)

z?11. 求复数z?1的实部与虚部.

2. 计算积分：

I??LRezdz，

在这里L表示连接原点到1?i的直线段. 2?3.

求积分：I??d?01?2acos??a2，其中0

应用儒歇定理求方程z??(z)，在|z|<1内根的个数，在这里

?(z)在|z|?1上解析，并且|?(z)|?1.

四. 证明题. (20分) 1. 证明函数f(z)?|z|2除去在z?0外，处处不可微.

2. 设

f(z)是一整函数，并且假定存在着一个正整数n，以及两个数R

及M，使得当

|z|?R时

|f(z)|?M|z|n，

证明:f(z)是一个至多n次的多项式或一常数.

《复变函数》考试试题（六）

一、填空题（20分） 1. 若zn?2nn?1?n?i(1?1n)，则limzn?___________. 2. 设

f(z)?1z2?1，则

f(z)的定义

域

为

____________________________.

3. 函数sinz的周期为_______________________. 4.

sin2z?cos2z?_______________________.

??5. 幂级数

?nzn的收敛半径为________________.

n?06. 若z0是f(z)的m阶零点且m?1，则z0是f?(z)的____________零点.

7. 若函数f(z)在整个复平面处处解析，则称它是______________.

8. 函数f(z)?z的不解析点之集为__________.

9. 方程2z5?z3?3z?8?0在单位圆内的零点个数为___________.

10. 公式eix?cosx?isinx称为_____________________. 二、计算题（30分）

n1、lim?2?i?n????6??. 2、设f(z)??3?2?7??1C??zd?，其中C??z:z?3?，试求f?(1?i). 3、设f(z)?ezz2?1，求Res(f(z),i).

、求函数sinz34z6在0?z??内的罗朗展式.

5、求复数w?z?1z?1的实部与虚部. ?6、求e?3i的值.

三、证明题（20分）

1、方程z7?9z6?6z3?1?0在单位圆内的根的个数为6.

2、若函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在区域D内解析，v(x,y)等于常数，

则f(z)在D恒等于常数.

3、若z的m阶零点，则z10是f(z)0是f(z)的m阶极点.

６．计算下列积分．（８分） sinz2(1)

?z?2 (2)

(z??dz；2?z?2z?4z2(z?3)dz．

2)７．计算积分

?2?d?05?3cos?．（６分）

８．求下列幂级数的收敛半径．（６分）

?)n?(1) ?(1?izn； (2) (n!)2nn?1?nz．

n?1n９．设f(z)?my3?nx2y?i(x3?lxy2)为复平面上的解析函数，试确定l，m，n的值．（６分）三、证明题．

１．设函数f(z)在区域D内解析，f(z)在区域D内也解析，证明f(z)必为常数．（５分）

２．试证明az?az?b?0的轨迹是一直线，其中a为复常数，b为实常数．（５分）

试卷一至十四参考答案

《复变函数》考试试题（一）参考答案

二．填空题

1. ??2?in?1?0n?1 ； 2. 1； 3. 2k?，(k?z)； 4. z??i； 5. 1

6. 整函数； 7. ?； 8. 1(n?1)!； 9. 0； 10. ?.

三．计算题.

1. 解因为0?z?1, 所以0?z?1

? f(z)?111n1?zn(z?1)(z?2)?1?z?2(1?z?)?z?n?02?(). n?0222. 解因为

z??Resf(z)?21?limcosz?lim??1, z?2z??2z??2?sinz7

z??Resf(z)?lim2z???2z???2cosz?lim1?1. z???2?sinz所以

?1z?2coszdz?2?i(Resf(z)?Resf(z)?0. z???2z??23. 解令?(?)?3?2?7??1, 则它在z平面解析, 由柯西公式有在z?3内,

f(z)???(?)c??zdz?2?i?(z).

所以f?(1?i)?2?i??(z)z?1?i?2?i(13?6i)?2?(?6?13i). 4. 解令z?a?bi, 则

w?z?122a(?1?z?1?1?z?1?1?bi)(a?12)?b2?1?2a(?1)b2(a?21)?b2?a(?21)?. b2 故 Re(z?12(a?z?1)?1?1)z?12b(a?1)2?b2, Im(z?1)?(a?1)2?b2. 四. 证明题.

1. 证明设在D内f(z)?C.

令f(z)?u?iv,则f(z)2?u2?v2?c2.

两边分别对x,y求偏导数, 得 ??uux?vvx?0(1)?uuy?vvy?0(2

)因为函数在D内解析, 所以ux?vy,uy??vx. 代入 (2) 则上述方程组变为

??uux?vvx?0. 消去u2vux得, (u2?v)vx?0. ?x?uvx?01) 若u2?v2?0, 则 f(z)?0 为常数.

若vx?0, 由方程 (1) (2) 及 C.?R.方程有ux?0, uy?0,

vy?0.

所以u?c1,v?c2. (c1,c2为常数). 所以f(z)?c1?ic2为常数. 2. 证明f(z)?z(1?z)的支点为z?0,1. 于是割去线段0?Rez?1的

z平面内变点就不可能单绕0或1转一周, 故能分出两个单值解析分支.

