词：最大城市、兴建图书馆、六十万卷、国家、研究机构、研究人员、国家供养。）（亚历山大学派如何产生的？）（23）

亚历山大的东征，客观上促进了东西方文化的融合，数学由此产生了新的生长点。（一分为二地看问题。当你遇到困难时，是否也看到了机遇？）（23）

亚历山大时期的数学发展有两个方向，其一是沿着毕达哥拉斯、柏拉图开辟的方向，继续致力于纯粹数学理论的研究，并使之系统化，其代表人物有欧几里得、阿波罗尼斯；其二是以阿基米德为代表，致力于研究数学与天文、物理、力学、光学等学科的结合，在继承古典时期研究成果的基础上，不断开拓新的领域。（亚历山大时期的数学发展沿那两个方向发展？代表人物是谁？）（23）

阿基米德、欧几里得、阿波罗尼斯并称亚历山大时期的三大数学巨人。他们的工作，使得希腊数学的发展达到了前所未有的最高水平。（那些数学家被称为亚历山大时期的三大数学巨人？黄金时代的代表应有众多杰出的数学家、数学学派的出现。）（23）

2.2.1欧几里得与他的《几何原本》

欧几里得出生于雅典，曾受教于柏拉图学院。雅典衰落后，应托勒密国王的邀请，来亚历山大城主持数学学派的工作。（欧几里得出生于何地？应谁的要求到亚历山大主持数学学派的工作？）（24）

欧几里得是一位温和仁慈的蔼然长者，学生们都很尊敬他。他严谨治学，不图名利，据说当托勒密国王向他询问学习几何知识的捷径时，他答道：“几何无王者之道”。当有一位学生刚学完第一个几何命题便问欧几里得学了几何后将得到什么好处时，欧几里得则幽默地对侍者说：“拿一个便士给这位先生，因为他总要从他学习的东西中获取好处的。”（ “几何无王者之道” 是谁的名言？）（24）

欧几里得是一位勤奋的学者，他以满腔热情将以雅典为代表的希腊数学成果，运用欧多克索斯曾经部分采用过的严密的逻辑方法重新编纂成书。（将什么为代表的希腊成果，运用谁曾经部分采用过的严密的逻辑方法重新编纂成书？）（24）

欧几里得首先收集、整理已有的数学成果，以命题的形式作出表述，完善前人的各种定理并给于重新证明，使其达到无懈可击的地步。然后，他做出了自己的伟大创造：对定义进行筛选，选择出具有重大意义的公理，逻辑地、严密地按演绎方法组织命题及其证明，最后形成了具有公理化结构和严密逻辑体系的《几何原本》。它是在公元前300年左右完成的。（欧几里得如何完成《几何原本》的？在整理过程中有那些伟大创造？《几何原本》完成的时间？）（24）

“原本”希腊文的原意是指一学科中具有广泛应用的最重要的定理。（24）

欧几里得《几何原本》的原稿早已丢失，现在版本是以希腊评注家泰奥恩编写的修订本为依据的。全书分13卷，共有465个命题。（原稿已丢失，现在版本是以谁编写的修订本为依据的？全书分几卷？共有几个命题？）（25）

前六卷相当于平面几何内容，第一卷首先用23个定义给出了点、线、面、圆以及平行线等原始概念，接着提出了5个公设和5个公理。（25）值得指出的是，由于《几何原本》中第5公设所阐述的事实不像其他4个公设那样明显，人们怀疑它可能由前4条公设推出，（既不独立于前4条公设）。因此，在《几何原本》问世以后的2000多年中，许多人都曾试图由其它的公设给出这一公设的证明。

直到19世纪初由于罗巴切夫斯基、高斯、波尔约等人的工作导致了“非欧几何”

的诞生，人们才知道该公设是不能由其它公设推导出来的，从而证明了这5个公设是相互独立的。同时，随着非欧几何的诞生，人们关于几何的认识也从欧几里得的框架中解放出来，使得几何学得到迅速的发展。（25）（第5公设，因何原因引来无数数学家2000多年的不懈研究？可见数学家对问题的态度……。我们从中可得到什么收获？）

《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，是约300年来希腊数学成果、方法、思想和精神的结晶，其内容和形式对几何学本身和数学逻辑的发展有着巨大的影响。自它问世之日起，在长达二千多年的时间里一直盛行不衰。他经历多次翻译和修订，自1482年第一个印刷本出版后，至今已有一千多种不同的版本。除了《圣经》之外，没有任何其他著作、其研究、使用和传播之广泛，能够与《几何原本》相比。但《几何原本》超越民族、种族、宗教信仰、文化意识方面的影响，却是《圣经》所无法比拟的。（26）（ 《几何原本》是古希腊数学家谁的一部不朽之作，是约多少年来希腊数学成果、方法、思想和精神的结晶？自哪年第一个印刷本出版后，至今已有多少种不同的版本？影响可与《圣经》比拟的数学著作是哪一本？ ）

