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文章发布时间 : 2024/11/20 17:28:50星期三

线性代数综合练习题

第一章行列式

一、单项选择题

1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ).

(A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351

2．如果n阶排列j1j2?jn的逆序数是k, 则排列jn?j2j1的逆序数是( ). (A)k (B)n?k (C)

n!n(n?1)?k (D)?k

22003.

010100100000?( ). 1012中x3项的系数是( ). 31(A) 0 (B)?1 (C) 1 (D) 2

2xx?1?1?x14．在函数f(x)?32?x000 (A) 0 (B)?1 (C) 1 (D) 2

5．已知4阶行列式中第1行元依次是?4,0,1,3, 第3行元的余子式依次为

?2,5,1,x, 则x?( ).

(A) 0 (B)?3 (C) 3 (D) 2

?87436?23?16. 若D?，则D中第一行元的代数余子式的和为( ).

111143?75(A)?1 (B)?2 (C)?3 (D)0

3041117. 若D?0?1053?201，则D中第四行元的余子式的和为( ). 02(A)?1 (B)?2 (C)?3 (D)0

?x1?x2?kx3?0?8. k等于何值时，齐次线性方程组?x1?kx2?x3?0有非零解. ( )

?kx?x?x?023?1 (A)?1 (B)?2 (C)?3 (D)0

二、填空题

1. 2n阶排列24?(2n)13?(2n?1)的逆序数是2．在六阶行列式中项a32a54a41a65a13a26所带的符号是

103. 行列式

001110a111011a12 a22a3201?10a13.

a11a13?3a12 3a12a23?3a22a33?3a323a22?3a324．如果D?a21a31a23?M，则D1?a21a33a31

?kx1?2x2?x3?0??0仅有零解的充要条件是5．齐次线性方程组?2x1?kx2?x?x?x?023?1.

?x1?2x2?x3?0?2x2?5x3?0有非零解，则k=6．若齐次线性方程组???3x?2x?kx?0123?.

三、计算题

1111xyx?y1. 23?1?449116; 2．yx?yx；

827?1?64x?yxy111?1b1a1a1?a13. b1b2a2?a2；

???b1b2b3?an.

四、证明题

a2?1a2a1a1b2?1b11．设abcd?1，证明：

b2b1?0. c2?1c2c1c1d2?1d2d1d111112．abcda2b2c2d2?(b?a)(c?a)(d?a)(c?b)(d?b)(d?c)(a?b?c?d). a4b4c4d4

第二章矩阵

一、单项选择题

1. A、B为n阶方阵，则下列各式中成立的是( )。

(a)A2?A (b)A2?B2?(A?B)(A?B)

2(c)(A?B)A?A2?AB (d)(AB)T?ATBT

2.设方阵A、B、C满足AB=AC,当A满足( )时，B=C。

(a) AB =BA (b) A?0 (c) 方程组AX=0有非零解 (d) B、C可逆 3.若A为n阶方阵，k为非零常数，则kA?( )。

(a)

kA (b) kA (c)

knA (d) kA

n4.设A为n阶方阵，且A?0，则( )。

(a) A中两行(列)对应元素成比例 (b) A中任意一行为其它行的线性组合 (c) A中至少有一行元素全为零 (d) A中必有一行为其它行的线性组合 5.设A，B为n阶可逆矩阵,下面各式恒正确的是( )。 (a) (A?B)?1?A?1?B?1 (b) (AB)T?AB

7. 设A为3阶方阵,行列式A?1,A*为A的伴随矩阵,则行列式

(2A)?1?2A*?( )。

(a) ?278278 (b) ? (c) (d) 8278274

8. 设A，B为n阶方矩阵,A2?B2,则下列各式成立的是( )。

(a) A?B (b) A??B (c) A?B (d) A?B 9. 设A，B均为n阶方矩阵,则必有( )。

(a) A?B?A?B (b) AB?BA (c) AB?BA (d) A?B 222210.设A为n阶可逆矩阵，则下面各式恒正确的是（）。（a）2A?2AT (b) (2A)?1?2A?1

（c）当(A|I)经有限次初等变换变为(I|B)时，有A?1?B

（d）以上（a）、（b）、（c）都不对

二、填空题

1.设A为n阶方阵,I为n阶单位阵,且A2?I,则行列式A?_______

?102.设2A??1??020??，则行列式(A?3I)?1(A2?9I)的值为__ _____

??001??