由于当z从支割线上岸一点出发,连续变动到z?0,1 时, 只有z的幅角

增加?. 所以

?f(z)?z(1?z)的幅角共增加. 由已知所取分支在支割线上岸取正值,

2?于是可认为该分支在上岸之幅角为0, 因而此分支在z??1的幅角为,

则f(z)?z?reii??2k?2,(k?0,1).

又因为在正实轴去正实值，所以k?0.

?4 所以f(i)?e.

2?故f(?1)?2e2i?2i.

《复变函数》考试试题（二）参考答案

二. 填空题

1.1，??2， i； 2. 3?(1?sin2)i； 3. ??2?in?1； 4. 1；?0n?15. m?1.

6. 2k?i，(k?z). 7. 0； 8. ?i； 9. R；10. 0.

三. 计算题

1. 解 sin(2z3?)??(?1)n(2z3)2n?1?(?1)n22n?1z6n?3n?0(2n?1)!??. n?0(2n?1)!2. 解令z?rei?.

3. 单位圆的右半圆周为z?ei?, ??2????2.

所以

?i??2i?i?2?izdz????de?e???2i.

224. 解

?sinzz?2(z??dz)2?2?i(sinz)?z???2?icosz??

22z2=0.

四. 证明题. 1. 证明 (必要性) 令f(z)?c1?ic2,则f(z)?c1?ic2. (c1,c2为实常数).

令u(x,y)?c1,v(x,y)??c2. 则ux?v y?uy?vx?0.

即u,v满足C.?R., 且ux,vy,uy,vx连续, 故f(z)在D内解析.

(充分性) 令f(z)?u?iv, 则 f(z)?u?iv,

因为f(z)与f(z)在D内解析, 所以

ux?vy,uy??vx, 且ux?(?v)y??vy,uy??(?vx)??vx.

比较等式两边得 ux?vy?uy?vx?0. 从而在D内u,v均为常数,故

f(z)在D内为常数.

2. 即要证“任一 n 次方程 ann?10z?a1z?????an?1z?an?0(a0?0)

有且只有 n个根”. 证明令

f(z)?a0zn?a1zn?1?????an?1z?an?0, 取

?1cnn!(n?1n)n?11?limn??lim(n?)?limn(?1e. )2. 解 limn??cn??nn??n??(n?1)!nnn?1?a?????an???R?max?1,1?, 当z在C:z?R上时, 有

所以收敛半径为e.

??a0???(z)?an?11R?????an?1R?an?(a1?????an)Rn?1?a0Rn.

?f(z).

由儒歇定理知在圆 z?R 内, 方程a0zn?a?11zn?????an?1z?an?0 与a0zn?0 有相

同个数的根. 而 a0zn?0 在 z?R 内有一个 n 重根 z?0. 因此n次方程在z?R 内有n 个根.

《复变函数》考试试题（三）参考答案

二.填空题.

1.?zz??i,且z?C?; 2. 2k?i(k?z); 3. ?1?ei; 4. 1; 5.

??2?in?1?0n?1; 6. 1; 7. ?i; 8. z?(2k?1)?i; 9. ?; 10.

1(n?1)!.

三. 计算题.

12??n?21. 解 zez?z2(1?11zz?2!z2????)??. n?0n! 3. 解令 f(z)?ezez1z2(z2?9), 则 Rez?0sf(z)?z2?9??.

z?09故原式?2?iRez?0sf(z)??2?i9.

4. 解令 f(z)?z9?2z6?z2?2, ?(z)??8z.

则在C: z?1上f(z)与?(z)均解析, 且f(z)?6??(z)?8, 故

由儒歇定理有

N(f??,C)?N(?f?,C?). 即在1 z?1 内, 方程只有一个根.

四. 证明题.

1. 证明证明设在D内f(z)?C. 令f(z)?u?iv,则f(z)2?u2?v2?c2.

两边分别对x,y求偏导数, 得 ??uux?vvx?0(1)?uuy?vvy?0(2

) 因为函数在

D内解析, 所以ux?vy,uy??vx. 代入 (2) 则上述方程组变

为

??uux?vvx?0?uv. 消去u, (u2?v2x得)vx?0. ?vuxx?010

1) u?v?0, 则 f(z)?0 为常数. 2)

若vx?0, 由方程 (1) (2) 及 C.?R.方程有ux?0, uy?0,

221.

(n?1)!三. 计算题. 1.

vy?0.

所以u?c1,v?c2. (c1,c2为常数). 所以f(z)?c1?ic2为常数.

2. 证明取

r?R, 则对一切正整数 k?n f(k)(0)?k!f(z)k!Mrn2??z?rzk?1dz?rk. 于是由r的任意性知对一切k?n均有f(k)(0)?0.

n 故f(z)??cnzn, 即f(z)是一个至多n次多项式或常数.

k?0

《复变函数》考试试题（四）参考答案

二. 填空题. 1.

112, 2; 2. ?; 3. 2k?i(k?z); ??(?1)nz2n(z?1); 5. 整函数;

n?06. 亚纯函数; 7. 0; 8. z?0; 9. ?; 解:z3??1?z?cos2k???2k???3?isin3k?0,1,2z?cos??1313?isin3?2?2iz2?cos??isin???1z5?时,

3?cos3?isin5?133?2?2i

z2. 解 Rez?1sf(z)?ez?1?e, Reseze?1. z?12z??1f(z)?z?1?z??1?2 故原式?2?i(Resf(z)?Resf(z))??i(e?e?1z?1z??1).

