直线与圆的位置关系

1、（福建德化）如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的圆O与AD、

AC分别交于点E、F，且∠ACB=∠DCE．

DC(1)判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；

(2)若tan∠ACB=

2，BC=2，求⊙O的半径． 2EOAF

答案：1）直线CE与⊙O相切。

证明：∵四边形ABCD是矩形 ∴BD∥AD，∠ACB=∠DAC ， 又 ∵∠ACB=∠DCE

B∴∠DAC=∠DCE,连接OE，则∠DAC=∠AEO=∠DCE，∵∠DCE+∠DEC=900 ∴∠AE0+∠DEC=900 ∴∠OEC=900 ∴直线CE与⊙O相切。

（2）∵tan∠ACB=

AB2?，BC=2 ∴AB=BC?tan∠ACB=2， AC=6 BC2又∵∠ACB=∠DCE ∴tan∠DCE=

2 ∴DE=DC?tan∠DCE=1 2方法一：在Rt△CDE中，CE=CD2?DE2?3， 连接OE，设⊙O的半径为r，

（6?r)2?r2?3 解得：r=则在Rt△COE中，CO2?OE2?CE2即

方法二：AE=CD-AE=1，过点O作OM⊥AE于点M，则AM=

6 411AE= 22126 在Rt△AMO中，OA=AM???cosEAOAB2是半圆4O的直径，过点O作弦AD的垂线交半圆O 620．(2010年北京崇文区) ?如图，

于点E，交AC于点C，使?BED??C．

C （1）判断直线AC与圆O的位置关系，并证明你的结论；

cos?BED?（2）若AC?8，4，求AD的长． 5

【关键词】切线的证明、弦长的计算 【答案】解：（1）AC与eO的相切．证明如下：

∵OC?AD

E D

??AOC??2?90°．

又Q?C??BED??2， ∴?AOC??C?90°． ∴AB?AC

A

O

B

即AC与eO的相切．

（2）解：连接BD．∵AB是eO直径，

??ADB?90?

在Rt?AOC中，?CAO?90?， QAC?8,

C

Q?ADB?90°．cos?C?cos?BED??AO?6,?AB?12

在Rt?ABD中，cos?2?cos?BED?4． 5E D

4， 5A

8．（2010年门头沟区）如图，已知⊙O是以数轴的原点O为圆心，半径为1的圆，

?AOB?45?,点P在数轴上运动，若过点P且与OA平行的直 线与⊙O有公共点, 设OP?x，则x的取值范围是 A．－1≤x≤1 B．?2≤x≤2 C．0≤x≤2 D．x＞2 【关键词】圆的切线 【答案】C

O 448?AD?AB?cos?2?12?=．

551 2 O

B

A P B 第8题

19. （2010年门头沟区）已知，如图，直线MN交⊙O于A,B两点，AC是直径， AD平分?CAM交⊙O于D，过D作DE⊥MN于E． （1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）若DE?6cm，AE?3cm，求⊙O的半径. C

【关键词】圆的切线

D 【答案】（1）证明：连接OD．

O ∵OA=OD，

??OAD??ODA． B N M E A ∵AD平分∠CAM， Q?OAD??DAE， ??ODA??DAE． ∴DO∥MN． QDE?MN，

∴DE⊥OD．………………………………………………………………………………1分 ∵D在⊙O上，

?DC是⊙O的切线．……………………………………………………………………2分

（2）解：Q?AED?90o，DE?6，AE?3，

?AD?DE2?AE2?62?32?35．………………………………………………3分

连接CD．QAC是⊙O的直径，

??ADC??AED?90o． Q?CAD??DAE， ?△ACD∽△ADE．………………………………………………………………4分

?ADAC．

?AEAD?35AC．

?335∴AC?15（cm）．

?⊙O的半径是7.5cm．

1.（2010年台湾省） 图(四)为△ABC和一圆的重迭情形，此圆与直线BC相切于C点，

CD 的度数为何？ A 且与AC交于另一点D。若?A=70?，?B=60?，则 (A) 50 (B) 60 (C) 100 (D) 120 。

D 【关键词】直线和圆的位置关系 【答案】C B C

图(四)

2.（2010年山东省济南市）如图，AB是⊙O的切线，A为切点，AC是⊙O的弦，过O作

OH?AC于点H．若OH?2，AB?12，BO?13． 求：（1）⊙O的半径； （2）AC的值． B

O 【关键词】直线和圆的位置关系 【答案】 C H A 解①∵AB是⊙O的切线，A为切点

∴OA⊥AB ………..…………………………1’ 在Rt△AOB中，

?AB2?122AO=OB2=132=5 ………..…….2’

∴⊙O的半径为5

②∵OH⊥AC

∴在Rt△AOH中 AH=

AO2?OH2?22=21 ……….3’ =52又∵OH⊥AC

∴AC=2AH=221 ……………….……..4’

18、（2010年宁波）如图，已知⊙P的半径为2，圆心P

在抛物线y?y ?P 12x?1上运动，当⊙P与x轴相切时，2圆心P的坐标为___________。

O x

答案：（6，2）或（?

6，2）

（2010年重庆市潼南县） 如图，在矩形ABCD中，AB=6 ， BC=4， ⊙O是以AB为直

径的圆，则直线DC与⊙O的位置关系是 .

【关键词】直线与圆的位置关系 【答案】相离

14．(2010重庆市)已知⊙O的半径为3cm，圆心O到直线l的距离是4cm，则直线l与⊙O的位置关系是_____________.

解析：因为圆心O到直线l的距离大于⊙O的半径，所以直线l与⊙O相离. 答案：相离.

1.(2010年山东聊城)如图，已知R t△ABC，∠ABC＝90°，以直角边AB为直径作O，交斜边AC于点D，连结BD．

（1）若AD＝3，BD＝4，求边BC的长；

（2）取BC的中点E，连结ED，试证明ED与⊙O相切．

A D O· B E 第24题

C

【关键词】切线 【答案】（1）∵AB为直径,∴∠ADB=90° AD=3 BD=4 AB=5

由Rt△ABC∽Rt△ABD可得：

ADBD5?420? ∴BC== ABBC33（2）连接OD,

∵BD⊥AC E为BC中点,∴DE=BE,∴∠EBD=∠EDB, ∵OB=OD ∴∠OBD=∠ODB,∵∠OBD+∠EBD=90°,∴∠EDB+∠ODB=90°, ∴ED与⊙O相切.

1. (2010年兰州市)（本题满分10分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C

的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB. （1）求证：PC是⊙O的切线；