?g(x)在(0，4)上增函数，在(4，10)上是减函数.
?a?g(4)=2ln4?2=4ln2?2. ??????10分 由条件③，得f(10)=10?2ln10+a?8，解得a?2ln10?2. ????????12分 另一方面，由x?2lnx+a?x，得a?2lnx在x?[2，10]上恒成立, ?a?2ln2,
综上所述，a的取值范围为[4ln2?2，2ln2]，
所以满足条件的整数a的值为1. ?????14分 （三）数形结合
1
3．已知a>0且a≠1，当x∈(－1,1)时，不等式x2－ax<恒成立，则a的取值范围________．
2
11
解析：不等式x2－ax<可化为ax>x2－，
22
11
画出y1＝ax，y2＝ x2－的图象．由图可看出≤a<1或1 221? 答案：??2，1?∪(1,2] 3.1 (2012·北京高考)已知f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)，g(x)＝2x－2.若同时满足条件： ①?x∈R，f(x)＜0或g(x)＜0； ②?x∈(－∞，－4)，f(x)g(x)＜0. 则m的取值范围是________． 解析：当x＜1时，g(x)＜0，当x＞1时，g(x)＞0，当x＝1时，g(x)＝0.m＝0不符合要求； 当m＞0时，根据函数f(x)和函数g(x)的单调性，一定存在区间[a，＋∞)使f(x)≥0且g(x)≥0，故m＞0时，不符合第①条的要求；当m＜0时，如图所示，如果符合①的要求，则函数f(x)的两个零点都得小于1，如果符合第②条要求，则函数f(x)至少有一个零点小于－4，问题等价于函数f(x)有两个不相等的零点，其中较大的零点小于1，较小 m＜0， ??2m＜－?m＋3?，满足?2m＜－4， ??－?m＋3?＜1 的零点小于－4.函数f(x)的两个零点是2m，－(m＋3)，故m 或者 m＜0， ??－?m＋3?＜2m，?2m＜1，??－?m＋3?＜－4， 解第一个不等式组得－4＜m＜－2，第二个不等式组无解，故所求m的取值范围是(－4，－2)． 答案：(－4，－2 ) （四）构造函数 5 / 22 2f(x)?(a?1)lnx?ax?1 4. 已知函数 （1）讨论函数f(x)的单调性； （2）设a??1.如果对任意x1,x2?(0,??)，|f(x1)?f(x2)?4|x1?x2|，求a的取值范围。 4.1 (2012·南京一模)已知函数f(x)＝x－1－ln x. (1)求函数f(x)的最小值； 111 (2)求证：当n∈N*时，e1＋＋＋?＋>n＋1； 23n (3)对于函数h(x)和g(x)定义域上的任意实数x，若存在常数k，b，使得不等式h(x)≥kx＋b和1 g(x)≤kx＋b都成立，则称直线y＝kx＋b是函数h(x)与g(x)的“分界线”．设函数h(x)＝x2，g(x)＝ 2e[x－1－f(x)]，试问函数h(x)与g(x)是否存在“分界线”？若存在，求出常数k，b的值；若不存在， 6 / 22 说明理由． 解：(1)∵f(x)＝x－1－ln x(x>0)， 1x－1 ∴f′(x)＝1－＝. xx 当x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)递减； 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)递增． ∴f(x)的最小值为f(1)＝0. (2)证明：由(1)知当x>0时，恒有f(x)≥0， 即x－1≥ln x. 111－ 故ex1≥x，从而有ex≥x＋1，当且仅当x＝0时取等号．分别令x＝1，，，?，可得e1>1 23nn＋111311411 ＋1＝2，e>＋1＝，e>＋1＝，?，e>＋1＝， 222333nnn n＋111134111相乘可得e1＋＋＋?＋>2×××?×＝n＋1，即e1＋＋＋?＋>n＋1. 23n23n23n1 (3)令F(x)＝h(x)－g(x)＝x2－eln x(x>0)， 2e?x＋e??x－e? 则F′(x)＝x－＝， xx当x∈(0，e)时，F′(x)<0，F(x)递减； 当x∈(e，＋∞)时，F′(x)>0，F(x)递增． 所以当x＝e时，F(x)取得最小值0. e e，?. 则h(x)与g(x)的图象在x＝e处有公共点?2?? ee 设函数h(x)与g(x)存在“分界线”，方程为y－＝k(x－e)，应有h(x)≥kx＋－ke在x∈R时 22恒成立，即x2－2kx－e＋2ke≥0在x∈R时恒成立， 必须Δ＝4k2－4(2ke－e)＝4(k－e)2≤0，得k＝e. e 下证g(x)≤ex－在x>0时恒成立， 2e 记G(x)＝eln x－ex＋， 2 e－exe 则G′(x)＝－e＝，当x∈(0，e)时，G′(x)>0，G(x)递增；当x∈(e，＋∞)时G′(x)<0， xxG(x)递减． 所以当x＝e时，G(x)取得最大值0， e 即g(x)≤ex－在x>0时恒成立． 2 7 / 22 e 综上可知，函数h(x)与g(x)存在“分界线”，其中k＝e，b＝－. 2[专题技法归纳] (1)利用公式求导时，一定要注意公式的适用范围和符号． (2)可以利用导数求曲线的切线方程，由于函数y＝f(x)在x＝x0处的导数表示曲线在点P(x0，f(x0))处切线的斜率，因此，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程可如下求得： ①求出函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率． ②在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为y＝y0＋f′(x0)(x－x0)． 4.2 (2012·徐州最后一卷)已知f(x)＝xln x，g(x)＝－x2＋ax－3. (1)求函数f(x)在[t，t＋2](t>0)上的最小值； (2)对一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围； 12 (3)证明对一切x∈(0，＋∞)，都有ln x>x－成立． eex 11 0，?，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x∈?，＋∞?，f′(x)>0，[解] (1)f′(x)＝ln x＋1，当x∈??e??e?f(x)单调递增．[来源:学科网ZXXK] 1 ①0 e11 ②0 ee1?1 f(x)min＝f?＝－； ?e?e 11 ③ 所以f(x)min ? ＝?1 tln t，t>.?e 11－，0 ?x＋3??x－1?33 (2)2xln x≥－x2＋ax－3，则a≤2ln x＋x＋，设h(x)＝2ln x＋x＋(x>0)，则h′(x)＝， xxx2x∈(0,1)，h′(x)<0，h(x)单调递减，x∈[1，＋∞)，h′(x)>0，h(x)单调递增，所以h(x)min＝h(1)＝4.因为对一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，所以a≤h(x)min＝4. x2 (3)问题等价于证明xln x>x－(x∈(0，＋∞))，由(1)可知f(x)＝xln x(x∈(0，＋∞))的最小值是－ ee1－x11x2 ，当且仅当x＝时取到．设m(x)＝x－(x∈(0，＋∞))，则m′(x)＝x，易得m(x)max＝m(1)＝－eeeee112 ，当且仅当x＝1时取到，从而对一切x∈(0，＋∞)，都有ln x>x－成立． eeex 8 / 22