3. 解原式?2?iResf(z)?2?iz?z??i9?z2?.

z??i511z?ez?4. 解

ez?1?1z=z(ez?1)，令z(ez?1)?0，得z?0,z?2k?i，k??1,?2,?

11z?ez?11?ezlim而 z?0(ez?1?z)?limz?0(ez?1)z?limz?0ez?1?zez

?ez 10.

?lim1z?0ez?ez?zez??2 ?z?0为可去奇点 11

当z?2k?i时，

(k?0),z?ez?1?0 ?(ez?1)z?? 而

z?2k?i?ez?1?zezz?2k?i?0 ?z?2k?i为

一阶极点. 四. 证明题.

1. 证明设F(z)?f(z), 在下半平面内任取一点z0, z是下半平面内异于z0的点, 考虑

limF(z)?F(z0)f(z)?f(z0)f(z)?f(z0z?z?lim?lim).

0z?z0z?z0z?z0z?z0z?z0而z0, z在上半平面内, 已知f(z)在上半平面解析, 因此

F?(z0)?f?(z0), 从而F(z)?f(z)在下半平面内解析.

2. 证明令f(z)??6z?3,

?(z)?z4, 则f(z)与?(z)在全平面解析,

且在C1:z?2上, f(z)?15??(z)?16,

故在z?2内N(f??,C1)?N(?,C1)?4. 在C2:z?1上, f(z)?3??(z)?1,

故在z?1内N(f??,C2)?N(f,C2)?1.

所以f??在1?z?2内仅有三个零点, 即原方程在1?z?2内仅有三个根.

《复变函数》考试试题（五）参考答案

一. 判断题.

1．√２．√ ３．×４．√５．× 6．× ７．× ８．√ ９．√ 10．√. 二. 填空题.

1.2, ??3, 1?3i; 2. a?2k?i(k?z,a为任意实数); 3. (2k?1)?i, (k?z); 4. 2k?i,(k?z); 5. 0; 6. 0;

? 7. 亚纯函数; 8.

?(?1)nz2n(z?1); 9. 0; 10.

n?0??2?in?1?0n?1. 三. 计算题.

1. 解令z?a?bi, 则

w?z?1z?1?1?22a(?1?bi)2a(?1)b2z?1?1?(a?12)?b2?1?(a?21)?b2?a(?21)?. b2 故 Re(z?12(a?1)z?1)?1?(a?1)2?b2, Im(z?1z?1)?2b(a?1)2?b2. 2. 解连接原点及1?i的直线段的参数方程为 z?(1?i)t0?t?1,

故?cRezdz??10?Re[(1?i)t]?(1?i)dt?(1?i)?11?i0tdt?2.

3. 令z?ei?, 则d??dziz. 当a?0时

1?2acos??a2?1?a(z?z?1)?a2?故I?(z?a)(1?az),

《复变函数》考试试题（六）参考答案

二、填空题：1. ?1?ei 2. z??1 3. 2? 4. 1 5. 1dz1, 且在圆内只以f(z)?z?1i?z?1(z?a)(1?az)(z?a)(1?az)z?a为一级极点, 在

z?1上无奇点,

故

Rez?asf(z)?11?az?12,(0?a?1), 由残数定理有 z?a1?aI?1i2?iRez?asf(z)?2?1?a2,(0?a?1).

4. 解令f(z)??z, 则f(z),?(z)在z?1内解析, 且在C:z?1上,

?(z)?1?f(z),

所以在z?1内, N(f??,C)?N(f,C)?1, 即原方程在 z?1内只有一个根. 四. 证明题. 1.

证

明

因

为

u(x,y)?x2?y2,v(x,y)?0, 故ux?2x,uy?2y,vx?vy?0.

这四个偏导数在z平面上处处连续, 但只在z?0处满足C.?R.条件, 故f(z)只在除了z?0外处处不可微.

2. 证明取 r?R, 则对一切正整数 k?n 时,

f(k)(0)?k!f(z)k!Mrn2??z?rzk?1dz?rk. 于是由r的任意性知对一切k?n均有f(k)(0)?0.

n 故f(z)??cnzn, 即f(z)是一个至多n次多项式或常数.

k?0 1

6. m?1阶 7. 整函数 8. 9. 10. 欧拉公式三、计算题： 1. 解：因为

2?i6?19?136?56?1, 故lim(2?in??6)n?0. 2. 解：

1?i?2?3,

?f(z)?1f(?)2?i?C??zd? ??3?2?7??1C??zd?. 因此 f(?)?2?i(?32??7? 1) 故f(z)?2?i(3z2?7z?1)

f?(1?i)?2?i(6z?7)1?i?2?i(13?6i)?2?(?6?13i).

0 13

ez3.解：z2?1?ez2?(1z?i?1z?i)

),i)?ei ?Res(f(z2.

?(?1)n(z3)2n?14.解：sinz3??,n?0(2n?1)!

?sinz3?(?1)n 6n?3z6??n?0(2n?1)!z.

