一．填空（每空3分，共36分）
3 1?i1.i= ， = . i2.设函数 f(z)?(x?3xy)?i(3xy?322y)3为解析函数, 则
f?
'(z)? .
3．积分
?|z|?5(2z2?ez?cosz)dz? ，积分
|z|?1sizndz? . zsin??3d?，其中|z|<2，则??z4．设C为正向圆周|?|=2，f(z)=?
5. z?0是z
6．幂级数?n?1?Cf?(1)? .
2e1ze?z的 类型孤立奇点，Res(2,0)? . z2nn3zn 的收敛半径是 .
7. 映射 f(z)?z在z?i处的伸缩率为 ，转动角为 . 8.
3f(t)?ej2t?2?(t)的付氏变换
是 .
ez二．计算?dz. (10分)
|z|?4z2(z?1)2三. 把函数f(z)?1分别在圆环域（1）0?|z|?1；（2）0?z?1?1(z?1)(z?2)内展为洛朗级数. (12分)
四. 计算积分 ???cosx??x2?4x?5dx.(10分)五. 求将上半平面映射成单位圆
??1且满足条件f(i)?0,argf?(i)??2 的分式线性映射.(10分)
六. 已知 v(x,y)?ex(ycosy?xsiny)?x?y为调和函数，求一解析函数
f(z)?u?iv, 使f(0)?0.(12分) 七.求微分方程：y???2y??3y?e解 .(10分)
?t满足初始条件y(0)?0,y?(0)?1的
一.填空题（每小题3分，共36分）
1. 设Z??1?i ， 则ArgZ? ,Z的三角表示为 . 2. e 3.
2??i3? ; 已知lnz??i2,则z? . cosz?|z|?1(z?3)2dz? .
?4. ?0sinzdz? . 5.幂级数??1?n?1?i?1??z?n?n2n的
收敛半径为 .
6.已知f(z)?7.f(z)?3z?2，则Res[f(z),0]? . z2(z?2)1的全部孤立奇点为 . ze?(1?i)z?i在z?i处的旋转角为 ，伸缩率z?i8.分式线性映射f(z)?为 .
9.函数f(t)?3u(t)?2e4t的Laplace变换F(s)? . 二.设ay3?bx2y?i(x3?cxy2) 为解析函数，求a,b,c的值。(6分) 三. 将f(z)?z?1 分别在圆环域（1）0?|z|?1；（2）1?|z|???内
z2(z?1)展为洛朗级数.（8分）
四. 求将单位圆|z|?1映成单位圆|?|?1，且使z?1,1?i分别映为
??1,?的分式线性映射.( 8分)
五. 求积分I??C1dz的值，其中C为|z|?r,r?1,2.(12分). 3z(z?1)(z?2)六. 已知调和函数u(x,y)?x2?y2?xy，求其共轭调和函数v(x,y)及解析函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y).(10分)
x2七.计算积分I????222dx,(a?0)的值.（10分）
(x?a)??八. 求微分方程x''(t)?4x'(t)?3x?e?t 满足初始条件x(0)?x'(0)?1的解.（10分）
一.填空题（每小题3分，共36分）
1.设Z?3?3i，则Z的三角表示为 ，如果存在复数w使得满足ew?3?3i，则
复数w? .
2.设函数 f(z)?(x?3xy)?i(3xy?322y)为解析函数, 则f3'(z)?
____ .
ez3.?|z|?1dz? ___ ,
(z?2)2ez?|z|?3(z?2)2dz?
____ .
2?3?7?2?14.设f(z)??z?3d?，则f'(1?i)? ____ . 2(??z)1??5.幂级数??1??z?n??n?1n2n的收敛半径为 ____ .
6.已知f(z)?5z?2，则Res[f(z),0]? . 3z(z?2)z?i在z??i处的旋转角为 ，伸缩率z?i7.分式线性映射f(z)?为 .
8.将点?1,?,i分别映射为?,1?i,1的分式线性映射为 .
9.函数f(t)?3?(t)?2e4t?4sin2t的Laplace变换F(s)? ___.
二. 将f(z)?
2z?1 分别在圆环域（1）0?|z|?1；（2）1?|z?1|???内z(z?1)展为洛朗级数.（10分）
三.求将上半平面映成单位圆内部，并且满足f(1?i)?0,argf'(1?i)??分式线性映射.( 10分) 四. 求积分I??Cezdz的值，其中积分路径为不经过0和1的正
z3(z?1)2向简单闭曲线 (14分).
