①若M在B上方，设MC交x轴于点D，则∠ODC=45°+15°=60°， ∴OD=OC?tan30°=

，

，0），可得：k=，

，

设DC为y=kx﹣3，代入（联立两个方程可得：

解得：所以M1（3

，6）；

，

②若M在B下方，设MC交x轴于点E，则∠OEC=45°﹣15°=30°， ∴OE=OC?tan60°=3

，

，0）可得：k=

，

设EC为y=kx﹣3，代入（3

联立两个方程可得：，

解得：所以M2（

，﹣2），

，

综上所述M的坐标为（3，6）或（，﹣2）．

【点评】此题主要考查了二次函数的综合题，需要掌握待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式等知识是解题关键．

24．（9分）如图，四边形ABCD中，AB=AD=CD，以AB为直径的⊙O经过点C，连接AC，OD交于点E．

（1）证明：OD∥BC；

（2）若tan∠ABC=2，证明：DA与⊙O相切；

（3）在（2）条件下，连接BD交于⊙O于点F，连接EF，若BC=1，求EF的长．

【分析】（1）连接OC，证△OAD≌△OCD得∠ADO=∠CDO，由AD=CD知DE⊥AC，再由AB为直径知BC⊥AC，从而得OD∥BC； （2）根据tan∠ABC=2可设BC=a、则AC=2a、AD=AB=为中位线知OE=a、AE=CE=AC=a，进一步求得DE=中利用勾股定理逆定理证∠OAD=90°即可得；

（3）先证△AFD∽△BAD得DF?BD=AD2①，再证△AED∽△OAD得OD?DE=AD2②，由①②得DF?BD=OD?DE，即据此可得

=

=

，结合∠EDF=∠BDO知△EDF∽△BDO，

=

，证OE

=2a，再△AOD

，结合（2）可得相关线段的长，代入计算可得．

【解答】解：（1）连接OC，

在△OAD和△OCD中， ∵

，

∴△OAD≌△OCD（SSS）， ∴∠ADO=∠CDO， 又AD=CD， ∴DE⊥AC，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠ACB=90°，即BC⊥AC， ∴OD∥BC；

（2）∵tan∠ABC==2，

∴设BC=a、则AC=2a， ∴AD=AB=

=

，

∵OE∥BC，且AO=BO，

∴OE=BC=a，AE=CE=AC=a， 在△AED中，DE=在△AOD中，AO2+AD2=（

2=

=2a， ）2+（

a）2=

a2，OD2=（OF+DF）2=（a+2a）

a2，

∴AO2+AD2=OD2， ∴∠OAD=90°， 则DA与⊙O相切；

（3）连接AF， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AFD=∠BAD=90°， ∵∠ADF=∠BDA， ∴△AFD∽△BAD， ∴

=

，即DF?BD=AD2①，

又∵∠AED=∠OAD=90°，∠ADE=∠ODA， ∴△AED∽△OAD， ∴

=

，即OD?DE=AD2②，

=

，

由①②可得DF?BD=OD?DE，即

又∵∠EDF=∠BDO， ∴△EDF∽△BDO， ∵BC=1， ∴AB=AD=∴

=

、OD=、ED=2、BD=

=

，

、OB=

，

，即

解得：EF=．

【点评】本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是掌握等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理逆定理等知识点．

25．（9分）已知Rt△OAB，∠OAB=90°，∠ABO=30°，斜边OB=4，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转60°，如题图1，连接BC． （1）填空：∠OBC= 60 °；

（2）如图1，连接AC，作OP⊥AC，垂足为P，求OP的长度；

（3）如图2，点M，N同时从点O出发，在△OCB边上运动，M沿O→C→B路径匀速运动，N沿O→B→C路径匀速运动，当两点相遇时运动停止，已知点M的运动速度为1.5单位/秒，点N的运动速度为1单位/秒，设运动时间为x秒，△OMN的面积为y，求当x为何值时y取得最大值？最大值为多少？

【分析】（1）只要证明△OBC是等边三角形即可；

（2）求出△AOC的面积，利用三角形的面积公式计算即可；

（3）分三种情形讨论求解即可解决问题：①当0＜x≤时，M在OC上运动，N在OB上运动，此时过点N作NE⊥OC且交OC于点E．②当＜x≤4时，M在BC上运动，N在OB上运动．