5.解：（1）设商品1和2的价格分别为p1，p2，则消费者的问题为：

maxx1x2

s.t p1x1?p2x2?24 构造的拉格朗日函数为：

L?x1x2??(p1x1?p2x2?24)

将拉格朗日函数分别对x1和x2求偏导，令偏导值为零

?L?x2??p1?0 ?x1?L?x1??p2?0 ?x2所以

x2x1?，即p1x2?p2x2，从而2p1x1?24，2p2x2?24 p1p21212，x2?

p2p1可解出x1?（2）因为p1?1，p2?2，所以x1?12，x2?6。

（3）消费水平不变即消费效用不变，故要维持U?x1x2?72。消费者问题为：

min(x1?3x2)

9

s.t x1x2?72 构造的拉格朗函数为：

L?x1?3x2??(x1x2?72)

将拉格朗日函数分别对x1和x2求偏导，令偏导值为零

?L?1??x2?0 ?x1?L?3??x1?0 ?x22?72，可解出x2?26，x1?66，预算应调整为126。所以x1?3x2，从而3x2对商品2带来的替代效应为26?6

（4）如果预算仍为24，则消费者对商品2的需求为x2?来的收入效应为4?26。

6. 解：设商品X和Y的价格分别为pX，pY，消费者的预算为I，则消费者的问题为：

maxX4Y3

12?4，价格变化给其带p2s.t pXX?pYY?I 构造拉格朗日函数为

L?X4Y3??(pXX?pYY?I)

将拉格朗日函数分别对X和Y求偏导，令偏导值为零，得到

?L?4X3Y3??pX?0 ?X?L?3X4Y2??pY?0 ?Y由上两式可得

4X3Y33X4Y2?pXpY

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进一步有

434X4Y33XY ?pXXpYY从而

pYY3X4Y33 ?? 43pXX4XY4pXX和pYY分别为消费者在X和Y商品上的支出，不难看出消费者在Y商品上的支出

占总支出的比重为37。

3I3 由于消费者在Y商品上的支出为I，所以消费者对商品Y的需求函数为，这表明

7py7对Y的需求与X的价格没有关系。

?Px+Px?m7. 解：(1)预算约束方程为：?1122?(P1?t)x1+P2x2?m?tx1x1?x1x1?x1 预算线如图。

（2）消费者的效用函数为：u?x1,x2??bx1?ax2，无差异曲线如图。

x2 m/P 2 O x2 斜率为?P1/P2斜率为?b/a 斜率为?(P1?t)/P2x1 x1 (m?tx1)/(P1?t)O 无差异曲线图示 x1 预算线图示 (3)该消费者对商品1 的需求函数为： (3.1)当b/a?P1/P2时，x1?0；

(3.2)当b/a?(P1?t)/P2时，x1?(m?tx1)/(P1?t)；

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(3.3)当b/a?P1/P2，时，x1?[0,x1]；

(3.4)当b/a?(P1?t)/P2时，x1?[x1,(m?tx1)/(P1?t)] (3.5)当P1/P2?b/a?(P1?t)/P2时，x1?x1

8.解：该消费者的最大化问题是

maxalnx1?x2 s..tp1x1+p2x2=m 需求函数为x1?ap2/p1 , x2?(m?ap2)/p2 间接效用函数为v(p,m)?u(x1(m,y),x2(m,y))?alnap2m?app?2，1p2

9.解：线性规划 maxxxx21x2

1,2 s..tp1x1?p2x2?y

其拉格朗日函数为：

L?x21x2??(px1?1px2?2y) 使L最大化的一阶条件为：

?L?x?2x1x2??p1?0 （1） 1

?L?x?x21??p2?0 （2） 2

?L???p1x1?p2x2?y?0 （3） （1）式除以（2）式，得：

2x2x?p1p?xpx2?1 1 （4） 122p2 代（4）入（3）式得x1的需求函数

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p是向量(p1，p2)。