五. 设u和v设解析函数f(z)的实部和虚部，并且满足
u?v?(x?y)(x2?4xy?y2)，求解析函数f(z).(10分)
六.计算积分I??????cosaxdx,(a?0)的值.（10分） 2x?4x?5七. 求微分方程x''(t)?4x'(t)?3x?e?t 满足初始条件x(0)?0,x'(0)?1的解.（10分）
《复变函数与积分变换》
第一部分 选择题 (共30分)
一、单项选择题(本大题共15小题，每小题2分，共30分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括
号内。错选、多选或未选均无分。
1．下列复数中，位于第Ⅱ象限的复数是（ ）
A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i
2．下列等式中，对任意复数z都成立的等式是（ ）
A.z·z=Re(z·z) B. z·z=Im(z·z) C. z·z=arg(z·z) D. z·z=|z| 3．不等式??4?argz??4所表示的区域为（ ）
A.角形区域 B.圆环内部 C.圆的内部 D.椭圆内部
4．函数??1z把Z平面上的单位圆周|z|=1变成W平面上的（ A.不过原点的直线 B.双曲线 C.椭圆 D.单位圆周 5．下列函数中，不解析．．．的函数是（ ） A.w=z B.w=z2
C.w=ez D.w=z+cosz
6．在复平面上，下列关于正弦函数sinz的命题中，错误．．的是（A.sinz是周期函数 B.sinz是解析函数 C.|sinz|?1 D.(sinz)??cosz 7．在下列复数中，使得ez=2成立的是（ ）
） ） A.z=2 B.z=ln2+2?i C.z=
2
D.z=ln2+?i
8．若f(z)在D内解析，?(z)为f(z)的一个原函数，则（ ） A.f?(z)??(z) B. f??(z)??(z) C. ??(z)?f(z) D. ???(z)?f(z) 9．设C为正向圆周|z|=1,则?A.0 B.
1 2?i?1(z?1?i)2Cdz等于（ ）
C.2?i D.?i
10．对于复数项级数?n?0(3?4i)n6n，以下命题正确的是（ ）
A.级数是条件收敛的 B.级数是绝对收敛的 C.级数的和为? D.级数的和不存在，也不为?
11．级数?(?i)n的和为（ ）
n?0?A.0 B.不存在 C.i D.-i 12．对于幂级数，下列命题正确的是（ ）
A.在收敛圆内，幂级数条件收敛 B.在收敛圆内，幂级数绝对收敛
C.在收敛圆周上，幂级数必处处收敛 D.在收敛圆周上，幂级数必处处发散 13．z=0
sinz2是函数
z的（ ）
A.本性奇点 B.极点 C.连续点 D.可去奇点
14．sin1在点z=0处的留数为（ ）
zA.-1 B.0 C.1 D.2 15．将点?，0，1分别映射成点0，1，?的分式线性映射是（ ） A.w?z z?1z B. w?z1?z
11?zC. w?1?z D. w?
第二部分 非选择题 （共70分）
二、填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 16．设z?2ei?4,则Rez=____________.
17.f(z)=(x2-y2-x)+i(2xy-y2)在复平面上可导的点集为_________. 18.设C为正向圆周|z-?i|=1,则积分?C4z2?119.函数f(z)?z(z?1)1dz?____________. cosz在奇点z=0附近的罗朗级数的收敛圆环域为
_______. 20.
1(z?1)3在点z=1处的留数为____________.
三、计算题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 21．设z?2?i,求z+z和z-z.
3?i22. 设f(z)?z21?z2?2cosz. (1)求f(z)的解析区域，（2）求f?(z).
23.设f(z)=x2-2xy-y2-i(x2-y2).
求出使f(z)可导的点, (2)求f(z)的解析区域. 24.设z=x+iy,L为从原点到1+i的直线段.求?25.计算积分?(2z?3)dz.
03?iL(x?y?iy2)dz.
26.设C为正向圆周|z-1|=3,计算积分I=?iz2(z?i)ezz(z?2)2Cdz.
27.将函数f(z)=在圆环0<|z|<1内展开成罗朗级数.
28.将函数f(z)=ln(3-2z)在点z=0处展开为泰勒级数，并求其收敛半径.
四、综合题（下列3个小题中，29题必做，30、31题中只选做一题，需考《积分变换》者做31题，其他考生做30题，两题都做者按31题给分。每题10分，共20分） 29．利用留数定理计算积分I=???x2dx(x?a)222??(a?0).