5．解：设z?x?iy, 则w?z?1x?1?iy(x2?y2?1)?2yiz?1?z?1?iy?(x?1)2?y2. ?Rew?x2?y2?1(x?1)2?y2,Imw?2y(x?1)2?y2.

?6．解：e?3i?cos(??3)?isin(??3)?12(1?3i).

四、1. 证明：设f(z)?9z6,?(z)?z7?6z3?1,

则在z?1上，f(z)?9,?(z)?1?6?1?8, 即有f(z)??(z).

根据儒歇定理，f(z)与f(z)??(z)在单位圆内有相同个数的零点，而f(z)的零点个数为6，故z7?9z6?6z3?1?0在单位圆内的根的个数

为6.

2.证明：设v(x,y)?a?bi，则vx?vy?0, 由于f(z)?u?iv在内D解析，因此?(x,y)?D有 ux?vy?0, uy??vx?0.

于是u(x,y)?c?di故f(z)?(a?c)?(b?d)i，即f(z)在内D恒为常数.

3.证明：由于z0是f(z)的m阶零点，从而可设 f(z)?(z?z0)mg(z)，其中g(z)在z0的某邻域内解析且g(z0)?0，于是

1f(z)?11(z?zm? 0)g(z)由g(z10)?0可知存在z0的某邻域D1，在D1内恒有g(z)?0，因此

g(z)在内D11解析，故z0为

f(z)的m阶极点. 14

《复变函数》模拟考试试题

《复变函数》考试试题（一）

一、判断题（4x10=40分）：

1、若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0的某个邻域内可导。（） 2、有界整函数必在整个复平面为常数。（）

3、若函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在D内连续，则u(x,y)与v(x,y)都在D内连续。( )

4、cos z与sin z在复平面内有界。（）

5、若z0是f(z)的m阶零点，则z0是1/f(z)的m阶极点。（） 6、若f(z)在z0处满足柯西-黎曼条件，则f(z)在z0解析。（） 7、若limz?zf(z)存在且有限，则z0是函数的可去奇点。（）

08、若f(z)在单连通区域D内解析，则对D内任一简单闭曲线C都有?Cf(z)dz?0。（）

9、若函数f(z)是单连通区域D内的解析函数，则它在D内有任意阶导数。（）

10、若函数f(z)在区域D内的解析，且在D内某个圆内恒为常数，则在区域D内恒等于常数。（）二、填空题（4x5=20分）

1、若C是单位圆周，n是自然数，则?1C(z?z0)ndz?__________。

2、设f(z)?(x2?2xy)?i(1?sin(x2?y2),?z?x?iy?C，则

zlim?1?if(z)?_________。

3、设f(z)?1z2?1，则f(z)的定义域为___________。 ??4、?nzn的收敛半径为_________。

n?0、Res(ez5zn,0)?_____________。

三、计算题（8x5=40分）： f(z)?11、设(z?1)(z?2)，求f(z)在D?{z:0?|z|?1}内的罗朗展

式。

?1dz|zez?1|?1sinzdz?2、求

2?i?|z|?3(z?1)(z?4)。

3、求函数sin(2z3)的幂级数展开式。 4、求f(z)?1(z?1)(z?2)在2?|z|???内的罗朗展式。5、求z4?5z?1?0，在|z|<1内根的个数。

《复变函数》考试试题（二）

一、判断题（4x10=40分）：

1、若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0连续。（） 2、有界整函数必为常数。（）

3、若{zn}收敛，则{Re zn}与{Im zn}都收敛。( )

4、若f(z)在区域D内解析，且f'(z)?0，则f(z)?C（常数）。（）

5、若函数f(z)在z0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数。（）

6、若f(z)在z0解析，则f(z)在z0处满足柯西-黎曼条件。（） 7、若函数f(z)在z0可导，则f(z)在z0解析。（） 8、若f(z)在区域D内解析，则|f(z)|也在D内解析。（） 9、若幂级数的收敛半径大于零，则其和函数必在收敛圆内解析。（）

10、cos z与sin z的周期均为2k?。（）二、填空题（4x5=20分）

1、?dz|z?z?0|?1(z?zn__________。 0)2、设f(z)?1z2?1，则f(z)的孤立奇点有__________。 3、若函数f(z)在复平面上处处解析，则称它是___________。 4、sin2z?cos2z? _________。

5、若函数f(z)在区域D内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D内的_____________。

三、计算题（8x5=40分）：

1、?1|z|?1coszdz. 2、求Res(eiz1?z2,i). n3、lim?2?i?n????6??.