三、计算题

1.解下列矩阵方程(X为未知矩阵).

?1) ?223??1?10???X??22??10?32?? ； 2) AX?A2?X?I,其中A???02???121????0?2????10

1?0??

1??；5

?1?10???2.已知A??021?,求(A?2I)(A2?4I)?1.

?10?1????30?1??11?????3．设A??130?，B??01?，且满足AX?2X?B，求X。

?10???1?13??????120??4. 设n阶方阵A,B满足A?2B?AB，已知B???120??，求矩阵A.

?003???四、证明题

1. 设A、B均为n阶非奇异阵,求证AB可逆.

2. 设n阶矩阵A,B满足A?B?AB，证明：(B?E)(A?E)?(A?E)(B?E)； 3. 证明可逆的对称矩阵的逆也是对称矩阵.

4. 证明每一个方阵均可表示为一个对称矩阵和一个反对称矩阵的和。

第三章矩阵的初等变换与线性方程组

一、单项选择题

1．设n元齐次线性方程组AX?0的系数矩阵的秩为r，则AX?0有非零解的充分

必要条件是（）

(A) r?n (B) r?n (C) r?n (D) r?n

2．设A是m?n矩阵，则线性方程组AX?b有无穷解的充要条件是（）

(A) r(A)?m (B) r(A)?n

（a）A中r阶子式不全为零（b）A中阶数小于r的子式全为零

?Ir（c）A经行初等变换可化为??0?0?? （d）A为满秩矩阵 ?0?4.设A为m?n矩阵，C为n阶可逆矩阵，B?AC，则( )。 (a) 秩(A)> 秩(B) (b) 秩(A)= 秩(B)

6.n阶方阵A可逆的充分必要条件是( )。

(a) r(A)?r?n (b) A的列秩为n (c) A的每一个行向量都是非零向量 (d) 伴随矩阵存在 7. n阶矩阵A可逆的充要条件是( )。 (a) A的每个行向量都是非零向量 (b) A中任意两个行向量都不成比例

(d) 对任何n维非零向量X，均有AX?0

8．设A是m?n矩阵，非齐次线性方程组AX?b的导出组为AX?0，若m?n，则（）

(A) AX?b必有无穷多解 (B) AX?b必有唯一解

(C) AX?0必有非零解 (D) AX?0必有唯一解 9．设A,B为n阶非零矩阵，且AB?0，则（） (A) r(A)?r(B)?n (B) r(A)?n,r(B)?0 (C) r(A)?r(B)?n (D) r(A)?r(B)?n 10．设A为m?n矩阵，则下列结论正确的是（）

(A) 若AX?0仅有零解，则AX?b有唯一解 (B) 若AX?0有非零解，则AX?b有无穷多解 (C) 若AX?b有无穷多解，则AX?0仅有零解 (D) 若AX?b有无穷多解，则AX?0有非零解

?x1?x2?x3?1?11．线性方程组?x1?2x2?3x3?0 （）

?4x?7x?10x?123?1(A) 无解 (B) 有唯一解 (C) 有无穷多解 (D) 其导出组只有零解

二、填空题

1.设4阶方阵A的秩为2，则其伴随矩阵A*的秩为____ ___ ?a1b1?2.非零矩阵?a2b1????ab?n1a1b2a2b2?anb2?a1bn???a2bn?的秩为___ _____ ?????anbn??3. 若线性方程组Am?nX?b的系数矩阵的秩为m，则其增广矩阵的秩为 . 4. 设

1??12?1??x1???????A??23a?2?,b??3?,x??x2??1a?2??0??x??????3?，若齐次线性方程组AX?0只有零解，则

a? . 1??12?1??x1???????5. 设A??23a?2?,b??3?,x??x2?，若线性方程组AX?b无解，则a? .

