第16章和第17章的复习自测题
一、了解两点间的距离的含义和点的邻域（包括圆邻域和方邻域）和空心邻域的含义，会用邻域来描述点与点集的两类分类关系（内点，外点和边界点关系；聚点，孤立点和外点关系）；理解点列收敛的含义，熟练掌握点列收敛与坐标数列收敛的等价关系；并用上述内容解决下面的问题：
1、据理说明：设E?R， （1）E的内点
2?? E的聚点；聚点包含内点和非孤立点的边界点，从而
E??intE?E??E??E；
（2）E的孤立点
?? E的边界点；边界点包含孤立点和非内点的聚点，从而
?E?E?E?。
2、根据1的结果证明（E的闭包（记为E）的两种表示）：设E?R，则
2E?E?E??E??E；
3、（聚点的等价关系）设P?R，E?R，则下面的说法等价
（1）P是E的聚点（即对P的任意邻域U(P)，总有U0(P)?E??）；
22limPn?P； （2）存在E中的一个点列?Pn?P，使得n??E，Pn??（3）对P的任意邻域U(P)，总有U(P)?E为无限集。
注：今后考虑聚点时，可根据具体问题选择上面三种说法中的任何一种来反映聚点。
二、了解开集（即intE?E），闭集（即E??E），（道路）连通集，凸集，开域，闭域和区域的含义，并用这些集的含义解决下面的问题：
1、（开集和闭集的对偶关系）E是开集?E是闭集；E是闭集?E是开集； 注：此结果表明：开集和闭集的集合的余运算（或称补运算）下，可相互转化。 2、开集和闭集的并交差运算性质：
（1）若E1，E2为开集，则E1?E2和E1?E2仍为开集； （2）若F1?F2和F1?F2仍为闭集； 1，F2为闭集，则F（3）若E为开集，F为闭集，则E\\F为开集（即开集减闭集的差集仍为开集），F\\E为闭集（即闭集减开集的差集仍为闭集）。
3、设f(x,y)为R上的连续函数，??R，记
2ccE??(x,y)?R2f(x,y)???，E1??(x,y)?R2f(x,y)???，
F??(x,y)?R2f(x,y)???，F1??(x,y)?R2f(x,y)???，
证明E和E1是开集，F和F1是开集。
提示：（1）利用连续函数的局部保号性和开集的定义证明E和E1是开集；
cF和F1是开集。 （2）注意到F?E，F1?E1，利用开集和闭集的对偶关系证明
c
三、熟悉R上的四个完备性定理（点列收敛的柯西准则，闭集套定理，聚点定理（包括致密性定理），有限覆盖定理）的内容，并会用实数的完备性定理或其证明方法证明着四个定理。
四、仔细体会二元函数的各种重极限的含义，清楚重极限与累次极限的区别和一定条件下的关系，熟练掌握重极限的常用性质（局部保号性，局部有界性，四则运算性，夹逼性），试用上面的内容解决下面的问题：
1、叙述并证明
(x,y)?(x0,y0)2limf(x,y)的局部保号性和局部有界性；
02、证明（极限的夹逼性）：若f(x,y)，g(x,y)，h(x,y)在点P0(x0,y0)的某空心邻域U(P0)满足：
g(x,y)?f(x,y)?h(x,y)，
且
(x,y)?(x0,y0)limg(x,y)?A?(x,y)?(x0,y0)limh(x,y)，
则
(x,y)?(x0,y0)limf(x,y)?A。
limf(x,y)?A，且对任意固定的y?b，有limf(x,y)??(y)存在，则
x?a3、证明：若
(x,y)?(a,b)lim?(y)?A，且limlimf(x,y)?A。
y?by?bx?a4、归纳讨论f(x,y)的（重）极限不存在的两种方法（特殊路径法和累次极限法），并用适当方法讨论下列函数在原点处的累次极限和重极限：
xyxyx?y2?y3（1）f(x,y)?2；（2）f(x,y)?；（3）f(x,y)?。 2x?yx?y2x?yx2?0，用待定函数法取y?xC(x)，其中提示：（2）取y?x可得，limf(x,y)?lim(x,y)?(0,0)x?02xy?xC(x)?x?1可得
