函数与导数中的恒成立问题

（一）最值法

1．若函数f(x)?lnx,g(x)?x?的取值范围.

解： xf(x)?ax?a?xlnx?ax?a?0

2 ，若对所有的x?[e,??)都有xf(x)?ax?a成立，求实数ax令h(x)?xlnx?ax?a,则当x?[e,??)时,h(x)min?0 h?(x)?lnx?1?a,由h?(x)?0得x?ea?1 且当0?x?ea?1时h?(x)?0,当x?ea?1时h?(x)?0 ?h(x)在(0,ea?1)单减,在(ea?1,??)单增

①当a?2时,ea?1?e

?h(x)在(e,??)单增?h(x)min?h(e)?e?ae?a?0，?a?e。 e?1②当a?2时,由h(e)?0?e?a?ae

若2?a?e,则e?a?2e?ae,若a?e,则e?a?2a?ae,故a?2不成立

综上所述a?e e?1?xlnx?ax?a?a?xlnx

x?1。

另解：?x?e

令h(x)?xlnxx?lnx?1,x?[e,??) ，则h?(x)? 。 2x?1(x?1)1?0 x?x?lnx?1?e?lne?1?e?2?0ee ，?a? 。 ?h?(x)?0 ，?h(x)min?h(e)?e?1e?111.1 设函数f(x)=x?lnx.其中a为常数，a?0

a(1)当a?1时，求f(x)的最小值；

(2) 若?x?(0,??)，恒有f(x)?1成立，求实数a的取值集合；

（3）设常数b、c??0,???且b

?当x?e时,(x?lnx?1)?1?斜率为k.问：是否存在x0?(b,c)，使f'(x0)>k成立？若存在，求出x0的取值范围；若不存在，请说明理由.

1 / 22

'解（1）当a?1时，f(x)?1?1?0?x?1 x列表如下

x f'(x) f'(x) (0,1) — 1 0 1 (1,??) + ?f(x)最小值=f(1)?1（4分）

（2）f(x)?1?列表如下：

'1ax?11??0?x? axaxa1(0,) a— x f'(x) f'(x) 由题意，分）

1 a0 1(,??) a+ 111?ln aaa111?ln?1,?a?lna?1，（6分），由（1），当a?0，a?lna?1，?a?lna?1（8aaa又由①知当且仅当x?1时f(x)?1，?a?1，?a的取值的集合为{1}（10分）

（3）

k?f(b)?f(c)1lnb?lnc1'?1??，而f?x0??1?，

b?cab?cax0b?c（13分），由（1）知当t?0且t?1时，t?lnt?1,

lnb?lncbbccb?c0?b?c,??ln?1,?ln?1,从而b??c（15分）

ccbblnb?lncb?c??x0?c为所求（16分） lnb?lnc由f'?x0??k得x0?（二）分离参数法 2．(2012·南通高中联考)设函数f(x)＝ax，x?[0,?]，且f(x)≤1＋sin x，则a的取值范围________．

解析：因为f(x)≤1＋sin x?ax≤1＋sin x. 当x＝0时，0≤1＋sin 0＝1恒成立． 1＋sin x

当0

xa≤?

1＋sin x??x?min.

2 / 22

1＋sin x

令g(x)＝(0

xxcos x－1－sin x

g′(x)＝，

x2令c(x)＝xcos x－1－sin x， c′(x)＝－xsin x≤0，x∈(0，π]．

故c(x)在(0，π]上单调递减，c(x)

所以[g(x)]min＝g(π)＝.故a≤. ππ1

－∞，? 答案：?π??

2.1关于x的不等式x2＋9＋|x2－3x|≥kx在[1,5]上恒成立，则实数k的范围为________． 99

解析： 两边同除以x，则k≤x＋＋|x－3|，x＋≥6，|x－3|≥0，当且仅当x＝3，两等式同时取

xx得等号，所以x＝3时，右边取最小值6.所以k≤6.