?1a?2??0??x??????3?8

?kx1?2x2?x3?0?6. 线性方程组?2x1?kx2?0仅有零解的充分必要条件是 .

?x?x?x?0?1237. 设X1,X2,?Xs和c1X1?c2X2???csXs均为非齐次线性方程组AX?b的解

（c1,c2,?cs为常数），则c1?c2???cs? .

8. 设5?4矩阵A的秩为3，?1,?2,?3是非齐次线性方程组AX?b的三个不同的解

向量，若?1??2?2?3?(2,0,0,T0)?,1?3??2为 .

T，(2,4,6,则8)AX?b的通解

?0?0?9. 设矩阵A??0??0三、计算题

100001000??0?3

，则A的秩为。 1??0??1?112???1.A??35?12?，求A的秩。

?53?6???2. 已知?1,?2是齐次线性方程组AX?0的一个基础解系，问,?3?1??2,??2?,?3??3是否是该方程组的一个基础解系？为什么？

3. 问a,b为何值时，下列方程组无解？有唯一解？有无穷解？在有解时求出全部解（用基础解系表示全部解）。

?x1?ax2?x3?a?x1?x2?bx3?4??1）?ax1?x2?x3?1 2）??x1?bx2?x3?b2

?x?x?ax?a2?x?x?2x??433?12?126．当?为何值时，方程组

?2x1??x2?x3?1???x1?x2?x3?2 ?4x?5x?5x??123?1无解、有唯一解或有无穷多组解？在有无穷多组解时，用导出组的基础解系表示全部解. 四、证明题

1. 证明两个矩阵和的秩小于这两个矩阵秩的和.

2. 证明可逆矩阵的伴随矩阵也可逆，且伴随矩阵的逆等于该矩阵的逆矩阵的伴随矩阵.

第四章向量组的线性相关性

一、单项选择题

1. ?1,?2,?3， ?1,?2都是四维列向量，且四阶行列式?1?2?3?1?m,

?1?2?3?2?n, 则行列式?1?2?3?1??2?()

(a)m?n (b)m?n (c)?m?n (d)?m?n

2. 设A为n阶方阵，且A?0, 则（）。

(a)A中两行（列）对应元素成比例 (b)A中任意一行为其它行的线性组合(c)A中至少有一行元素全为零 (d)A中必有一行为其它行的线性组合3. 设A为n阶方阵，r(A)?r?n，则在A的n个行向量中（）。

(a)必有r个行向量线性无关 (b)任意r个行向量线性无关(c)任意r个行向量都构成极大线性无关组

(d)任意一个行向量都能被其它r个行向量线性表示 4. n阶方阵A可逆的充分必要条件是（）

(a)r(A)?r?n (b)A的列秩为n

（c）A的每一个行向量都是非零向量（d）A的伴随矩阵存在5. n维向量组?1,?2,??,?s线性无关的充分条件是( )

(a)?1,?2,??,?s都不是零向量

(b)?1,?2,??,?s中任一向量均不能由其它向量线性表示

(c)?1,?2,??,?s中任意两个向量都不成比例

(d)?1,?2,??,?s中有一个部分组线性无关

6. n维向量组?1,?2,??,?s(s?2)线性相关的充要条件是( )

(a)?1,?2,??,?s中至少有一个零向量

(b)?1,?2,??,?s中至少有两个向量成比例 (c)?1,?2,??,?s中任意两个向量不成比例

(d)?1,?2,??,?s中至少有一向量可由其它向量线性表示

7. n维向量组?1,?2,??,?s(3?s?n)线性无关的充要条件是( )

