专题2.8 函数与方程

1?1?＜0，则方程f(x)＝0－?·1．（2019·湖北十堰一中月考）设f(x)是区间[－1,1]上的增函数，且f ?f ?2??2?在区间[－1,1]内( )

A．可能有3个实数根 C．有唯一的实数根 【答案】C

1?1?＜0， －?·【解析】∵f(x)在区间[－1,1]上是增函数，且f ?f ?2??2?11

－，?上有唯一的零点． ∴f(x)在区间??22?∴方程f(x)＝0在区间[－1,1]内有唯一的实数根．

2．（2019·河南安阳一中期中）函数f(x)＝ln(2x)－1的零点位于区间( ) A．(2,3) C．(0,1) 【答案】D

【解析】∵f(x)＝ln(2x)－1是增函数，且是连续函数， f(1)＝ln 2－1＜0，f(2)＝ln 4－1＞0，

∴根据函数零点的存在性定理可得，函数f(x)的零点位于区间(1,2)上．

3．（2019·辽宁阜新一中月考）设函数f(x)＝ln x－2x＋6，则f(x)零点的个数为( ) A．3 C．1 【答案】B

【解析】令f(x)＝0，则ln x＝2x－6，令g(x)＝ln x(x＞0)，h(x)＝2x－6(x＞0)，在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图象，如图所示，两个函数图象的交点个数就等于函数f(x)零点的个数，容易看出函数f(x)零点的个数为2，故选B.

B．2 D．0 B．(3,4) D．(1,2)

B．可能有2个实数根 D．没有实数根

1?x

4．（2019·吉林通化一中期末）已知函数f(x)＝??5?－log3x，若x0是函数y＝f(x)的零点，且0＜x1＜x0，则f(x1)的值( )

A．恒为正值 C．恒为负值 【答案】A

1?x【解析】因为函数f(x)＝??5?－log3x在(0，＋∞)上是减函数，所以当0＜x1＜x0时，有f(x1)＞f(x0)．又x0

是函数f(x)的零点，因此f(x0)＝0，所以f(x1)＞0，即f(x1)的值恒为正值，故选A.

5．（2019·河北沧州一中期中）已知f(x)是奇函数且是R上的单调函数，若函数y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一个零点，则实数λ的值是( )

1A. 4【答案】C

【解析】令y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)＝0，则f(2x2＋1)＝－f(λ－x)＝f(x－λ)，因为f(x)是R上的单调函数，7

所以2x2＋1＝x－λ，即2x2－x＋1＋λ＝0只有一个实根，则Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－. 8

6．（2019·哈尔滨三中期末）已知函数f(x)＝2x＋x＋1，g(x)＝log2x＋x＋1，h(x)＝log2x－1的零点依次为a，b，c，则( )

A．a

B．a

1

B. 8

7C．－

8

3D．－

8

B．等于0 D．不大于0

【解析】令函数f(x)＝2x＋x＋1＝0，可知x<0，即a<0； 令g(x)＝log2x＋x＋1＝0， 则0

1，x≤0，??

7．（2019·广西来宾二中期中）已知函数f(x)＝?1则使方程x＋f(x)＝m有解的实数m的取值范

??x，x>0，围是( )

A．(1，2)

C．(－∞，1)∪(2，＋∞) 【答案】D

1

【解析】当x≤0时，x＋f(x)＝m，即x＋1＝m，解得m≤1；当x>0时，x＋f(x)＝m，即x＋＝m，解得m≥2，

x即实数m的取值范围是(－∞，1]∪[2，＋∞)．

2??x＋2，x∈[0，1），

8．（2019·江西吉安一中期末）定义在R上的函数f(x)，满足f(x)＝?且f(x＋1)

?2－x2，x∈[－1，0），?

B．(－∞，－2] D．(－∞，1]∪[2，＋∞)

＝f(x－1)，若g(x)＝3－log2x，则函数F(x)＝f(x)－g(x)在(0，＋∞)内的零点有( )

A．3个 【答案】B

【解析】由f(x＋1)＝f(x－1)，即f(x＋2)＝f(x)，知y＝f(x)的周期T＝2. 在同一坐标系中作出y＝f(x)与y＝g(x)的图象，如图所示，

B．2个

C．1个

D．0个

由于两函数图象有2个交点．

所以函数F(x)＝f(x)－g(x)在(0，＋∞)内有2个零点．

9．（2019·江苏徐州一中期中）已知y＝f(x)是定义域为R的奇函数，当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2－2x. (1)写出函数y＝f(x)的解析式；

(2)若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，求实数a的取值范围． 【解析】(1)设x＜0，则－x＞0， 所以f(－x)＝x2＋2x.又因为f(x)是奇函数， 所以f(x)＝－f(－x)＝－x2－2x.

?x2－2x，x≥0，?

所以f(x)＝?2

?－x－2x，x＜0.?

(2)方程f(x)＝a恰有3个不同的解，

即y＝f(x)与y＝a的图象有3个不同的交点．

作出y＝f(x)与y＝a的图象如图所示，故若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，只需－1＜a＜1， 故实数a的取值范围为(－1,1)．

10．（2019·河山东威海一中期中）已知二次函数f(x)的最小值为－4，且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}．

(1)求函数f(x)的解析式； (2)求函数g?x??f?x??4lnx的零点个数． x【解析】(1)因为f(x)是二次函数，且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}，