4、求f(z)?1(z?1)(z?2)在2?|z|???内的罗朗展式。5、求z9?2z6?z2?8z?2?0在|z|<1内根的个数。

《复变函数》考试试题（三）

一、判断题（3x10=30分）：

1、若函数f(z)在z0处满足Cauchy-Riemann条件，则f(z)在z0解析。（）

2、若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0的某个邻域内可导。（） 3、如z0是函数f(z)的本性奇点，则limf(z)一定不存在。( )

z?z04、若函数f(z)在z0可导，则f(z)在z0解析。（）

5、若函数f(z)=u(x,y)+ iv(x,y)在D内连续，则二元函数u(x,y)与(x,y)。（）

6、函数sinz与cosz在整个复平面内有界。（）

7、若函数f(z)在z0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数。（）

8、若z0是f(z)的m阶零点，则z0是1/f(z)的m阶极点。（） 9、存在整函数f(z)将复平面映照为单位圆内部。（）

10、若函数f(z)是区域D内解析且在D内的某个圆内恒为常数，则数f(z)在区域D内为常数。（）二、填空题（2x10=20分） 1、若z?2n?n1?n?i(1?1n)n，则limn??zn?__________。

2、若C是单位圆周，n是自然数，则?1C(z?zdz?__________。

0)n3、函数sinz的周期为___________。 4、设f(z)?1z2?1，则f(z)的孤立奇点有__________。 ?5、幂级数?nxn的收敛半径为__________

n?06、若z0是f(z)的m阶零点且m>0，则z0是f'(z)的_____零点。 7、若函数f(z)在区域D内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D内_________。、

8、函数f(z)?|z|的不解析点之集为________。

9、Res(ezzn,0)?____________，其中n为自然数。

10、公式eix?cosx?isinx称为_____________. 三、计算题（8x5=40分）：

1、设f(z)??3?2?7??1C??zd?，其中C?{z:|z|?3}，试求f'(1?i). 2、求?ez?11|z|?sinzdz??dz12?i|z|?3(z?1)(z?4)。

3、设f(z)?ezz2?1，求Res(f(z),?).

14、求函数ez在0?|z|???内的罗朗展式。 5、求复数w?z?1z?1的实部与虚部。 6、求??1?i?22?2?????1?i??2??.

四、证明题（6+7+7=20分）：

1、设?是函数f(z)的可去奇点且limz??f(z)?A?C，试证：

Res(f(z),?)??limz??z(f(z)?A)。

2、若整函数f(z)将复平面映照为单位圆内部且f(0)?0，则

f(z)?0(?z?C)。

3、证明z4?6z?3?0方程在1?|z|?2内仅有3个根。

《复变函数》考试试题（四）

一、判断题（3x10=30分）：

1、若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0的某个邻域内可导。（

2、如果z0是f(z)的本性奇点，则limz?zf(z)一定不存在。（）

03、若zlim?zf(z)存在且有限，则z0是f(z)的可去奇点。( )

04、若函数f(z)在z0可导，则它在该点解析。（） 5、若数列{zn}收敛，则{Rezn}与{Imzn}都收敛。（） 6、若f(z)在区域D内解析，则|f(z)|也在D内解析。（） 7、若幂级数的收敛半径大于0，则其和函数必在收敛圆内解析。（）

8、存在整函数f(z)将复平面映照为单位圆内部。（）

9、若函数f(z)是区域D内的解析函数，且在D内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D内恒等于常数。（） 10、|sinz|?1(?z?C)。（）二、填空题（2x10=20分） 1、函数ez的周期为__________。 2、幂级数

???nzn的和函数为__________。

n?0

3、函数ez的周期为__________。

）4、设f(z)?11?z2，则f(z)的孤立奇点有__________。的收敛半径为_________。

?5、幂级数?nxn的和函数为____________。

n?06、若函数f(z)在区域D内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D内的_____________。

7、若limz?z?...?zn??zn??，则lim12nn??n?______________。、Res(ez8zn,0)?________，其中n为自然数。

9、方程2z5?z3?3z?8?0在单位圆内的零点个数为________。

10、函数f(z)?11?z2的幂级数展开式为__________。

三、计算题（5x6=30分）： 1、?z|z|?2(9?z2)(z?i)dz.

2、求Res(eiz1?z2,i).

n3、lim?n???2?i??6??.

14、求函数ez在0?|z|???内的罗朗展式。 5、求方程z8?4z5?z2?1在单位圆内零点的个数。

n6、求lim?1?i?n????2??。四、证明题（6+7+7=20分）

1、设函数f(z)在区域D内解析，试证：f(z)在D内为常数的充要条件是f(z)在D内解析。

2、如果函数f(z)在D?{z:|z|?1}上解析，且|f(z)|?1(|z|?1)，则|f(z)|?1(|z|?1)。

3、设方程z8?4z5?z2?1?0 证明：在开单位圆内根的个数为5。

《复变函数》考试试题（五）

一、判断题（3x10=30分）：

1、若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0连续。（）

2、若函数f(z)在z0处满足Cauchy-Riemann条件，则f(z)在z0解析。（）

3、若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0处满足Cauchy-Riemann条件。( )

4、若函数f(z)在是区域D内的单叶函数，则f'(z)?0(?z?D)。（） 5、若f(z)在单连通区域D内解析，则对D内任一简单闭曲线C都有?Cf(z)dz?0。（）

6、若f(z)在区域D内解析，则对D内任一简单闭曲线C都有

?Cf(z)dz?0。（）

7、若f'(z)?0(?z?D)，则函数f(z)在是D内的单叶函数。（） 8、若z0是f(z)的m阶零点，则z0是1/ f(z)的m阶极点。（） 9、如果函数f(z)在D?{z:|z|?1}上解析，且|f(z)|?1(|z|?1)，