(a)存在一组不全为零的数k1,k2,??,ks使得k1?1?k2?2???ks?s?0 (b)?1,?2,??,?s中任意两个向量都线性无关

(c)?1,?2,??,?s中存在一个向量,它不能被其余向量线性表示 (d)?1,?2,??,?s中任一部分组线性无关 8. 设向量组?1,?2,??,?s的秩为r, 则( )

(a)?1,?2,??,?s中至少有一个由r个向量组成的部分组线性无关 (b)?1,?2,??,?s中存在由r?1个向量组成的部分组线性无关 (c)?1,?2,??,?s中由r个向量组成的部分组都线性无关 (d)?1,?2,??,?s中个数小于r的任意部分组都线性无关

9. 设?1,?2,??,?s均为n维向量, 那么下列结论正确的是( )

(a)若k1?1?k2?2???ks?s?0, 则?1,?2,??,?s线性相关

(b)若对于任意一组不全为零的数k1,k2,??,ks, 都有

k1?1?k2?2???ks?s?0, 则?1,?2,??,?s线性无关

(c)若?1,?2,??,?s线性相关,则对任意不全为零的数k1,k2,??,ks, 都有

k1?1?k2?2???ks?s?0

(d)若0?1?0?2???0?s?0, 则?1,?2,??,?s线性无关

10. 已知向量组?1,?2,?3,?4线性无关，则向量组（）

(a)?1??2,?2??3,?3??4,?4??1线性无关 (b)?1??2,?2??3,?3??4,?4??1线性无关 (c)?1??2,?2??3,?3??4,?4??1线性无关 (d)?1??2,?2??3,?3??4,?4??1线性无关

11. 若向量?可被向量组?1,?2,??,?s线性表示，则（）

(a)存在一组不全为零的数k1,k2,??,ks使得??k1?1?k2?2???ks?s (b)存在一组全为零的数k1,k2,??,ks使得??k1?1?k2?2???ks?s

(c)存在一组数k1,k2,??,ks使得??k1?1?k2?2???ks?s (d)对?的表达式唯一

12. 下列说法正确的是（）

(a)若有不全为零的数k1,k2,??,ks，使得k1?1?k2?2???ks?s?0，则

?1,?2,??,?s线性无关

(b)若有不全为零的数k1,k2,??,ks，使得k1?1?k2?2???ks?s?0，则

?1,?2,??,?s线性无关

(c)若?1,?2,??,?s线性相关，则其中每个向量均可由其余向量线性表示 (d)任何n?1个n维向量必线性相关

13. 设?是向量组?1?(1,0,0)T，?2?(0,1,0)T的线性组合，则?=（）

(a)(0,3,0)T (b)(2,0,1)T (c)(0,0,1)T (d)(0,2,1)T 14. 设有向量组?1??1,?1,2,4?T，?2??0,3,1,2?T，?3??3,0,7,14?，

TTT ?4??1,?2,2,0?，?5??2,1,5,10?，则该向量组的极大线性无关组为（）

(a)?1,?2,?3 (b)?1,?2,?4 (c)?1,?2,?5 (d)?1,?2,?4,?5

15. 设??(a1,a2,a3)T，??(b1,b2,b3)T，?1?(a1,a2)T，?1?(b1,b2)T，下列正确的是（）

(a)若?,?线性相关，则?1,?1也线性相关; (b)若?,?线性无关，则?1,?1也线性无关； (d)以上都不对 (c)若?1,?1线性相关，则?,?也线性相关；二、填空题

