4、希腊数学学派的数学观各有什么相同与不同的地方，它们对数学以及整个科学的发展有什么影响？ 5、希腊数学的鼎盛时期为什么会出现在亚历山大时期？试论述数学科学发展与社会发展的关系。

6、欧几里得《几何原本》对数学以及整个科学的发展有什么重要影响？其重要影响的成就有哪些？ 7、阿基米德是如何用力学方法发现和证明球体积计算公式的？是比较他的方法与其他民族，如中国古代数学家的球体积计算公式的推导方法的异同。

8、圆锥曲线的概念是如何提出的？古希腊的数学家们又是如何得到圆锥曲线的？ 9、希腊数学最重要的成就有哪些？他们留给了人哪些问题？这些问题为什么在希腊人的手里无法解决？

10、收集阅读相关资料，并对其进行整理，论述欧几里得和阿基米德的科学精神和爱国主义情操。

第三章 来自东方的继承者与传播者——印度与阿拉伯的数学

一、教学时间安排：3学时 二、教学目的、要求：

1、了解古印度数学对世界数学发展主要的贡献及数学发展特色； 2、了解古阿拉伯数学对世界数学发展主要的贡献及数学研究的特色； 3、了解古阿拉伯数学家阿尔.花拉子米对代数学发展的贡献。 三、教学的重点和难点：

古印度数学对世界数学发展主要的贡献及数学发展特色、古阿拉伯数学对世界数学发展主要的贡献及数学研究特色的介绍。 四、教学方法和教学手段：讲授法、多媒体辅助 五、教学过程设计：导入、新授课、小结 六、教学内容。

当希腊人在爱琴海岸创造的高度数学文明被来自异族的侵略者毁灭之后，延续了1000多年的古希腊文明虽在数学上留给后人无比丰富的遗产，但同时也留下了许多问题。首先，希腊数学的严格演绎推理的特点在发明创造时却是一个缺陷，因为许多发明创造都是以不慎严谨的猜想推测为出发点的，而正是这一点又为希腊数学所不齿。因此，希腊数学失去了许多发明创造的大好时机。如希腊人的穷竭法关于无限的讨论已相当深入，但是囿于严谨而终与发现微积分的一般方法失之交臂。再者，同样由于严谨性的考虑，代数学相对来说受到了冷遇。由于古希腊数学的巨大影响力，这种情形一直持续了几百年，然而就是在古希腊数学文明衰微、欧洲处于长达1000年的中世纪黑暗时期，“西方不亮东方亮”，在世界的东方，希腊残留的火花得到了保存与传播，这就是印度与阿拉伯的数学.（36）

3.1印度的数学

地处恒河流域的印度与古巴比伦、埃及和中国一样，也是人类文明的发祥地之一。印度文明最早可以上溯到公元前3500年左右居住在印度河流域的达罗毗荼人的哈拉帕青铜文化。（具体见教材36）（印度文明最早可以上溯到公元前多少年左右居住在印度河流域的达罗毗荼人的哈拉帕青铜文化？）（36）

从5世纪始，印度文明又不断受到其他民族的侵占。（37）大约在5000年前印度人就兴建起了具有相当规模的城市与宫殿，并且有了书写、计算和度量衡的体系。由于印度以农业为经济来源，很早就开始观察星象，编写历书，因而带动了数学研究。另外，印度是一个宗教盛行的国家，释迦牟尼创建的佛教曾流传到中国等地，这一教派的“绳法经”在科学文化方面有较高的水平，也是在数学史上有意义的为数不多的宗教作品之一。（什么时候起印度有了书写、计算和度量衡的体系？什么带动了印度数学研究？佛教的“绳法经”是在数学史上有意义的为数不多的宗教作品之一。）（37）

印度远古时期的文字是书写在棕榈叶和白桦树皮等天然材料上的。由于印度长期多雨，这些材料很快就腐烂了，故这个国家远古时期的文化没有能像古巴比伦、埃及和中国那样保存下来，这就使我们无从了解到这支人类文化的源头那个时代在数学方面究竟做了些什么。（印度远古时期的文字为什么没有保留下来？）（38）

自公元前326年亚历山大大帝征服印度西北部以来，这个民族受到多次的外来侵略，多民族的文化在这里交融，也就孕育了印度数学的繁荣。（什么孕育了古印度数学的繁荣？）（38）

公元3世纪至12世纪是印度数学的繁荣时期，而繁荣的标志表现为出现了一些著名的天文学家兼数学家。他们主要是：阿耶波多、婆罗门笈多、摩诃毗罗和婆什迦罗。（38）

阿耶波多写了一部关于天文学的著作《阿耶波多文集》，其中有一章专讲数学，介绍了比例、开方、二次方程、一次不定方程、算术级数等问题，他得出了圆周率为3.1416的较好的近似值。（阿耶波多的著作《阿耶波多文集》是数学专著吗？他得出的圆周率是多少？都介绍了哪些数学问题？ ）

婆罗门笈多30岁时写成一部重要著作《婆罗门修正体系》，包括“算术讲义”、 “不定方程讲义”等章，其中有算术、勾股定理、面积、体积等内容，并讨论了二次方程，线性方程组及一次和二次不定方程的解法。他还利用内插公式造了一张正弦表，其著作曾译成阿拉伯文，对伊斯兰教国家的数学和天文学都产生过重大影响。（婆罗门笈多几岁时写成一部重要著作《婆罗门修正体系》，包括“算术讲义”、 “不定方程讲义”等章，其中有算术、等哪些数学内容？并讨论了哪些方程的解法？）（38）

