ycosxy故?z?. ?x2?ez两边同时对y求偏导，可得
?z?zxcosxy?2?ez?0.
?y?yxcosxy故?z?. ?y2?ez5. 若f的导数存在，验证下列各式：
?u?xy?u?xu(1) 设u=yf(x2－y2)，则y2；
?x?yy?z?y?z?z?xy(2) 设z?xy?xf()，则x.
x?x?y?u?yf'(x2?y2)?2x,?u?f(x2?y2)?2y2f'(x2?y2). 证：(1) ?x?y所以y2?u?xy?u?y3f'(x2?y2)?2x?xy[f(x2?y2)?2y2f'(x2?y2)]?xu.
?x?yyyy(2) ?z?y?f()?xf'()?(?12),?z?x?xf'()1.
?yxx?xxxxyyy所以x?z?y?z?x[y?f()?f'()?(?1)]?y[x?xf'()1]?z?xy.
?x?yxxxxx6. 求下列函数的二阶偏导数(其中f具有二阶连续偏导数)：
x?y(1) z?arctan；
1?xy(2) z=ylnx；
(3) z=f(xy,x2－y2).
dy?z1?z?,?. 2?x1?x?y1?y2?2y?2z?2x?2z?2z?2z故2?,?,??0. ?x(1?x2)2?y2(1?y2)2?x?y?y?x(2) ?z?ylnxlny1,?z?lnxylnx?1.
?xx?y解：(1)由第3题可知
2?11故z?ylnxln2y2?ylnxlny2, 2?xxx?2z?lnx(lnx?1)ylnx?2, 2?y?2z?2z1lnx?111??y?lnx?ylnx?1lny??ylnx?1(1?lnxlny). ?x?y?y?xxxx?z(3) ?f1y?f22x,?z?f1x?f22y.
?x?y2?故z?y(f11y?f122x)?2f2?2x(f21y?f222x)?y2f11?4xyf12?4x2f22?2f2. 2?x?2z?x(f11x?f122y)?2f2?2y(f21x?f222y)?x2f11?4xyf12?4y2f22?2f2. 2?y?2z?2z??f1?y(f11x?2yf12)?2x(f21x?2yf22)?f1?xyf11?(2x2?2y2)f12?4xyf22. ?x?y?y?x?z?z7. 求由下列方程所确定的隐函数z=f(x,y)的偏导数,：
?x?y(1) x2+y2+z2－4z=0；
(2) z3－3xyz=1.
?z?z?z2x?4?0,故?. ?x?x?x4?2z2y两边同时对y求偏导得2y?2z?z?4?z?0,故?z?.
?y4?2z?y?y3yz?z?z?3y(z?)?0,故?z?2(2) 两边同时对x求偏导得3z2. ?x?x?x3z?3yxz两边同时对y求偏导得故?z?3.
?y3z2?3x解：(1)两边同时对x求偏导得2x?2z
习题7-6
1. 求下列函数的极值：
(1) f(x,y)=x2+y3－6xy+18x－39y+16； (2) f(x,y)=3xy－x3－y3+1.
??fx(x,y)?2x?6y?18?0解：(1) 先解方程组? 2f(x,y)?3y?6x?39?0??y得驻点为(-6,1),(6,5).
fxx?2,fxy?x,y???6,fyy?x,y??6y,
在点(-6，1)处，Δ=AC-B2=2×6-36<0,所以f(-6，1)不是极值； 在点(6，5)处，Δ= AC-B2=2×30-36>0，又A>0，所以函数在(6，5)处有极小值f(6，5)=-90.
2??fx(x,y)?3y?3x?0(2) 先解方程组? 2f(x,y)?3x?3y?0??y得驻点为(0,0),(1,1).
fxx??6x,fxy?x,y??3,fyy?x,y???6y,
在点(0，0)处，Δ=AC-B2=-9<0,所以f(0，0)不是极值；
在点(1，1)处，Δ=AC-B2=27>0,又A<0，所以函数在(1，1)处有极大值f(1，1)=2.
2. 求函数f(x,y)=x2－2xy+2y在矩形区域D={(x,y)|0≤x≤3,0≤y≤2}上的最大值和最小值.
解：(1)先求函数在D内的驻点，解方程组 ??fx(x,y)?2x?2y?0 ?f(x,y)??2x?2?0 ?y?得唯一驻点(1,1),且f(1,1)=1.
(2) 再求f(x,y)在D的边界上的最值.
在边界x =0,0?y?2上, f(x,y)=2y，因此最大值为f(0,2)=4，最小值为f(0,0)=0； 在边界x =3,0?y?2上, f(x,y)= -4y+9，因此最大值为f(3,0)=9，最小值为f(3,2)=1； 在边界y =0,0?x?3上, f(x,y)= x2，因此最大值为f(3,0)=9，最小值为f(0,0)=0；
在边界y =2,0?x?3上, f(x,y)= x2－4x+4，因此最大值为f(3,2)=1，最小值为f(2,2)=0； (3) 比较上述得到的函数值，从而得到f(3,0)=9为最大值，f(0,0)=0为最小值. 3. 求函数f(x,y)=3x2+3y2－x3在区域D:x2+y2≤16上的最小值. 解：(1)先求函数在D内的驻点，解方程组
2??fx(x,y)?6x?6y?3x?0 ?f(x,y)?6y?0 ?y?得驻点(0,0), (2,0)，且f(0,0)=0， f(2,0)=4.
