30. 据环保部门测定，某处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源距离的平方成反比，比例常数为

k(k?0)．现已知相距18km的A，B两家化工厂（污染源）的污染强度分别为a,b，它们连线上任意一点C

处的污染指数y等于两化工厂对该处的污染指数之和．设AC?x（km）． （1）试将y表示为x的函数；

（2）若a?1，且x?6时，y取得最小值，试求b的值．

【解析】本题主要考查阅读材料，提取信息，建立数学模型的能力，同时考查利用所学知识（本题主要应用导数知识求最值）分析和解决实际问题的能力． （1）设点C受A污染源污染程度为

kbka，点C受B污染源污染程度为，其中k为比例系数，且22(18?x)xk?0．??????????????????????????4分 从而点C处受污染程度y?kakb?． ????????????????6分 x2(18?x)2（2）因为a?1，所以，y?kkb?，???????????8分 2x(18?x)2y'?k[18?22b'x??]，令，得， ???????????12分 y?0x3(18?x)31?3b又此时x?6，解得b?8，经验证符合题意．

所以，污染源B的污染强度b的值为8．???????????14分

31. 如图是一幅招贴画的示意图，其中ABCD是边长为2a的正方形，周围是四个全等的弓形。已知O为正方形的

中心，G为AD的中点，点P在直线OG上，弧AD是以P为圆心、PA为半径的圆的一部分，OG的延长线交

弧AD于点H。设弧AD的长为l，?APH??,??(（1）求l关于?的函数关系式； （2）定义比值

?3?4,4)。

OP为招贴画的优美系数，当优美系数最大时，招贴画最优美。l证明：当角?满足：??tan(??

?4)时，招贴画最优美。

aaππaπ3πAP??解：（1）当??(,)时，点P在线段OG上，；当??(,)时，点P在线段GH上，；AP?sin(π??)sin?42sin?24当 ??π时，AP?a． 2aπ3π，??(,)． ??????????2分 sin?442a?2a?π3π，故所求函数关系式为l?，??(,)．?4分 sin?44sin?时

，a?t?a 综上所述，AP? 所以，弧AD的长l?AP?2?? （O?P2）O?G当

??(,)a?GH?ataπ?n?)(ππ42OP?OG?PG?a??a?t?anaac?o?s；当sin??(π3π,24时)，

c?aosπ

?a；当? ???a时，OP?a． n?si2n 所以，OP?a? 从而，

acos?π3π，??(,)． ?????????6分 sin?44OPsin??cos?． ?????????????8分 ?l2?sin??cos?π3π，??(,)．

2?44记f(?)? 则f?(?)??(cos??sin?)?(sin??cos?)．

2?2 令f?(?)?0，得?(cos??sin?)?sin??cos?． ??????????10分

π3πsin??cos? 因为??(,)，所以cos??sin??0，从而??．

44cos??sin? 显然??

πsin??cos?tan??1π，所以????tan(??)．??????????12分

cos??sin?tan??142

π 记满足??tan(??)的???0，下面证明?0是函数f(?)的极值点．

4π3π 设g(?)??(cos??sin?)?(sin??cos?)，??(,)．

44π3π 则g?(?)??(cos??sin?)?0在??(,)上恒成立，

44π3π 从而g(?)在??(,)上单调递减． ???????????14分

44

ππ 所以，当??(,?0)时，g(?)?0，即f?(?)?0，f(?)在(,?0)上单调递增；

44当??(?0,3π3π)时，g(?)?0，即f?(?)?0，f(?)在(?0,)上单调递减． 44 故 f(?)在???0处取得极大值，也是最大值．

πOP时取得最大值，此时招贴画最优)，函数f(?)即4l美． ????????????????????16分

所以，当?满足??ta?n?(

32. 在综合实践活动中,因制作一个工艺品的需要,某小组设计了如图所示的一个门(该图为轴对称图形),其中矩形

ABCD的三边AB、BC、CD由长6分米的材料弯折而成,BC边的长为2t分米(1?t?3)；曲线AOD拟2从以下两种曲线中选择一种:曲线C1是一段余弦曲线(在如图所示的平面直角坐标系中,其解析式为

y?cosx?1),此时记门的最高点O到BC边的距离为h1(t)；曲线C2是一段抛物

9线,其焦点到准线的距离为,此时记门的最高点O到BC边的距离为h2(t).

8 (1)试分别求出函数h1(t)、h2(t)的表达式；

(2)要使得点O到BC边的距离最大,应选用哪一种曲线?此时,最大值是多少?

所以点O到AD的距离为1?cost,而AB?DC?3?t,

A y O D x B

C 解:(1)对于曲线C1,因为曲线AOD的解析式为y?cosx?1,所以点D的坐标为(t,cost?1)??2分

3)?????4分 2942422对于曲线C2,因为抛物线的方程为x??y,即y??x,所以点D的坐标为(t,?t)???2分

49942423所以点O到AD的距离为t,而AB?DC?3?t,所以h2(t)?t?t?3(1?t?)?????7分

9293t?,0所以h1(t)在[1,]上单调递减,所以当t?1时,h1(t)取得最大值为 (2)因为h1?(t)??1?sin23?cos1?????????????9分

49239335又h2(t)?(t?)?,而1?t?,所以当t?时,h2(t)取得最大值为????11分

9816222?115因为cos1?cos?,所以3?cos1?3??,

322235 故选用曲线C2,当t?时,点E到BC边的距离最大,最大值为分米?????14分

22则h1(t)?(3?t)?(1?cost)??t?cost?4(1?t?