1. 若?1?(1,1,1)T，?2?(1,2,3)T，?3?(1,3,t)T线性相关，则t= 。 2. n维零向量一定线性关。

3. 向量?线性无关的充要条件是。

4. 若?1,?2,?3线性相关，则?1,?2,??,?s(s?3)线性关。 5. n维单位向量组一定线性。

6. 设向量组?1,?2,??,?s的秩为r,则 ?1,?2,??,?s中任意r个的向量都

是它的极大线性无关组。

7. 设向量?1?(1,0,1)T与?2?(1,1,a)T正交，则a? 。 8. 正交向量组一定线性。

9. 若向量组?1,?2,??,?s与?1,?2,??,?t等价，则?1,?2,??,?s的秩与

?1,?2,??,?t的秩。

10. 若向量组?1,?2,??,?s可由向量组?1,?2,??,?t线性表示，则

r(?1,?2,??,?s) r(?1,?2,??,?t)。

?a??12?2?11A??212?，三维列向量???1?，已知A?与?线性相关，则a= 。

?????1??304?????三、计算题

1. 设?1?(1??,1,1)T，?2?(1,1??,1)T，?3?(1,1,1??)T，

??(0,?,?2)，问

（1）?为何值时，?能由?1,?2,?3唯一地线性表示？

（2）?为何值时，?能由?1,?2,?3线性表示，但表达式不唯一？（3）?为何值时，?不能由?1,?2,?3线性表示？

2. 设?1?(1,0,2,3)T，?2?(1,1,3,5)T，?3?(1,1,a?2,1)T，

T?4?(1,2,4,a?8)T，??(1,1,b?3,5)T问：

（1）a,b为何值时，?不能表示为?1,?2,?3,?4的线性组合？（2）a,b为何值时，?能唯一地表示为?1,?2,?3,?4的线性组合？

3. 求向量组?1?(1,?1,0,4)T，?2?(2,1,5,6)T，?3?(1,2,5,2)T，

?4?(1,?1,?2,0)T，?5?(3,0,7,14)T的一个极大线性无关组，并将

其余向量用该极大无关组线性表示。 4. 设?1?(1,1,1)T，?2?(1,2,3)T，?3?(1,3,t)T，t为何值时?1,?2,?3线性相关，

t为何值时?1,?2,?3线性无关？

1??2??1??5???????????12?5????,????3，?判断向量?能否由向量组5.向量????,??,??123?3????6??3?12?????????4111???????3? ?1,?2,?线性表示，若能，写出它的一般表示方式；若不能，请说明理由。3四、证明题

1. 设?1??1??2,?2?3?2??1,?3?2?1??2，试证?1,?2,?3线性相关。 2. 设?1,?2,??,?s,?线性相关，而?1,?2,??,?s线性无关，证明?能由

?1,?2,??,?s线性表示且表示式唯一。

3. 设?1,?2,?3线性相关，?2,?3,?4线性无关，求证?4不能由?1,?2,?3线性表示。 4. 设?0,?1,?2,?,?s是线性无关向量组，证明向量组?0,?0??1,?0??2,?,?0??s 也线性无关。

5．设n阶方阵A有不同的特征值?1,?2，相应的特征向量分别是?1,?2，证明：当k1,k2全不为零时，线性组合k1?1?k2?2不是A的特征向量。

6. 设n维列向量组?1,?2,?,?s线性相关，A为n阶方阵，证明：向量组

A?1,A?2,?,A?s线性相关。

第五章特征值与特征向量

一、单项选择题

?001???1. 设A??010?,则A的特征值是( )。

?100???(a) -1,1,1 (b) 0,1,1 (c) -1,1,2 (d) 1,1,2

?110???2. 设A??101?,则A的特征值是( )。

?011???(a) 0,1,1 (b) 1,1,2 (c) -1,1,2 (d) -1,1,1 3. 设A为n阶方阵, A2?I,则( )。

(a) |A|?1 (b) A的特征根都是1 (c) r(A)?n (d) A一定是对称阵 4. 若x1,x2分别是方阵A的两个不同的特征值对应的特征向量,则k1x1?k2x2也是

A的特征向量的充分条件是( )。

(a) k1?0且k2?0 (b) k1?0且k2?0 (c) k1k2?0 (d) k1?0且k2?0 5. 若n阶方阵A,B的特征值相同,则( )。

(a) A?B (b) |A|?|B| (c) A与B相似 (d) A与B合同 6. 设A为n阶可逆矩阵, ?是A的特征值,则A*的特征根之一是( )。 (a) ??1|A|n (b) ??1|A| (c) ?|A| (d) ?|A|n