诚然，正如一些现代数学家所指出的那样，《几何原本》存在着一些结构上的缺陷，但这丝毫无损于这部著作的崇高价值。它的影响之深远。使得“欧几里得”与“几何学”几乎成了同义词。它集中体现了希腊数学所奠定的数学思想、数学精神，是人类文化遗产中的瑰宝。（26）（从《几何原本》结构上的缺陷与其历史上的影响，是否看出瑕疵掩盖不了其崇高价值？）

欧几里得还写了许多其他出色的著作，他对天文学和光学都有研究，但在纯数学方面保留下来的仅有两本：（1）《数据》这是在《几何原本》基础上进一步研究几何学的一本问题集，共95个问题；（2）《论图形的分割》，研究将图形分割成比例的问题，共有36个问题。（纯数学方面的著作保留下来的有几本？各有几个问题？）（27）

2.2.2阿基米德的数学成就

古希腊最伟大的数学家非阿基米德莫属。（27）

阿基米德出生于意大利西西里岛的叙拉古。他的父亲是天文学家，母亲出生于名门望族，且知书达理。（阿基米德出生于何处？）（27）

青年时代的阿基米德曾到号称“智慧之都”的亚历山大城求学，当时亚历山大的学术空气较为自由，学生们可以自由地选择内容听讲并参加讨论和研究。这里的科学研究包括四个方面：文学、数学、天文学和医学，由于希腊天文学实际是一种数理天文学，以天体运动的数学设计为其主要内容，而医学和占星术也含有数学，故数学在亚历山大占有主导地位。（当时亚历山大的学术空气如何？科学研究包括哪些方面？数学在亚历山大占有主导地位吗？）（27）

在亚历山大期间，阿基米德系统地阅读了欧几里得的《几何原本》，研究了古希腊时期巧辩学派代表人物的著作及安提丰等人关于三大几何问题讨论的种种方法，特别是安提丰和欧多克索斯的穷竭法对阿基米德影响最为深刻，以至后来发展成为他处理无限问题的基本工具。（在亚历山大期间，阿基米德系统地阅读了谁的数学著作？研究了古希腊时期谁的著作及安提丰等人关于什么问题讨论的种种方法？特别是谁的穷竭法对阿基米德影响最为深刻，以至后来发展成为他处理无限问题的基本

工具？ ）（27）

阿基米德学成后返回故乡，并终身保持同亚历山大学派的联系，研讨学问，成为亚历山大学派最杰出的代表。他一直住在叙拉古。（阿基米德发明了投石炮、火镜等先进武器，让敌人吃尽苦头。）（27）

公元前212年，罗马人在其统帅马塞路斯的率领下围攻叙拉古，由于叛徒出卖，罗马人趁叙拉古人庆祝女神节的狂欢之夜，攻占了城市，阿基米德死于士兵剑下，临死前还在思考几何问题。（阿基米德临死前还在思考什么问题？）（27）

阿基米德的数学著作流传至今，按时间顺序，依次为《抛物线的求积》、《论球和圆柱》、《论螺线》、《论劈锥曲面体与球体》、《圆之度量》、《沙粒计》，这些论著无一不是数学创造的杰出之作，正如英国数学史家希思所指出的，这些论著“无一例外地都被看作是数学论文的纪念碑。解题步骤的循循善诱，命题次序的巧妙安排，严格摒弃叙述的枝节及对整体的修饰润色，总之，给人的完美印象是如此之深，使读者油然而生敬畏的感情。”（28）

阿基米德在力学方面的贡献也是相当杰出的。他是古希腊绝无仅有的应用试验进行力学研究的人，因而也是这门学科当之无愧的创始人。（28）

阿基米德应用力学方法进行数学规律探索的倡导者和典范。在他的一篇题为《方法论》的手抄本中，他断言“力学便于我们发现结论，而几何则能帮助我们对结论作出证明”。这一手抄本是海伯格1906年在君士坦丁堡发现的，那是阿基米德给埃拉托塞尼的一封信。（29）

阿基米德用力学方法探索数学结论的基本思想是：为了找出所求图形的面积和体积 ，可将它分成很多窄的平行条和重心为已知的图形，利用杠杆平衡原理及已知图形的面积、体积，便可探求出未知图形的面积和体积来。（29）

虽然“穷竭法”在欧几里得《几何原本》中已有记载，甚至更早的还可追溯到欧多克索斯，但是任何人都难以否认这样的事实；阿基米德对穷竭法的运用代表了古代用有限方法处理无限问题的最高水平。（32）