(2) 再求f(x,y)在D的边界上的最值.
在边界x2+y2=16上，f(x,y)=48－x3, 因此最大值为f(0,4)=48，最小值为f(4,0)=-16； (3) 比较上述得到的函数值，从而得到f(0,4)=48为最大值，f(4,0)=-16为最小值. 4. 求下列函数的条件极值： (1) z=xy，x+y=1；
(2) u=x－2y+2z， x2+y2+z2=1.
解：(1) 作拉格朗日函数L(x,y,λ)=xy+λ(x+y－1).写出方程组
?Lx?y???0??Ly?x???0 ?L?x?y?1?0??11111得到P(,),因此，z=xy在P(,)处取得最大值.
22224(2) 作拉格朗日函数L(x,y,z,λ)= x－2y+2z +λ(x2+y2+z2－1).写出方程组
Lx?1?2?x?0???Ly??2?2?y?0 ?L?2?2?z?0z??L?x2?y2?z2－1?0??122122,),P得到P1(,?1(-,,-). 333333122因此，u=x－2y+2z在P1(-,,-)处取得最小值-3. 3335. 要用铁板做成一个体积为8m3的有盖长方体水箱，如何设计才能使用料最省？ 解 设长方体的三棱长分别为x，y，z，则问题就是在约束条件
xyz=8
下求函数S=2(xy+yz+xz)的最大值. 构成辅助函数
F(x，y，z)= 2(xy+yz+xz)+λ(xyz－8)，
解方程组
?Fx(x,y,z)?2y?2z??yz?0,??Fy(x,y,z)?2x?2z??xz?0,???Fz(x,y,z)?2x?2y??xy?0,?xyz?8?得x?y?z?2?这是唯一可能的极值点.
因为由问题本身可知最小值一定存在，所以最小值就在这个可能的极值点处取得.即：体积为8m3的有盖长方体水箱中,以棱长为2的正方体的表面积为最小，最小表面积S?24.
6. 某工厂生产甲、乙两种产品的日产量分别为x件和y件，总成本函数为
C(x,y)=1000+8x2－xy+12y2(元),
要求每天生产这两种产品的总量为42件，问甲、乙两种产品的日产量为多少时，成本最低？
解：问题是在约束条件x+y=42(x>0，y>0)下，函数
C(x,y)=1000+8x2－xy+12y2(元)
的条件极值问题.令
L(x,y,λ)?1000?8x2－xy?12y2??(x?y?42)
由Lx?16x?y???0,Ly??x?24y???0,x?y?42得x=25,y=17.
根据问题本身的意义及驻点的唯一性知，当投入两种产品的产量分别为25件和17件时，可使成本最低.
7. 某公司通过电视和报纸两种媒体做广告，已知销售收入R(单位:万元)与电视广告费x(单位:万元)和报纸广告费y(单位:万元)之间的关系为
R(x,y)=15+14x+32y－8xy－2x2－10y2，
(1) 若广告费用不设限，求最佳广告策略.
(2) 若广告费用总预算是2万元，分别用求条件极值和无条件极值的方法求最佳广告策
略.
解：(1)令Rx?14?8y?4x?0,Ry?32?8x?20y?0.得唯一驻点(1.5,1).由此可知，当电视广告费为1.5万元，报纸广告费为1万元时，广告策略最佳。 (2) 问题是在约束条件x+y=2(x>0，y>0)下，函数
R(x,y)=15+14x+32y－8xy－2x2－10y2
的条件极值问题.令
10y2??(x?y?2) L(x,y,λ)?15?14x?32y－8xy－2x2－由Lx?14?8y?4x???0,Ly??8x?32?20y???0,x?y?2
解得x=0.75,y=1.25. 由此可知，当电视广告费为0.75万元，报纸广告费为1.25万元
时，广告策略最佳。
由x+y=2，可得y =2-x,代入R得
R(x,y)=-4 x2+6x+39
令Rx?0,得x?0.75.因此y=1.25.
复习题7 （A）
1. 设z?y?f(3x?1)，且已知y=1时，z=x则f(x)?(x?1)3?1,z?解：由y=1时，z=x，得f(3x?1)=x?1.
令3x?1=t.得x?(t?1)3,因此f(t)?(t?1)3?1.即f(x)?(x?1)3?1，z?y?x?1.
y?x?1.
?x3,(x,y)?(0,0)?2. 设f(x,y)??x2?y2，则fx(0,0)? 1 , fy(0,0)? 0 . ?0,(x,y)?(0,0)?f(0??x,0)?f(0,0)?x?lim?1,
?x?0?x?0?x?xf(0,0??y)?f(0,0)0 fx(0,0)?lim?lim?0. ?x?0?x?0?y?y解：fx(0,0)?limx?y,,则dz? . x?yu解：令u?x?y,v?x?y,则z?arctan
vu111udz?d(arctan)?du?dv 2uv1?(u)2v2v1?()vv而du?dx?dy,dv?dx?dy
(x?y)(dx?dy)11[dx?dy?] 故dz?2x?yx?y?x?y?1????1?xy?3. 设z?arctan