(x,y)?(0,0)y?xC(x)limx2(x?1)f(x,y)?lim??1?0，从而limf(x,y)不存在。
x?0x?x(x?1)(x,y)?(0,0)5、归纳并熟练掌握求f(x,y)重极限的常用方法（定义法，四则运算法，夹逼性，选择适当变换转化为一元函数的极限），并用夹逼性求下列极限（包括非正常极限）：
（1）limx?y22x2y2x2y2ln(x2?y2)； （2）； lim(x?y)?limex?0x?0x??x2?y2y?0y?0y??x2?y2x2?y2（3）lim4； （4）lim4。
x??x?y4x?0x?y4y??y?0
五、仔细体会二元函数连续的含义，了解二元初等函数的含义以及二元初等函数的连续性；熟练掌握连续函数的局部性质（局部保号性，局部有界性，四则运算性，复合函数的连续性），有界闭集上连续函数的整体性质（有界性和最值性，一致连续性），连通集上连续函数的介值性。试用上面解决下面的问题：
1、讨论下列函数的连续性：
?sinxy22?sinxy,x?y?0,y?0??22（1）f(x,y)??y； （2）f(x,y)??x?y；
?0,?0,y?0x2?y2?0??22222??yln?x?y?,x?y?0（3）f(x,y)??；
22x?y?0??0,（4）f(x,y)???0,x为无理数?yD(x)，其中D(x)为狄利克雷函数。
?y,x为有理数x?22,x?y?0p?222、设f(x,y)???x?y?（p?0），试讨论它在点(0,0)的连续性。
?x2?y2?0?0,3、（复合函数的一致连续性）设u??(x,y)合v??(x,y)在xy平面上的点集E上一致连续，
f(u,v)在uv平面上的点集D上一致连续，且
?(u,v)u??(x,y),v??(x,y),(x,y)?E??D，
则复合函数f??(x,y),?(x,y)?在点集E上一致连续。
六、掌握二元函数连续与对单变量连续的关系，仔细体会在一定的条件下，由单变量连续导出连续的方法，并用这些方法解决下面的问题：
1、设f(x,y)在开域G内对x，y都连续，且f(x,y)对x连续关于y是一致的：即对任意x0以及任意??0，存在???(x0,?)，当x?x0??时，对一切y，都有
f(x,y)?f(x0,y)??。
证明：f(x,y)在开域G内连续。
2、设f(x,y)在开域G内对x，y都连续，且对任意固定的y，f(x,y)是x的单调函数，证明：
f(x,y)在开域G内连续。
七、熟练掌握函数可微的定义（两种形式的定义）和偏导数的定义，熟习用定义讨论函数在一点可微的程序，并用这一程序解决下面的问题：
1、简述讨论函数在一点可微的程序； 2、设
?x2y,x2?y2?0?22f(x,y)??x?y，
?0,x2?y2?0?试讨论f(x,y)
（1）在原点(0,0)处的连续性； （2）fx(0,0)和fy(0,0)的存在； （3）在在原点(0,0)处的可微性。
八、简述f(x,y)在一点的连续，偏导数和可微之间的关系（具体包括可微与连续的关系；可微与偏导数的关系；偏导数与连续的关系；在一定条件下偏导数与连续的细致关系，偏导数与可微的细致关
系）。 九、仔细体会并熟练掌握多元函数微分中值公式（包括证明方法：插项法和一元函数的微分中值公式），并用微分中值公式或证明方法解决下面的问题：
1、若f(x,y)在点P0(x0,y0)的U(P0)内存在偏导函数fy，fy在点P0连续，且fx(P0)存在，则
f(x,y)在点P0可微。
提示：用微分中值公式的证明方法和可微的定义。
2、若f(x,y)在点P0(x0,y0)的U(P0)内存在偏导函数fy，fy有界，且f在点P0处对x连续，则f(x,y)在点P0连续。
提示：用微分中值公式的证明方法和连续的定义。 3、设函数f(x,y)定义在平面R上，
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