则|f(z)|?1(|z|?1)。（）

10、|sinz|?1(?z?C)。（）二、填空题（2x10=20分）

1、若zn?2n?1?n?i(1?1n)n，则zlim???zn?__________。

2、设f(z)?1z2?1，则f(z)的定义域为__________。

3、函数sin z的周期为___________。 4、sin2z?cos2z?________。

??5、幂级数?nzn的收敛半径为_____________。

n?06、若z0是f(z)的m阶零点且m>1，则z0是f'(z)的______零点。

7、若函数f(z)在整个复平面处处解析，则称它是_______。 8、函数f(z)=|z|的不解析点之集为__________。

9、方程2z5?z3?3z?8?0在单位圆内的零点个数为_________。

1、方程z7?9z6?6z3?1?0在单位圆内的根的个数为6。 2、若函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在区域D内解析，v(x,y)等于常10、公式eix?cosx?isinx称为__________。三、计算题（5x6=30分）：

n1、lim?2?i?n????6??. 2、设f(z)??3?2?7??1C??zd?，其中C?{z:|z|?3}，试求f'(1?i).、设f(z)?ez3z2?1，求Res(f(z),i).

sinz34、求函数z6在0?|z|??内的罗朗展式。

5、求复数w?z?1z?1的实部与虚部。 ?6、求e?3i的值。

四、证明题（6+7+7=20分）

数，则f(x)在D内恒等于常数。

3、若z0是f(z)的m阶零点，则z0是1/f(z)的m阶极点。

《复变函数》考试试题（六）

一、判断题（3x8=24分）

1、若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0的某个邻域内可导。（） 2、若函数f(z)在z0处解析，则f(z)在z0满足Cauchy-Riemann条件。4、sin2z?cos2z?________。

5、幂级数?n2zn的收敛半径为_____________。

??2（）

3、如果z0是f(z)的可去奇点，则limz?zf(z)一定存在且等于零。( )

04、若函数f(z)是区域D内的单叶函数，则f'(z)?0(?z?D)。（）5、若函数f(z)是区域D内的解析函数，则它在D内有任意阶导数。（）

6、若函数f(z)在区域D内的解析，且在D内某个圆内恒为常数，则在区域D内恒等于常数。（）

7、若z0是f(z)的m阶零点，则z0是1/ f(z)的m阶极点。（） 8、|sinz|?1(?z?C)。（）二、填空题（2x10=20分）

1、若z1n?sin1?n?i(1?1n)n，则nlim???zn?__________。

2、设f(z)?zz2?1，则f(z)的定义域为__________。

3、函数ez的周期为___________。

n?06、若z0是f(z)的m阶零点且m>1，则z0是f'(z)的______零点。 7、若函数f(z)在整个复平面处处解析，则称它是_______。 8、函数f(z)=|z|的不解析点之集为__________。

9、方程3z8?z3?3z?8?0在单位圆内的零点个数为_________。

ez10、Res(zn,0)?_____________。

三、计算题（5x6=30分）

221、求??1?i??1?i??2?????2??.

2、设f(z)??3?2?7??1C??zd?，其中C?{z:|z|?3}，试求f'(1?i). 3、设f(z)?ezz2，求Res(f(z),0).

4、求函数

z(z?1)(z?2)在1?|z|?2内的罗朗展式。

5、求复数w?z?1z?1的实部与虚部。

6、利用留数定理计算积分：?2?dx0a?cosx,(a?1). 四、证明题（6+7+7=20分）

1、方程24z7?9z6?6z3?z3?1?0在单位圆内的根的个数为7。 2、若函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在区域D内解析， |f(z)|等于常数，则f(z)在D内恒等于常数。

3、若z0是f(z)的m阶零点，则z0是1/f(z)的m阶极点。五、计算题（10分）

求一个单叶函数，去将z平面上的上半单位圆盘{z:|z|?1,Imz?0}保形映射为w平面的单位圆盘{w:|w|?1}。

《复变函数》考试试题（七）

一、判断题（2x10=20分）

1、若函数f(z)在z0可导，则f(z)在z0解析。（）

2、若函数f(z)在z0处满足Cauchy-Riemann条件，则f(z)在z0解析。（）

3、如果z0是f(z)的极点，则limz?zf(z)一定存在且等于无穷大。( )

04、若f(z)在单连通区域D内解析，则对D内任一简单闭曲线C都有?Cf(z)dz?0。（）

5、若函数f(z)在z0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数。（）

6、若f(z)在单连通区域D内解析，则对D内任一简单闭曲线C都有?Cf(z)dz?0。（）

7、若函数f(z)在区域D内的解析，且在D内某一条曲线上恒为常

数，则f(z)在区域D内恒等于常数。（）

8、若z0是f(z)的m阶零点，则z0是1/ f(z)的m阶极点。（） 9、如果函数f(z)在D?{z:|z|?1}上解析，且|f(z)|?1(|z|?1)，则

|f(z)|?1(|z|?1)。（）

10、limezz????。（）

二、填空题（2x10=20分）

1、若znn?sin1?n?i(1?2n)n，则zlim???zn?__________。 2、设f(z)?1sinz，则f(z)的定义域为__________。

3、函数sin z的周期为___________。 4、sin2z?cos2z?________。

5、幂级数?nzn的收敛半径为_____________。

n?06、若z0是f(z)的m阶零点且m>1，则z0是f'(z)的______零点。

7、若函数f(z)在整个复平面除去有限个极点外，处处解析，则称它是_______。

8、函数 f(z)?z的不解析点之集为__________。

9、方程20z8?11z3?3z?5?0在单位圆内的零点个数为_________。

、Res(ez10z2?1,1)?_____________。

三、计算题（5x6=30分）

n1、lim?n???2?i??6??. 2、设f(z)??3?2?7??1C??zd?，其中C?{z:|z|?3}，试求f'(1?i). f(z)?ez3、设z2?1，求Res(f(z),?i).

