古埃及人使用的是十进制记数制，并且有数字的专门符号。当在一个数中出现某个数码的若干倍时，就将它的符号重复写若干次，即遵守加法的法则，这说明，古埃及人的记数系统是叠加制而不是位值制。古埃及人已有了分数的概念，但他们仅使用单位分数也就是分子为1的分数，表示整体的若干等份中的一份，只有2/3是一个例外。（6）

古埃及人的乘法运算与除法运算是通过叠加来进行的。（7） 1.1.2 古埃及的代数

古埃及纸草书中出现的“计算若干”的问题，实际上相当于方程问题，他们解决这类问题的方法是试位法。古埃及人还用它来解二次甚至更高次的方程。（7）

在古埃及纸草书中还有有关数列问题的记载。（8） 等比数列也已在古埃及纸草书中出现。 1.1.3古埃及的几何学

古埃及的几何学是尼罗河的赠礼。

尼罗河水泛滥后冲刷去了许多边界标记，洪水退后也需要重新勘测土地的界线，这一切，为他们认识基本几何形状和形成几何概念提供了实际背景。

在两种纸草书的110个问题中，有26个是几何问题，其中大部分是计算土地的面积与谷物的体积，还有许多与金字塔有关。（8）

古埃及人认为圆的面积等于直径的8/9的平方。由此可知，古埃及人把圆周率近似地取为3.16。（8）

著名数学史家贝尔形象地将古埃及的正四棱台的体积公式称为“最伟大的埃及金字塔”。（9）（古埃及人是通过具体问题说明了高为h、底边长为a和b的正四棱台的体积公式是：略

1.2古巴比伦的数学

古巴比伦，又称美索波达米亚（错误），位于亚洲西部的幼发拉底河与底格里斯河两河流域，大体上相当于今天的伊拉克。大约是在公元前3000年左右，古巴比伦人在这里建立了自己的奴隶制国家。（9）

在过去相当长的一段时间内，人们对于古巴比伦数学的认识是通过古希腊文化中的零星资料得到的。（9）

19世纪后期，考古学家开始发掘美索波达米亚遗址，在发掘的过程中，人们发现了数以万计的不同时期的泥板，他们用胶泥制成的，一块完整的泥板与手掌的大小差不多，上面写有符号，这种符号是用断面呈三角形的尖棍刻写的，呈楔形，故人们称之为楔形文字。（10）（人们为什么把古巴比伦的文字称为楔形文字？）

1.2.1古巴比伦的记数制与算术

古巴比伦人很早就有了数的写法，其记数系统是60进制。（10） 古巴比伦人也使用分数，他们总是用60作分母，因此古巴比伦人的分数系统是不成熟的。（10）

与古埃及人相仿，古巴比伦人的算术运算也是借助于各种各样的表来进行的，在已发现的泥版书中，大约有200块是乘法表、倒数表、平方表、立方表，甚至还有指数表。

倒数表用于把除法转化为乘法进行，指数表和插值法一起用来解决复利问题的。

1.2.2古巴比伦的代数

在公元前2000年前后，古巴比伦数学已出现了用文字叙述的代数问题。（11） 古巴比伦人可能已经知道某些类型的一元二次方程的求根公式，由于他们没有负根的概念，二次方程的负根不予考虑。

他们还讨论了某些三次方程和双二次方程的解法。（11）

最令人感兴趣的是哥伦比亚大学普林顿收集馆中收藏的第322号泥板，这是一张勾股数数表（即x+y=z的整数解）表，并且极有可能用到了下列参数式：

x=2uv,y=u-v,z=u+v而这正是在一千多年以后古希腊数学中一个极为重要的成就。（1

1.2.3古巴比伦的几何

在古巴比伦人的心目中，几何是不重要的，因为实际中的几何问题都很容易转化为代数问题，他们的面积和体积计算是按照一些固定的法则和公式给出的。（12）

古巴比伦人还有把相当复杂的图形拆成一些简单图形的组合的本领。（12） 古巴比伦人错误地认为，圆台或棱台的体积是两底之和的一半与高的乘积。这一事实表明，古巴比伦的计算方法还是经验型的，这些结果都没有经过证明。（12）