17. 设2是非奇异阵A的一个特征值,则(A2)?1至少有一个特征值等于( )。

3(a) 4/3 (b) 3/4 (c) 1/2 (d) 1/4

8. 设n阶方阵A的每一行元素之和均为a(a?0),则2A?1?E有一特征值为( )。

(a)a (b)2a (c)2a+1 (d)

2 +1 a9. 矩阵A的属于不同特征值的特征向量（）。

(a)线性相关 (b)线性无关 (c)两两相交 (d)其和仍是特征向量 10. |A|?|B|是n阶矩阵A与B相似的( )。

(a)充要条件 (b)充分而非必要条件 (c)必要而非充分条件 (d)既不充分也不必要条件 11. n阶方阵A有n个不同的特征根是A与对角阵相似的( )。 (a)充要条件 (b)充分而非必要条件 (c)必要而非充分条件 (d)既不充分也不必要条件 12. 设A,B为相似的n阶方阵,则( )。

(a)存在非奇异阵P,使P?1AP?B (b)存在对角阵D,使A与B都相似于D (c)存在非奇异阵P,使PTAP?B (d)A与B有相同的特征向量 13. 若n阶方阵A与某对角阵相似,则( )。

(a) r(A)?n (b) A有n个不同的特征值 (c) A有n个线性无关的特征向量 (d) A必为对称阵 14. 若A相似于B,则( )。

(a) ?I?A??I?B (b) |?I?A|?|?I?B| (c) A及B与同一对角阵相似 (d) A和B有相同的伴随矩阵二、填空题

1. n阶零矩阵的全部特征值为_______。

2. 设A为n阶方阵，且A2?I，则A的全部特征值为_______。 3. 设A为n阶方阵，且Am?0(m是自然数)，则A的特征值为_______。 4. 若A2?A，则A的全部特征值为_______。

5. 若方阵A与4I相似，则A?_______。

6. 若n阶矩阵A有n个相应于特征值?的线性无关的特征向量，则A?_______。 7. 设三阶矩阵A的特征值分别为-1,0,2,则行列式A2?A?I? 。 8. 设二阶矩阵A满足A2?3A?2E?O，则A的特征值为。 9. 特征值全为1的正交阵必是阵。

111110. 若四阶矩阵A与B相似，A的特征值为,,,，则B?1?E= 。

2345三、计算题

1. 求非奇异矩阵P,使P?1AP为对角阵.

1?2??1?21??? 1) A??? 2) A???1?31?

?12???20?1???2. 已知三阶方阵A的三个特征根为1,1,2,其相应的特征向量依次为

(0,0,1)T,(?1,1,0)T,(?2,1,1)T,求矩阵A.

?0?11???求正交阵P，使P?1AP为对角阵，其中A???101?。

?110???3.

四、证明题

1. 设A是非奇异阵, ?是A的任一特征根,求证于?的特征向量也是A?1关于

11?是A?1的一个特征根,并且A关

?的特征向量.

2. 设A2?E,求证A的特征根只能是?1. 3. 证明:相似矩阵具有相同的特征值.

4. 设n阶矩阵A?E，如果r(A?E)?r(A?E)?n，证明：-1是A的特征值。 5. 设?1,?2是n阶矩阵A分别属于?1,?2的特征向量，且?1??2，证明?1??2不是