4、求函数

z(z?1)(z?2)在1?|z|?2内的罗朗展式。

5、求复数w?z?1z?1的实部与虚部。 26

6、利用留数定理计算积分???x2?x?2??x4?10x2?9dx。

四、证明题（6+7+7=20分）

1、方程z7?9z6?6z3?1?0在单位圆内的根的个数为6。 2、若函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在区域D内解析， u(x,y)等于常数，则f(z)在D内恒等于常数。

3、若z0是f(z)的m阶零点，则z0是1/f(z)的m阶极点。五、计算题（10分）

求一个单叶函数，去将z平面上的带形区域{z:?2?Imz??}保形

映射为w平面的单位圆盘{w:|w|?1}。

《复变函数》考试试题（八）

二、判断题（4x10=40分）：

1、若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0的某个邻域内可导。（） 2、如果z0是f(z)的本性奇点，则limz?zf(z)一定不存在。（）

03、若函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在D内连续，则u(x,y)与v(x,y)都在D内连续。( )

4、cos z与sin z在复平面内有界。（）

08、若f(z)在单连通区域D内解析，则对D内任一简单闭曲线C都有?Cf(z)dz?0。（）

9、若函数f(z)是单连通区域D内的解析函数，则它在D内有任意阶导数。（）

10、若函数f(z)在区域D内的解析，且在D内某个圆内恒为常数，

则在区域D内恒等于常数。（）二、填空题（4x5=20分）

1、函数ez的周期为__________。 ??2、幂级数?nzn的和函数为__________。

n?03、设f(z)?1z2?1，则f(z)的定义域为___________。???4、nzn的收敛半径为_________。

n?0Res(ez5、zn,0)?_____________。

三、计算题（8x5=40分）： 1、?z|z|?2(9?z2)(z?i)dz.

2、求Res(eiz1?z2,?i).

?1?i?n?1?in?3、

?2??????2??。 4 设u(x,y)?ln(x2?y2)。求v(x,y)，使得f(z)?u(x,y)?iv(x,y)为解析函数，且满足f(1?i)?ln2。其中z?D（D为复平面内的区域）。

5、求z4?5z?1?0，在|z|<1内根的个数

则

z0也是P(z) 的根。

《复变函数》考试试题（九）

一、判断题。（正确者在括号内打√，错误者在括号内打×，2?5=10分）

1．当复数z?0时，其模为零，辐角也为零。（） 2．若zn?10是多项式P(z)?annz?an?1z?????a0（an?0）的根，

（）

3．如果函数f(z)为整函数，且存在实数M，使得Ref(z)?M，则f(z)为一常数。（）

4．设函数f1(z)与f2(z)在区域D内解析，且在D内的一小段弧上相等，

则对任意的z?D，有

f1(z)?f2(z)。（）

5．若z?? 是函数f(z)的可去奇点，则Rez??sf(z)?0。

（）

二、填空题（每题2分） 1． i2?i3?i4?i5?i6?____。

2．设z?x?iy?0，且???argz??，??y2?arctanx??2，当29

x?0,y?0时，argz?arctanyx?_______。 3．函数w?1z将z平面上的曲线(x?1)2?y2?1变成w平面上的曲线__________。 4

．

方

程

z4?a4?0(a?0)的

不

同

的

根

为

________________________。

5．(1?i)i__________________________________。 ?6

．

级

数

?[2?(?1)n]zn的收敛半径

为

n?0________________________。

7．cosnz在|z|?n（n为正整数）内零点的个数为

________________________。

8．函数f(z)?6sinz3?z3(z6?6)的零点z?0的阶数为______。 9．设a为函数

f(z)??(z)?(z)的一阶极点，且

?(a)?0,?(a)?0,??(a)?0，则

Rez?asf(z)?___________________。

10．设a为函数

f(z)的m阶极点，则

Ref?(z)z?asf(z)?___________________。三、计算题。（50分） 1．设

u(x,y)?1ln(x2?y22)。求v(x,y)，使得

f(z)?u(x,y)?iv(x,y)为解析函数，且满足f(1?i)?12ln2。其中z?D（D为复平面内的区域）。（15分）

2．求下列函数的奇点，并确定其类型（对于极点要指出它们的阶）。（10分）

1z?1 （1） tan2z；（5分）（2）eez?1。（5分）

3．计算下列积分。（15分）

（1） ?z19|z|?4(z2?1)4(z4?2)3dz（8分），（2）??d?01?cos2?（7分）。

4．叙述儒歇定理并讨论方程z7?5z4?z2?2?0在|z|?1内根的个数。（10分）

四．证明题。（20分）

1．设f(z)?u(x,y)?iv(x,y)是上半复平面内的解析函数，证明

f(z)是下半复平面内的解析函数。（10分）

2．设函数

f(z)在|z|?R内

解

析

，

令

M(r)?max|z|?r|f(z)|,(0?r?R)。证明：M(r)在区间[0,R)上是

一个上升函数，且若存在r1及r2（0?r1?r2?R），使

M(r1)?M(r2)，则f(z)?常数。（10分）

《复变函数》试卷(十)