摩诃毗罗著有《数学九章》一书，其内容主要是算术运算、开平方和开立方、二次方程及组合问题，也讲到解二次不定方程等。（摩诃毗罗著有《数学九章》一书，其内容主要是什么问题？也讲到解什么方程等？）（38）

婆什迦罗对天文学和数学都有研究，是古代印度最杰出的数学家。他的数学名著有《丽罗娃提》和《算法本原》。这两部著作除了整理前人的成果之外还论述了有理数的四则运算、线性方程组和不定方程。（ 《丽罗娃提》和《算法本原》的作者是谁？这两部著作的主要内容是什么？）（38）

12世纪以后，印度数学的发展日趋滞缓，直到19世纪才有新的起色。（ 12世纪以后，印度数学是如何发展的？）

3.1.1印度的算术

在印度数学中最值得称道的是印度数码和10进位值制记数法。人们所说的“阿拉伯数码”实际上最早是由印度人发明的，这是他们对数学乃至整个人类文化的重要贡献。印度数码的完善是经历了漫长的发展过程的，直到4世纪在巴克沙里手稿中才比较接近于现在的形式。（在印度数学中最值得称道的是什么？“阿拉伯数码”是谁发明的？）（39）

在各类记数制中，零的记号是该进位制是否先进的一个重要标志。摩诃毗罗给出了零的运算法则。（在各类记数制中，什么的记号是该进位制是否先进的一个重要标志？）（39）

印度人很早就引进了负数。婆罗门笈多在628年左右系统地给出了负数四则运算的正确法则。婆什迦罗在《根的计算》中又进一步讨论了负数。（印度人是否很早就引进了负数？是否有负数四则运算的正确法则？）（39）

印度人较早就有分数的概念，除了在天文学中的分数仍然沿用巴比伦的60进制记号外，他们在其他场合都用整数之比表示分数。他们会对分数进行四则运算，在分数相加减时取分母的乘积为公分母而不求他们的最小公倍数。在著名的巴克沙里手稿中，印度人将分子记在分母之上，无分数线分隔。在带分数的情形，则把整数

部分写在分数之上。（古印度有分数的概念吗？是否有分数四则运算？在分数相加减时公分母如何取得？有分数线吗？）（39）

3.1.2印度的代数

印度数学家使用缩写文字和记号来记述代数方程，有时也用于其他场合。他们使用符号的程度大体上要比丢番图的缩写代数稍有进步，不过两者使用的符号是完全不同的。（印度数学家使用什么方式来记述代数方程？）（40）

印度数学家常用假设法作为解方程或方程组的工具。（印度数学家常用什么方法作为解方程或方程组的工具？）（40）

二次方程是印度数学家最感兴趣的课题之一，他们允许方程的某些系数是负数，从而可以把二次方程归结为标准类型。（印度数学家对二次方程感兴趣吗？是否允许有负系数出现？当时是否有二次方程标准形式？）（41）

不定方程的研究可能是使印度数学家自己最值得自豪的。他们的成就超过了丢番图，因为他们已经不像丢番图那样，只满足于求出一个有理数解，而是要求出所有的正整数解。（印度数学家自己最值得自豪的是什么方程的研究，且成就超过了丢番图？）（41）

印度数学家在公元11世纪给出了所谓金字塔图，这就是由二项式展开式系数所构成的三角形，从中他们发现组合数公式。（中国的杨辉三角形）（印度数学家在公元11世纪给出了所谓金字塔图是什么图形？从中他们发现了什么公式？）（41）

3.1.3印度的几何与三角

在印度数学中，几何相对于代数来说，显得有些平淡无奇，主要是一些常见的几何体的体积公式，远远不如希腊人所达到的水平，不过他们的三角学研究却继承并发展了希腊人的工作。（在印度数学中，几何相对于代数来说，显得怎样？印度的几何成就是否达到了希腊人的水平？印度的三角学研究继承并发展了谁的工作？）（41）

尽管印度的数学在历史上曾有过辉煌的一页，他们的成就是举世公认的，但也有其局限的一面，主要表现在数学未能脱离天文学和宗教而独立存在，因此也就不可能形成完整的理论体系；其数学著作中的语言较为含糊而神秘，缺乏清楚的概念和严格的证明。他们把杰出成果与平庸之作混在一起，正如11世纪的阿拉伯著名历史学家阿尔贝鲁尼所说的那样：“我们只能把他们的数学和天文学著作……比作宝贝和烂枣或珍珠与粪土或宝石和卵石的混合物。”语言未免苛刻，但也不无道理。（印度的数学在历史上的表现有其局限一面，主要表现在哪些方面？其数学语言是否严谨？）（42）

3.2阿拉伯的数学

阿拉伯人对数学的研究始于8世纪中叶或9世纪初。开始时，他们以翻译和学习印度、希腊的数学经典为主。随后在消化、吸收这些著作的基础上进行独立的数学研究。（阿拉伯人对数学的研究始于8世纪中叶或9世纪初。开始时，他们以什么工作为主？随后在什么的基础上进行独立的数学研究？）（42）

今天我们所说的“阿拉伯数学”，主要是指那些用阿拉伯文写成的数学。事实上，这个时期在这里从事数学研究的学者还有波斯人、希腊人、摩尔人、塔什干人、犹太人和欧洲的基督教徒们。（今天我们所说的“阿拉伯数学”，主要是指什么数学？）（42）