∴OM＝ON?tan∠OND， ∴OM＝8tan30°＝
．
）．
∴直线AB与y轴的交点为（0，
【点评】此题考查了一次函数的综合题，考查了待定系数法和解直角三角形，三角形相似的性质和判定，同时也利用了垂径定理和勾股定理解决问题，难度适中．
24．（14分）如图①，△ABC表示一块含有60°角的直角三角板，60°所对的边BC的长为6，以斜边AB所在直线为x轴，AB边上的高所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．等腰直角△DEF的直角顶点F初始位置落在y轴的负半轴，斜边DE始终在x轴上移动，且DE＝6．抛物线y＝ax+bx+c经过A、B、C三点． （1）求a、b、c；
（2）△DEF经过怎样的平移后，点E与点B重合？求出点E与点B重合时，点F的坐标；
（3）△DEF经过怎样的平移后，⊙E与直线AC和BC均相切？ （参考数据：
＝
，
＝
）
2
【分析】（1）通过解直角三角形可求出点A，B，C的坐标，根据点A，B，C的坐标，利用待定系数法可求出a，b，c的值；
（2）求出当等腰直角△DEF的直角顶点F在y轴负半轴时点E，F的坐标，结合点B的
坐标可得出将△DEF沿x轴正方向（向右）平移（3﹣3）个单位长度可使点E与点B
重合，再结合点F的坐标即可得出平移后点F的坐标；
（3）设⊙P的半径为r，⊙P与直线AC和BC都相切，分两种情况考虑：①圆心P1在直线AC的右侧时，过点P1作P1Q1⊥AC，垂足为Q1，作P1R1⊥BC，垂足为R1，则四边形Q1CR1P1是正方形，设Q1C＝CR1＝R1P1＝P1Q1＝r1，在Rt△P1R1B中通过解直角三角形BR1＝＝
r1，进而可得出BC＝（
+1）r1，结合BC＝6可求出r1的值，由BR1
r1，结合OP1＝OB﹣BP1可求出点P1的坐标，再结合点E的坐标即可得出把△DEF
﹣3）个单位长度可使⊙E与直线AC和BC均相切；
沿x轴负方向（向左）平移（3
②当圆心P2在直线AC的左侧时，过点P2作P2Q2⊥AC，垂足为Q2，作P2R2⊥BC，垂足为R2，则四边形Q2CR2P2是正方形，同理，可求出点P2的坐标，再结合点E的坐标即可得出把△DEF沿x轴负方向（向左）平移（9+3和BC均相切．综上，此题得解．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠CAB＝60°，∠ACB＝90°，BC＝6， ∴∠ABC＝30°，OC＝BC?sin∠ABC＝6×sin30°＝3， ∴点C的坐标为（0，3）；
在Rt△COB中，OC＝3，∠OBC＝30°， ∴OB＝OC?cot∠OBC＝3×cot30°＝3∴点B的坐标为（3
，0）；
，
）个单位长度可使⊙E与直线AC
在Rt△AOC中，OC＝3，∠CAO＝60°， ∴AO＝OC?cot∠CAO＝3×cot60°＝∴点A的坐标为（﹣将A（﹣
，0），B（3
，0）．
，0），C（0，3）代入y＝ax+bx+c，得：
2
，
，解得：，
∴a＝﹣，b＝，c＝3．
（2）当等腰直角△DEF的直角顶点F在y轴负半轴时，∵DE＝6， ∴OE＝OF＝DE＝×6＝3，
∴点F起始位置的坐标为（0，﹣3），点E起始位置的坐标为（3，0）．
∵点B的坐标为（3∴BE＝OB﹣OE＝3
，0）， ﹣3，
﹣3）个单位长度，可使点E与点B重合， ﹣3，﹣3）．
∴△DEF沿x轴正方向（向右）平移（3∴当点E与点B重合时，点F的坐标为（3
（3）设⊙P的半径为r，⊙P与直线AC和BC都相切，有两种情况：
①圆心P1在直线AC的右侧时，过点P1作P1Q1⊥AC，垂足为Q1，作P1R1⊥BC，垂足为R1，如图③所示． ∵∠ACB＝90°，
∴四边形Q1CR1P1是矩形．
∵⊙P1与AC、BC相切于点Q1、R1， ∴R1P1＝P1Q1，
∴矩形Q1CR1P1是正方形． 设Q1C＝CR1＝R1P1＝P1Q1＝r1，
∴在Rt△P1R1B中，BR1＝R1P1cot∠CBA＝r1cot30°＝∴BC＝CR1+BR1＝r1+又∵BC＝6， ∴（∴r1＝
+1）r1＝6，
＝
＝3（
﹣1）＝3
﹣6，
， ﹣3．
r1＝（
+1）r1，
r1，
∴P1B＝2R1P1＝2r1＝2（3∴OP1＝OB﹣BP1＝3∴P1的坐标为（6﹣3∵OE＝3，
﹣3）＝6
﹣（6，0）．
﹣6）＝6﹣3
∴EP1＝OE﹣OP1＝3﹣（6﹣3
）＝3﹣3，
﹣3）个单位长度，可使⊙E与直线AC和
∴把△DEF沿x轴负方向（向左）平移（3BC均相切；
②当圆心P2在直线AC的左侧时，过点P2作P2Q2⊥AC，垂足为Q2，作P2R2⊥BC，垂足为R2，如图④所示． ∵∠ACB＝90°， ∴∠R2CQ2＝90°，
∵⊙P2与AC、BC相切于点Q2、R2， ∴矩形Q2CR2P2是正方形． 设Q2C＝CR2＝R2P2＝P2Q2＝r2，
∴在Rt△P2R2B中，BR2＝R2P2cot∠CBA＝r2cot30°＝∴BC＝BR2﹣CR2 ＝又∵BC＝6， ∴（∴r2＝
﹣1）r2＝6，
＝
＝3（
+1）＝3
+6， ，
+3，
r2 ﹣r2＝（
﹣1）r2，
r2，
∴P2B＝2R2P2＝2r2＝2（3∴OP2＝BP2﹣OB＝6∴P2的坐标为（﹣6﹣3∵OE＝3，OP2＝6+3
+3）＝6
＝6+3
+6﹣3
，0）． ，
）＝9+3
，
）个单位长度，可使⊙E与直线AC和
∴EP2＝OE+OP2＝3+（6+3
∴把△DEF沿x轴负方向（向左）平移（9+3BC均相切．
综上所述，把△DEF沿x轴负方向（向左）平移（3可使⊙E与直线AC和BC均相切．
﹣3）或（9+3）个单位长度，