一、填空题。(每题2分) 1、设z?r(cos??isin?)，则

1z?_________________。 2、设函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)，A?u0?iv0，z0?x0?iy0，

则

zlim?zf(z)?A的充

要

条件是

0___________________。__ ___3、设函数f(z)在单连通区域D内解析，则f(z)在D内沿任意

一条简单闭曲线C的积分?Cf(z)dz?_______。

4、设z?a为f(z)的极点，则limz?af(z)?______。

5、设f(z)?zsinz，则z?0是f(z)的______阶零点。

6、设f(z)?11?z2，则f(z)在z?0的邻域内的泰勒展式为_______________________。

7、设|z?a|?|z?a|?b，其中a,b为正常数，则点z的轨迹曲

线是______。 8、设z??sin?6?icos?6，则z的三角表示式为

_____________。__

?9、?40zcoszdz?___________________。

?z10、设f(z)?ez2，则f(z)在z?0处的留数为_________。二、计算题。

1、计算下列各题。(9分)

(1) cosi; (2) ln(?2?3i); (3) 33?i 2、求解方程z3?8?0。(7分)

3、设u?x2?y2?xy，验证u是调和函数，并求解析函数

f(z)?u?iv，使之f(i)??1?i。(8分)

4、计算积分。(10分)

(1)

?C(x2?iy)dz，其中C是沿y?x2由原点到点z?1?i的曲

线。

(2)

?1?i0[(x?y)?ix2]dz。积分路径为自原点沿虚轴到i，再由i沿水平方向向右到1?i。 5、试将函数f(z)?1(z?1)(z?2)分别在圆环域0?|z|?1和

1?|z|?2内展开为洛朗级数。(8分)

6 、计算下列积分。

(8分)

(1) ?5z?2sin2|z|?2z(z?1)2dz; (2)

?z|z|?4z2(z?1)dz.

7、计算积分???x2??1?x4dx。(8分) 8、求下列幂级数的收敛半径。(6分)

??（1） ?nzn?1 （2）(?1)nznn?1? n?1n!9、讨论f(z)?|z|2的可导性和解析性。(6分) 三、证明题。

1、设函数f(z)在区域D内解析，|f(z)|为常数，证明f(z)必为

常数。(5分)

2、试证明az?az?b?0的轨迹是一直线，其中a为复常数，b为

实常数。(5分)

《复变函数》考试试卷(十一)

一、填空题。(每题2分)

1、设z?r(cos??isin?)，则zn?_________________。 2、设函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)，A?u0?iv0，z0?x0?iy0，则

zlim?zf(z)?A的充要条件是

0___________________________。

3、设函数f(z)在单连通区域D内解析，则f(z)在D内沿任意一条简单闭曲线C的积分?Cf(z)dz?_______。

4、设z?a为f(z)的可去奇点，则limz?af(z)为。

5、设f(z)?z2(ez2?1)，则z?0是f(z)的______阶零点。 6、设f(z)?11?z2，则f(z)在z?0的邻域内的泰勒展式为_______________________。

7、设|z?a|?|z?a|?b，其中a,b为正常数，则点z的轨迹曲线是______。

8、设z?si?n?ico?s，则z的三角表示式为_____________。__

9、?1?i1zezdz?___________________。 10、设f(z)?z2sin1z，则f(z)在z?0处的留数为_________。二、计算题。

1、计算下列各题。(9分) (1) Ln(?3?4i); (2) e?1??i6; (3) (1?i)1?i

2 求解方程z3?2?0。(7分)

3设u?2(x?1)y，验证u是调和函数，并求解析函数

f(z)?u?iv，使之f(2)??i。(8分)

4、计算积分?1?i0[(x?y)?ix2]dz。积分路径为(1)自原点到1?i的

直线段；(2) 自原点沿虚轴到i，再由i沿水平方向向右到1?i。

(10分) 5、试求f(z)?1z?2在z??1的邻域内的泰勒展开式。(8分) 6、计算下列积分。(8分) (1)

?sinz|z|?2(z??dz; (2)

?z2?2|z|?4z2(z?3)dz.

2)2

7、计算积分?2?d?05?3cos?。(6分)

8、求下列幂级数的收敛半径。(6分)

?? ?(1?i)nzn （2）(n!)2（1）zn ?0?nnn?1n9、设f(z)?my3?nx2y?i(x3?lxy2)为复平面上的解析函数，试确定l,m,n的值。(8分) 三、证明题。

1设函数f(z)在区域D内解析，f(z)在区域D内也解析，证明

f(z)必为常数。(5分)

2试证明az?az?b?0的轨迹是一直线，其中a为复常数，b为实常数。(5分)

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