高等数学习题详解-第7章多元函数微分学资料 下载本文

ycosxy故?z?. ?x2?ez两边同时对y求偏导,可得

?z?zxcosxy?2?ez?0.

?y?yxcosxy故?z?. ?y2?ez5. 若f的导数存在,验证下列各式:

?u?xy?u?xu(1) 设u=yf(x2-y2),则y2;

?x?yy?z?y?z?z?xy(2) 设z?xy?xf(),则x.

x?x?y?u?yf'(x2?y2)?2x,?u?f(x2?y2)?2y2f'(x2?y2). 证:(1) ?x?y所以y2?u?xy?u?y3f'(x2?y2)?2x?xy[f(x2?y2)?2y2f'(x2?y2)]?xu.

?x?yyyy(2) ?z?y?f()?xf'()?(?12),?z?x?xf'()1.

?yxx?xxxxyyy所以x?z?y?z?x[y?f()?f'()?(?1)]?y[x?xf'()1]?z?xy.

?x?yxxxxx6. 求下列函数的二阶偏导数(其中f具有二阶连续偏导数):

x?y(1) z?arctan;

1?xy(2) z=ylnx;

(3) z=f(xy,x2-y2).

dy?z1?z?,?. 2?x1?x?y1?y2?2y?2z?2x?2z?2z?2z故2?,?,??0. ?x(1?x2)2?y2(1?y2)2?x?y?y?x(2) ?z?ylnxlny1,?z?lnxylnx?1.

?xx?y解:(1)由第3题可知

2?11故z?ylnxln2y2?ylnxlny2, 2?xxx?2z?lnx(lnx?1)ylnx?2, 2?y?2z?2z1lnx?111??y?lnx?ylnx?1lny??ylnx?1(1?lnxlny). ?x?y?y?xxxx?z(3) ?f1y?f22x,?z?f1x?f22y.

?x?y2?故z?y(f11y?f122x)?2f2?2x(f21y?f222x)?y2f11?4xyf12?4x2f22?2f2. 2?x?2z?x(f11x?f122y)?2f2?2y(f21x?f222y)?x2f11?4xyf12?4y2f22?2f2. 2?y?2z?2z??f1?y(f11x?2yf12)?2x(f21x?2yf22)?f1?xyf11?(2x2?2y2)f12?4xyf22. ?x?y?y?x?z?z7. 求由下列方程所确定的隐函数z=f(x,y)的偏导数,:

?x?y(1) x2+y2+z2-4z=0;

(2) z3-3xyz=1.

?z?z?z2x?4?0,故?. ?x?x?x4?2z2y两边同时对y求偏导得2y?2z?z?4?z?0,故?z?.

?y4?2z?y?y3yz?z?z?3y(z?)?0,故?z?2(2) 两边同时对x求偏导得3z2. ?x?x?x3z?3yxz两边同时对y求偏导得故?z?3.

?y3z2?3x解:(1)两边同时对x求偏导得2x?2z

习题7-6

1. 求下列函数的极值:

(1) f(x,y)=x2+y3-6xy+18x-39y+16; (2) f(x,y)=3xy-x3-y3+1.

??fx(x,y)?2x?6y?18?0解:(1) 先解方程组? 2f(x,y)?3y?6x?39?0??y得驻点为(-6,1),(6,5).

fxx?2,fxy?x,y???6,fyy?x,y??6y,

在点(-6,1)处,Δ=AC-B2=2×6-36<0,所以f(-6,1)不是极值; 在点(6,5)处,Δ= AC-B2=2×30-36>0,又A>0,所以函数在(6,5)处有极小值f(6,5)=-90.

2??fx(x,y)?3y?3x?0(2) 先解方程组? 2f(x,y)?3x?3y?0??y得驻点为(0,0),(1,1).

fxx??6x,fxy?x,y??3,fyy?x,y???6y,

在点(0,0)处,Δ=AC-B2=-9<0,所以f(0,0)不是极值;

在点(1,1)处,Δ=AC-B2=27>0,又A<0,所以函数在(1,1)处有极大值f(1,1)=2.

2. 求函数f(x,y)=x2-2xy+2y在矩形区域D={(x,y)|0≤x≤3,0≤y≤2}上的最大值和最小值.

解:(1)先求函数在D内的驻点,解方程组 ??fx(x,y)?2x?2y?0 ?f(x,y)??2x?2?0 ?y?得唯一驻点(1,1),且f(1,1)=1.

(2) 再求f(x,y)在D的边界上的最值.

在边界x =0,0?y?2上, f(x,y)=2y,因此最大值为f(0,2)=4,最小值为f(0,0)=0; 在边界x =3,0?y?2上, f(x,y)= -4y+9,因此最大值为f(3,0)=9,最小值为f(3,2)=1; 在边界y =0,0?x?3上, f(x,y)= x2,因此最大值为f(3,0)=9,最小值为f(0,0)=0;

在边界y =2,0?x?3上, f(x,y)= x2-4x+4,因此最大值为f(3,2)=1,最小值为f(2,2)=0; (3) 比较上述得到的函数值,从而得到f(3,0)=9为最大值,f(0,0)=0为最小值. 3. 求函数f(x,y)=3x2+3y2-x3在区域D:x2+y2≤16上的最小值. 解:(1)先求函数在D内的驻点,解方程组

2??fx(x,y)?6x?6y?3x?0 ?f(x,y)?6y?0 ?y?得驻点(0,0), (2,0),且f(0,0)=0, f(2,0)=4.