答案：(－∞，6]

2.2设函数f(x)＝ax3－3x＋1(x∈R)，若对于任意的x∈[－1,1]，都有f(x)≥0成立，则实数a的值为________．

解析：若x＝0，则不论a取何值，f(x)＝1≥0显然成立；

3?1－2x?3131

当x>0即x∈(0,1]时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化为a≥2－3，设g(x)＝2－3，则g′(x)＝，

xxxxx4111

0，?上单调递增，在区间?，1?上单调递减，因此g(x)max＝g??＝4，从而a≥4； g(x)在区间??2??2??2?3?1－2x?31

当x<0即x∈[－1,0)时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化为a≤2－3，g′(x)＝>0，g(x)在区间

xxx4[－1,0)上单调递增，因此g(x)min＝g(－1)＝4，从而a≤4.[来源:学.科.网]

综上a＝4. 答案：4

2.3 (2012·盐城中学期中)已知函数f(x)＝x2－aln x，g(x)＝bx－x＋2，其中a，b∈R且ab＝2.1?1

，1上是减函数，函数g(x)在?，1?上是增函数． 函数f(x)在??4??4?

(1)求函数f(x)，g(x)的表达式；

1?

(2)若不等式f(x)≥mg(x)对x∈??4，1?恒成立，求实数m的取值范围；

1

(3)求函数h(x)＝f(x)＋g(x)－x的最小值，并证明当n∈N*，n≥2时f(n)＋g(n)>3.

2

3 / 22

1?a2

解：(1)f′(x)＝2x－≤0对任意的x∈??4，1?恒成立，所以a≥2x.所以a≥2.同理可得b≥1. x∵ab＝2，∴a＝2，b＝1.

∴f(x)＝x2－2ln x，g(x)＝x－x＋2.[来源:学科网ZXXK]

1?7?1，1?上是减函数，函数g(x)在?1，1?上是增函数．所(2)∵f(1)＝1>0，g?＝>0，且函数f(x)在?4?4?4??4?1?f?x?

，1时，f(x)>0，g(x)>0，∴m≤以x∈?. [来源:学科网ZXXK] ?4?g?x?

f?x??f?1?1－2ln 111由条件得?＝＝，∴m≤. min＝2?g?x??g?1?1－1＋22111

x－?＋?1－? (3)h′(x)＝2??x?2?x?＝(x－1)?2

?2?x＋1??x＋1?1?

＋?， x2x??

2?x＋1??x＋1?1

当x>0时，＋>0，

x2x

则当x∈(0,1)时，h′(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0. 故h(x)在x∈(0,1)递减，在x∈(1，＋∞)递增． 55

所以h(x)min＝h(1)＝，即h(x)的最小值为.

22

当n≥2时，h(n)≥h(2)＝7－2ln 2－2＝3＋(2－ln 4)＋(2－2)>3，即h(n)>3. nn

所以n∈N*，n≥2时f(n)＋g(n)＝h(n)＋>3＋>3成立．

22

2．4（连云港市2013届高三期末）某单位决定对本单位职工实行年医疗费用报销制度,拟制定年医

疗总费用在2万元至10万元(包括2万元和10万元)的报销方案,该方案要求同时具备下列三个条件：①报销的医疗费用y(万元)随医疗总费用x(万元)增加而增加；②报销的医疗费用不得低于医疗总费用的50%；③报销的医疗费用不得超过8万元.

(1)请你分析该单位能否采用函数模型y＝0.05(x2+4x+8)作为报销方案；

(2)若该单位决定采用函数模型y＝x?2lnx+a(a为常数)作为报销方案，请你确定整数a的值．(参考数据：ln2?0.69，ln10?2.3)

【解】(1)函数y=0.05(x2+4x+8)在[2,10]上是增函数，满足条件①， ?????2分 当x=10时,y有最大值7.4万元,小于8万元,满足条件③. ?????????4分

293x

但当x=3时,y=<,即y?不恒成立,不满足条件②,

2022

故该函数模型不符合该单位报销方案. ?????????6分

2x－2

(2)对于函数模型y=x?2lnx+a，设f(x)= x?2lnx+a，则f ′(x)=1?=?0.

xx

所以f(x)在[2，10]上是增函数，满足条件①，

xx

由条件②，得x?2lnx+a?，即a?2lnx?在x?[2，10]上恒成立，

22

x214－x

令g(x)=2lnx?，则g′(x)=－=，由g′(x)>0得x<4，

2x22x

4 / 22