∴∠ADC＝180°－90°＝90°. (2)连接OB.

由圆的性质知OA＝OB＝OC. ∵四边形OABC是平行四边形， ∴OC＝AB.∴OA＝OB＝AB.

∴△OAB是等边三角形．∴∠AOB＝60°. ︵︵

由垂径定理，得AF＝BF，

11

∴∠FAB＝∠BOF＝∠AOB＝15°.

24

18．(14分)(2016·长沙)如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB、DC、DF. (1)求∠CDE的度数；

(2)求证：DF是⊙O的切线；

(3)若AC＝25DE，求tan∠ABD的值．

解：(1)∵AC为⊙O的直径， ∴∠ADC＝90°.∴∠CDE＝90°.

(2)证明：连接OD.∵∠CDE＝90°，F为CE中点， 1

∴DF＝CE＝CF.∴∠FDC＝∠FCD.

2

又∵OD＝OC， ∴∠ODC＝∠OCD.

∴∠ODC＋∠FDC＝∠OCD＋∠FCD. ∴∠ODF＝∠OCF. ∵EC⊥AC，

∴∠OCF＝90°. ∴∠ODF＝90°， 即DF为⊙O切线．

(3)在△ACD与△ACE中，∠ADC＝∠ACE＝90°，∠EAC＝∠CAD， ∴△ACD∽△AEC.

∴

ACAD2

＝，即AC＝AD·AE. AEAC

又AC＝25DE，

2

∴20DE＝(AE－DE)·AE， ∴(AE－5DE)(AE＋4DE)＝0. ∴AE＝5DE.∴AD＝4DE.

222

在Rt△ACD中，AC＝AD＋CD，∴CD＝2DE. 又在⊙O中，∠ABD＝∠ACD， AD

∴tan∠ABD＝tan∠ACD＝＝2.

CD