(2) 再求f(x,y)在D的边界上的最值.

在边界x2+y2=16上,f(x,y)=48-x3, 因此最大值为f(0,4)=48,最小值为f(4,0)=-16; (3) 比较上述得到的函数值,从而得到f(0,4)=48为最大值,f(4,0)=-16为最小值. 4. 求下列函数的条件极值: (1) z=xy,x+y=1;

(2) u=x-2y+2z, x2+y2+z2=1.

解:(1) 作拉格朗日函数L(x,y,λ)=xy+λ(x+y-1).写出方程组

?Lx?y???0??Ly?x???0 ?L?x?y?1?0??11111得到P(,),因此,z=xy在P(,)处取得最大值.

22224(2) 作拉格朗日函数L(x,y,z,λ)= x-2y+2z +λ(x2+y2+z2-1).写出方程组

Lx?1?2?x?0???Ly??2?2?y?0 ?L?2?2?z?0z??L?x2?y2?z2-1?0??122122,),P得到P1(,?1(-,,-). 333333122因此,u=x-2y+2z在P1(-,,-)处取得最小值-3. 3335. 要用铁板做成一个体积为8m3的有盖长方体水箱,如何设计才能使用料最省? 解 设长方体的三棱长分别为x,y,z,则问题就是在约束条件

xyz=8

下求函数S=2(xy+yz+xz)的最大值. 构成辅助函数

F(x,y,z)= 2(xy+yz+xz)+λ(xyz-8),

解方程组

?Fx(x,y,z)?2y?2z??yz?0,??Fy(x,y,z)?2x?2z??xz?0,???Fz(x,y,z)?2x?2y??xy?0,?xyz?8?得x?y?z?2?这是唯一可能的极值点.

因为由问题本身可知最小值一定存在,所以最小值就在这个可能的极值点处取得.即:体积为8m3的有盖长方体水箱中,以棱长为2的正方体的表面积为最小,最小表面积S?24.

6. 某工厂生产甲、乙两种产品的日产量分别为x件和y件,总成本函数为

C(x,y)=1000+8x2-xy+12y2(元),

要求每天生产这两种产品的总量为42件,问甲、乙两种产品的日产量为多少时,成本最低?

解:问题是在约束条件x+y=42(x>0,y>0)下,函数

C(x,y)=1000+8x2-xy+12y2(元)

的条件极值问题.令

L(x,y,λ)?1000?8x2-xy?12y2??(x?y?42)

由Lx?16x?y???0,Ly??x?24y???0,x?y?42得x=25,y=17.

根据问题本身的意义及驻点的唯一性知,当投入两种产品的产量分别为25件和17件时,可使成本最低.

7. 某公司通过电视和报纸两种媒体做广告,已知销售收入R(单位:万元)与电视广告费x(单位:万元)和报纸广告费y(单位:万元)之间的关系为

R(x,y)=15+14x+32y-8xy-2x2-10y2,

(1) 若广告费用不设限,求最佳广告策略.

(2) 若广告费用总预算是2万元,分别用求条件极值和无条件极值的方法求最佳广告策

略.

解:(1)令Rx?14?8y?4x?0,Ry?32?8x?20y?0.得唯一驻点(1.5,1).由此可知,当电视广告费为1.5万元,报纸广告费为1万元时,广告策略最佳。 (2) 问题是在约束条件x+y=2(x>0,y>0)下,函数

R(x,y)=15+14x+32y-8xy-2x2-10y2

的条件极值问题.令

10y2??(x?y?2) L(x,y,λ)?15?14x?32y-8xy-2x2-由Lx?14?8y?4x???0,Ly??8x?32?20y???0,x?y?2

解得x=0.75,y=1.25. 由此可知,当电视广告费为0.75万元,报纸广告费为1.25万元

时,广告策略最佳。

由x+y=2,可得y =2-x,代入R得

R(x,y)=-4 x2+6x+39

令Rx?0,得x?0.75.因此y=1.25.

复习题7 (A)

1. 设z?y?f(3x?1),且已知y=1时,z=x则f(x)?(x?1)3?1,z?解:由y=1时,z=x,得f(3x?1)=x?1.

令3x?1=t.得x?(t?1)3,因此f(t)?(t?1)3?1.即f(x)?(x?1)3?1,z?y?x?1.

y?x?1.

?x3,(x,y)?(0,0)?2. 设f(x,y)??x2?y2,则fx(0,0)? 1 , fy(0,0)? 0 . ?0,(x,y)?(0,0)?f(0??x,0)?f(0,0)?x?lim?1,

?x?0?x?0?x?xf(0,0??y)?f(0,0)0 fx(0,0)?lim?lim?0. ?x?0?x?0?y?y解:fx(0,0)?limx?y,,则dz? . x?yu解:令u?x?y,v?x?y,则z?arctan

vu111udz?d(arctan)?du?dv 2uv1?(u)2v2v1?()vv而du?dx?dy,dv?dx?dy

(x?y)(dx?dy)11[dx?dy?] 故dz?2x?yx?y?x?y?1????1?xy?3. 设z?arctan