30.试求一函数w=f(z),它将Z平面上的区域0 2平面上的单位圆域|w|<1，且使z=1+i，0分别映射成w=0,1. 31.已知f(t)=?(1)e-2tf(t), (2)sin2t， (3)g(t)=e-2tf(t)+3sin2t. ?1,0?t?1,试求下列函数的付氏变换： 0,其他?《复变函数与积分变换》试题（十） 一、填空题(每格2分，共40分) 1.z=6+i,则 |z|=__________，argz=__________. 2.z=e-3+i则argz=__________. 3.复数-1+3i的三角形式是__________. 4.一曲线的复数方程是|z-i|=1,则此曲线的直角坐标方程为__________. 5.设z=(-i)i,则|z|=__________. 6.f(z)=2cos( ?-z),则f(i)=__________. 27.设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是解析函数，v(x,y)=y,则f′(z)=__________. 8. ?i2zsin(z2)dz=__________. 9.沿指定曲线正向的积分 ?ezz2?4|z|?1dz=__________. 12?i10.设C1为正向圆周|z-2|=1,C2为正向圆周|z|=1,则积分 __________. 11.级数 ?c1z3?11dz?z?22?i?c2coszdz= z?2?(?3)n?1?nzn的收敛半径R= . 12.函数f(z)= 1在z=0处的泰勒级数是__________. i?z?13.罗朗级数 ?(2z)??zn?1nn?01?2n的收敛域是__________. 14.Z=3是函数sin 11的孤立奇点，它属于__________类型，Res〔sin,3〕=__________. z-3z-315.z=0是函数z-sinz的__________阶零点。 16.函数W=z2在z平面上，伸缩率等于2的点构成的曲线方程是__________. 5z4?z3?z?1dz=__________. 17.沿指定曲线正向的积分 |z?1|?1(z?1)2?18. ???(x?)cos2xdx =__________. ??3??二、计算题及证明题(5题，共30分) 1.(5分)试证：设 z-1是纯虚数，则必有|z|=1. z?12.(5分)求z4+3-i=0的根. 3.(7分)解析函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)的虚部v(x,y)=3x2y-y3,求f(z). 4.(6分) 将函数f(z)=5.(7分)求函数f(z)= 511??.在2<|z|<3内展开成罗朗级数. (z-2)(z?3)z?2z?31(z-2)2(z2-z)在各孤立奇点处的留数. 三、计算题及应用题(5题共30分) 1.(8分)给定积分 ?exz(z?2)2Cdz.试就下列不同情形，写出此积分的值： (1)C为正向圆周|z|=1， (2)C为正向圆周|z-2|=1, (3)C为正向圆周|z|=3. 2.(6分)计算积分 J=3.(6分)函数W= ???cosx(x2?1)(x2?9)??dx. z-1将右半平面Rez>0映射为W平面上的什么区域? z?14.(4分)设F〔f(t)〕=F(ω)， (1)F〔f(t-t0)〕=__________.t0∈R. (2)F〔f(at)〕=__________.a∈R,a≠0 (3)若F〔f(t)〕=e,问 F〔f(2t-3)〕=__________. 5.(6分)用拉氏变换解下列微分方程： y″+3y′+2y=2e-3t,y(0)=0, y′(0)=1 -ω 2?1．复数z?3i?1的模为_________，辐角为____________. 1?i?22．曲线z??2?i?t在映射w?z2下的象曲线为____________. 3．ii?____________. 4．z?0为函数f?z??_____. 5．函数f?z??zImz?Rez仅在z?____________处可导. sin1?cosz的_____级极点；在该点处的留数为8z?6．设f?z?????22d?，其中z?2，则f??1??_______. ??z?7. 在映射w?z2?iz下，z?i处的旋转角为_______，伸缩率为______. 8. 已 知 f1?t??etu?t?,f2?t??tu?t?,则它们的卷积 f1?t??f2?t??____________. 得分 评卷人 二、（10分）验证v?x,y??2x2?2y2?x是一调和函数， 并构造解析函数f?z??u?iv满足条件f?i???2i. 得分 评卷人 三、计算下列各题（每小题5分，共25分）： 1．?z?42．?z??3. ?0?1dz . coszzz?1edz . z?121d? . 21?sin?x2dx . ??4. ??????x2?4?25. 用留数计算I?b???0F????cosbxdx(a?0,b?0)，由此求出x2?a21的傅里叶(Fourier)逆变换. 22??a 得分 评卷人 四、（12分）把函数f?z?? z?i的洛朗级数. 1在复平面上展开为z2?1 得分 评卷人 五、（6分）试求Z平面上如图所示区域在映射 w???iz?i下的象区域. z?ii i2 –1 0 1 –i 得分 评卷人 3???0?Imz?六、（8分）求一保形映射，把区域?2映射 ??Rez?0 为区域w?1. 得分 评卷人 七、（8分）用拉普拉斯(Laplace)变换求解微分方程 y????y??e2t满足初始条件y?0??y??0??y???0??0的解. 得分 评卷人 八、证明题：（7分） 1． 设函数f?z?在区域z?z0?R?R?r?0?内除二阶极点z0外处处 f??z?0解析，证明：?z?z?rf?z?dz??4?i .（4分） ?ez2. 求积分?z?1dz，从而证明：?0ecos?cos?sin??d???.（3 z