将运动观点引入数学，也是阿基米德数学思想的重要组成部分，这集中反映在《论螺线》一书中。阿基米德对螺线的定义，其思想方法在古代数学中是独树一帜的。（32）

阿基米德杰出创造微小三角形的引入，它本质上类同于微积分中的微分三角形，阿基米德的这一例子，是希腊几何中可以找到的孕育微分法的为数不多的最为优秀的杰作之一。（32）

2.2.3阿波罗尼斯与《圆锥曲线》

阿波罗尼斯出身于小亚细亚西北部的城市柏加，青年时代的阿波罗尼斯曾客居亚历山大城，追随欧几里得的学生学习数学。他写过多部数学著作，但以《圆锥曲线》最为成功，是古希腊继《几何原本》之后的又一部力作。（出生于何处？最为成功的数学著作是哪一部？）（33）

阿波罗尼斯的《圆锥曲线》共8卷，有487个命题，现存前7卷，第一卷给出了圆锥曲线的定义和基本性质。在这一卷中，阿波罗尼斯首创了通过改变截面的角度，从一对对顶圆锥得到三种圆锥曲线的方法，并依据曲线的做法推导出它们的特征关系式，进而导出了圆锥曲线的弦、直径、共轭直径、切线等的定义和性质，甚至还得到类似于在坐标变换下曲线性质的不变性的结论。（33）（甚至还得到类似于

在坐标变换下曲线性质的不变性的结论。 这个难度较大。）

需要指出的是，阿波罗尼斯的方程是用几何语言叙述的。（共几卷？有几个命题？在研究圆锥曲线首创了什么方法？阿波罗尼斯的方程是用什么语言叙述的？）（33）

2.3希腊数学的衰落

虽然希腊数学自阿波罗尼斯之后开始走下坡路，但在后来的岁月里也还是有一些数学成就值得人们去研究的。（33）

代数的重大进展是产生了代数符号。第一次系统地提出符号的是丢番图。丢番图是希腊化的巴比伦人，其主要著作《算术》，堪称古代数学的典籍，共13卷。（代数符号的产生是代数的重大进展。第一次系统地提出符号的是谁？他的什么著作堪称古代数学的典籍？共几卷？）（33）

丢番图是当时解代数方程的大师，在《算术》中，绝大多数问题是不定方程，考察的范围是1~4次。（丢番图在《算术》中，绝大多数是什么方程？考察的范围是？）（34）

帕普斯在总结希帕恰斯和梅乃劳斯工作的基础上，写成三角学的最早系统论著《数学汇编》。在该书中有著名的托勒密定理：在圆内接四边形中，两对角线之积等于两对对边乘积之和。帕普斯的《数学汇编》被认为是古希腊数学的安魂曲（帕普斯在总结谁的工作的基础上，写成三角学的最早系统论著《数学汇编》？帕普斯的什么数学著作被认为是古希腊数学的安魂曲？）（34）

总之，亚历山大时期大大开拓了希腊数学的领域，正是由于这个时期的成就，希腊数学才能作为一个比较完整的体系载入史册。在这一时期，定量研究有了很大进展，但并没有使偏重几何的方向发生逆转。算术和代数中，演绎式的逻辑结构始终没有建立起来；三角学的研究尚未摆脱天文学。这就决定了对于数的研究仍然是直观的、经验的，其发展是缓慢的，从而使几何的发展步履艰难。（亚历山大时期，定量研究有了很大进展，偏重几何的方向是否发生发生逆转？算术和代数中，演绎式的逻辑结构是否建立建立起来？三角学的研究是否摆脱天文学？对于数的研究仍然是直观的、经验的吗？因什么发展的缓慢，才使几何的发展步履艰难？）（34）

整个希腊数学的消亡是由于罗马人的入侵所导致的。（34）（消亡的原因？） 公元前146年，罗马人征服了希腊本土。公元前47年，凯撒纵火焚毁停泊在亚利山大港的埃及船队，大火延及该城，并无情地将图书馆两个半世纪以来收集的藏书毁于一炬，罗马统治者推崇的基督教的传播，迅速地以强烈的宗教狂热淹没了丰富的科学想像，使希腊数学蒙受了更大的灾难。查封学园，禁止学习研究数学，使欧洲数学进入了漫长的黑暗时期。（34）

思考题：

1、试从数学科学发展的角度，探讨古希腊把逻辑学中的演绎证明引入数学的理由，并进一步论述数学与逻辑的关系。 2、古典时期的希腊学派对数学科学的发展最重要的贡献有哪些？并通过对资料的分析，论述团队协作对数学发展的重要性。 3、毕达哥拉斯学派是怎样引起第一次数学危机的？他们为什么要对这次数学危机采取回避的态度？这种态度对数学发展有什么重要的影响？