1.2.4古巴比伦的天文学

在公元前5000年到公元前4000年间，古巴比伦人就已开始使用年、月、日的天文历法，他们的年历是从春分开始的，一年有12月，每月有30天。（12）

所谓“星期”也就是指星的日期，我们现在的“星期制”就是在古巴比伦时代所创立的。（12）

从古巴比伦和古埃及的数学，可以看出，它们的内容都与那个地区的社会和生活的需要密切相关。（13）

古巴比伦人对天文学的研究比较感兴趣，因此，相对而言，他们的以60进位记数法为基础的算术与代数较为领先。（13）

古埃及人偏重于测量与建筑施工，因而他们的几何成果比较突出。

以上情况表明，数学从她的萌芽之日起，就是以实际需要为基础的，离开了实际需要，数学研究就缺少了直接动力，数学也就不能迅速发展了。（13）

需要指出的是，在古巴比伦或古埃及的数学知识还仅仅表现为对于一些实际问题观察的结果以及某些经验的积累，数学学科所特有的逻辑思维与理论概括甚至还未被他们察觉，更谈不上掌握了。

在古埃及和古巴比伦时代，数学还只是作为一种用来处理日常生活中遇到的计算与度量问题的工具或者方法，其所给出的仅仅是“如何去做”，而基本没有涉及到“为什么这样做”，这标志着他们的数学还远没有进入理性思维的阶段。（13）从这个意义上来说，数学作为一门科学还远远没有建立起来。（13）

思考题：

1、进一步收集阅读相关资料，进行整理研究，初步探讨数学的起源与世界古老 文明产生的关系。

2、进行调查研究，探讨古埃及和巴比伦人哪些古老的数学知识在我们的生活（包括学习、工作等）中还具有现实意义。

3、在古埃及和古巴比伦人的数学中，大量地使用了归纳的思想。试通过对他们文献资料的研究，阐述他们是如何利用这种思想发现和得到数学结论的，并进一步探讨这种古老的思想方法对于我们今天的数学研究的现实意义。 4、试比较古埃及人和巴比伦人解方程的饭饭，探讨他们各自对后来的数学发展的启迪作用。

第二章 地中海的灿烂阳光——希腊的数学

一、教学时间安排：3学时 二、教学目的、要求：

1、了解古典时期的希腊学派对数学科学的发展的重要贡献； 2、了解第一次数学危机的起因及毕氏学派对危机所采取的态度； 3、了解亚历山大时期的希腊数学；

4、了解欧几里得《几何原本》对数学及整个科学的发展的重大意义。 三、教学的重点和难点：

第一次数学危机的起因与毕氏学派对危机所采取的态度及欧几里得《几何原本》对数学及整个科学的发展的重大意义的介绍。 四、教学方法和教学手段：讲授法、多媒体辅助 五、教学过程设计：导入、新授课、小结 六、教学内容：

从公元前2000年左右到公元前30年，古希腊人（又称海伦人）以巴尔干半岛、爱琴海诸岛和小亚细亚沿岸为中心，在包括北非、西亚和意大利半岛南部及西西里岛的整个地中海地区建立起了一系列奴隶制国家。（希腊数学是希腊人创造的吗？）特别是在公元前5、6世纪西波战争以后，雅典取得了希腊社会的霸主地位，经济生活高度繁荣，生产力显著提高，在这个基础上产生了在整个世界文明史中都占有十分重要地位的希腊文化，数学也是其中非常重要的一个组成部分。（14）

希腊一些城市加强与海外各地的商业联系，为希腊接触并吸收优秀的东方文化提供了方便。（15）

从公元前6世纪起，由于经济和政治的进步，希腊出现了欧洲文化的第一个高峰，希腊数学就是其中的重要成就之一。（15）

数学史上把公元前6世纪至公元前3世纪的希腊数学称为古典时期的希腊数学或前期希腊数学，而把公元前3世纪至公元6世纪称为后期希腊数学，希腊众多的数学学派的工作把数学研究推进到一个崭新的阶段。（15）

2.1希腊数学学派与演绎数学的产生

在公元前6世纪~公元前3世纪期间，先后出现了许多数学学派，（什么时候出现许多数学学派？）他们的工作使得希腊数学得以长足的发展，其中最有影响的有爱奥尼亚学派、毕达哥拉斯学派、巧辩学派和柏拉图学派。（15）

2.1.1爱奥尼亚学派和演绎证明

以演绎证明为基本特征的数学，最早诞生于古希腊爱奥尼亚地区的海滨城市米利都。（15）（什么城市？什么数学成就？）

享有“希腊科学之父”盛誉的泰勒斯（公元前636——公元前546）在这里创立了古希腊历史上的第一个数学学派——爱奥尼亚学派。（15）（谁创立？数学什么学派？）

泰勒斯是一个精明的商人，青壮年时代，他依靠自己的聪明才智，在商场上积累了足够的财富，使他的后半生能够从事游历和研究。（15）（可见足够的经济基础，才能让天才更好地发挥其才能。）

关于泰勒斯的生平和学术工作虽然没有确切可靠的材料，但他的成就还是被后