A的特征向量。

第六章二次型

一、单项选择题

1．n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是（）。

(a)A?0 (b)存在阶阵C，使A?CTC (c)负惯性指数为零 (d) 各阶顺序主子式为正

3．设A为正定矩阵，则下列结论不正确的是（）。

(a)A可逆 (b) A?1正定

(c)A的所有元素为正 (d) 任给X?(x1,x2,?,xn)T?0,均有XTAX?0

4．方阵A正定的充要条件是（）。

(a)A 的各阶顺序主子式为正； (b) A?1是正定阵；

(c)A的所有特征值均大于零； (d)AAT 是正定阵。

5．下列f(x,y,z)为二次型的是（）。

(a)ax2?by2?cz2 (b) ax?by2?cz

(c)axy?byz?cxz?dxyz (d) ax2?bxy?czx2

6．设A、B为n阶方阵，X?(x1,x2,?,xn)T且XTAX?XTBX则A=B的充要条件是（）。

(a) r(A)?r(B) (b) AT?A

(c)BT?B (d) AT?A，BT?B，

7．正定二次型f(x1,x2,x3,x4)的矩阵为A，则( )必成立.

(a) A的所有顺序主子式为非负数

(b) A的所有特征值为非负数 (d) A的所有特征值互不相同

8．设A，B为n阶矩阵，若( )，则A与B合同.

(a). 存在n阶可逆矩阵P,Q且PAQ?B

(b) 存在n阶可逆矩阵P，且P?1AP?B

?000???(a).?000?

?00?1????100??30?2?????(b)?0?10? (c)?046? ?002???265??????123???(d) ?456?

?789???10．下列矩阵中是正定矩阵的为（）

?23?(a)???34?

?34?(b) ???26? (c)

?100???02?3?????0?35?

?111???(d)?120????102?

11．已知A是一个三阶实对称且正定的矩阵，那么A的特征值可能是（）

(a)3，i, －1; (b)2, －1, 3; (c)2, i, 4; (d)1, 3, 4

二、填空题

21. 二次型f(x1,x2,x3,)?x1x2?2x2x3?x3的秩为。 22．二次型f(x1,x2)?x12x2?6x1x2?3x2的矩阵为。

?104???3．设A??220?，则二次型f?XTAX的矩阵为。

?003???224．若f(x1,x2,x3)?2x12?x2?x3?2x1x2?tx2x3正定，则t的取值范围是。

5．设A为n阶负定矩阵，则对任何X?(x1,x2,?,xn)T?0均有XTAX 。 6．任何一个二次型的矩阵都能与一个对角阵。

?110???7．设A??1a0?是正定矩阵，则a满足条件。

?00a2???228．设实二次型f(x1,x2,x3)?x12?2x1x2?2x2则当a的取值为_______ 时，二?ax3 21

次型f(x1,x2,x3)是正定的。

9．二次型f(x1,x2,x3)?2x1?2x2?2x3?2x1x2?2x1x3?2x2x3的秩为。三、计算题

1. 求一个非退化的线性变换，将下列二次型化为标准型。

221）f(x1,x2,x3)?x12?2x1x2?2x1x3?2x2 ?4x2x3?x322） f(x1,x2,x3)?2x1x2?4x1x3?2x2?2x2x3

222?211??011?????2．设A??101?，B??121?，求非奇异矩阵C，使A?CTBC。

?110??110?????3．用配方法化二次型f(x1,x2,x3)?x1x2?x1x3为标准形，并写出相应的满秩线性变换。

?11?2?4．求非奇异矩阵P，使PAP为对角阵，其中A???1?31?。

????20?1????1?1?81??x1?????5.设A??411?，X??x2?

?11?2??x????3?（1）计算二次型XTAX，写出该二次型所对应的矩阵；

（2）将二次型XTAX化为标准形，写出所用的可逆线性变换及变换矩阵。

?122?6、已知矩阵A??212?；判断A能否对角化，若可对角化，求正交矩阵P，

???221???使P?1AP为对角矩阵，并写出相应的对角矩阵。

227．化二次型f(x1,x2,x3)?x1?2x3?2x1x3?2x2x3为标准形，并写出可逆的线

性变换。

?422??18.设A??242? 求正交矩阵P，使PAP为对角矩阵，并写出相应的对角

???224???阵。四、证明题

1．设A、B为同阶正定矩阵，?，??0，求证?A??B也是正定矩阵。 2．设A, B是同阶正定矩阵，试证A＋B也是正定矩阵。

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