第一章 概 论
本章要求学生了解控制系统的基本概念、研究对象及任务，了解系统的信息传递、反馈和反馈控制的概念及控制系统的分类，开环控制与闭环控制的区别；闭环控制系统的基本原理和组成环节。学会将简单系统原理图抽象成职能方块图。
例1 例图1-1a为晶体管直流稳压电源电路图。试画出其系统方块图。
例图1-1a 晶体管稳压电源电路图
解：在抽象出闭环系统方块图时，首先要抓住比较点，搞清比较的是什么量；对于恒值系统，要明确基准是什么量；还应当清楚输入和输出量是什么。对于本题，可画出方块图如例图1-1b。
例图1-1b 晶体管稳压电源方块图
本题直流稳压电源的基准是稳压管的电压，输出电压通过R3和R4分压后与稳压管的电压Uw比较，如果输出电压偏高，则经R3和R4分压后电压也偏高，使与之相连的晶体管基极电流增大，集电极电流随之增大，降在Rc两端的电压也相应增加，于是输出电压相应减小。反之，如果输出电压偏低，则通过类似的过程使输出电压增大，以达到稳压的作用。
例2 例图1-2a为一种简单液压系统工作原理图。其中，X为输入位移，Y为输出位移，试画出该系统的职能方块图。
解：该系统是一种阀控液压油缸。当阀向左移动时，高压油从左端进入动力油缸，推动动力活塞向右移动；当阀向右移动时，高压油则从右端进入动力油缸，推动动力活塞向左移动；当阀的位置居中时，动力活塞也就停止移动。因此，阀的位移，即B点的位移是该系统的比较点。当X向左时,B点亦向左，而高压油使Y向右，将B点拉回到原来的中点，堵住了高压油，Y的运动也随之停下；当X向右时,其运动完全类似，只是运动方向相反。由此可画出如例图1-2b的职能方块图。
1
例图1-2a 简单液压系统
例图1-2b 职能方块图
1．在给出的几种答案里，选择出正确的答案。
（1）以同等精度元件组成的开环系统和闭环系统，其精度比较为_______ （A）开环高； （B）闭环高； （C）相差不多； （D）一样高。 （2）系统的输出信号对控制作用的影响 （A）开环有； （B）闭环有； (C）都没有； （D）都有。 （3）对于系统抗干扰能力
（A）开环强； （B）闭环强； （C）都强； （D）都不强。 （4）作为系统
(A）开环不振荡； （B）闭环不振荡； （C）开环一定振荡； （D）闭环一定振荡。 2．试比较开环控制系统和闭环控制系统的优缺点。 3. 举出五个身边控制系统的例子，试用职能方块图说明其基本原理，并指出是开环还是闭环控制。
4．函数记录仪是一种自动记录电压信号的设备，其原理如题图1-4所示。其中记录笔与电位器RM的电刷机构联结。因此，由电位器R0和RM组成桥式线路的输出电压up与记录
2
笔位移是成正比的。当有输入信号ur时，在放大器输入端得到偏差电压?u?ur?up，经放大后驱动伺服电动机，并通过齿轮系及绳轮带动记录笔移动，同时使偏差电压减小，直至ur?up时，电机停止转动。这时记录笔的位移L就代表了输入信号的大小。若输入信号随时间连续变化，则记录笔便跟随并描绘出信号随时间变化的曲线。试说明系统的输入量、输出量和被控对象，并画出该系统的职能方块图。
题图1-4 函数记录仪原理图
5．题图1-5（a）和（b）是两种类型的水位自动控制系统，试画出它们的职能方块图，说明自动控制水位的过程，指出两者的区别。
题图1-5 水位自动控制系统
6．题图1-6表示角速度控制系统原理图，试画出其职能方块图。
3
题图1-6 角速度控制系统
4
第二章 控制系统的动态数学模型
本章要求学生熟练掌握拉氏变换方法，明确拉氏变换是分析研究线性动态系统的有力工具，通过拉氏变换将时域的微分方程变换为复数域的代数方程，掌握拉氏变换的定义，并用定义求常用函数的拉氏变换，会查拉氏变换表，掌握拉氏变换的重要性质及其应用，掌握用部分分式法求拉氏反变换的方法以及了解用拉氏变换求解线性微分方程的方法。明确为了分析、研究机电控制系统的动态特性，进而对它们进行控制，首先是会建立系统的数学模型，明确数学模型的含义，对于线性定常系统，能够列写其微分方程，会求其传递函数，会画其函数方块图，并掌握方块图的变换及化简方法。了解信号流图及梅逊公式的应用，以及数学模型、传递函数、方块图和信号流程图之间的关系。
例1 对于例图2-1所示函数， （1）写出其时域表达式；
（2）求出其对应的拉氏变换象函数
g1(t)10?112345678t
例图2-1
解：方法一：
g1?t??1?t??2?1?t?1??2?1?t?2??2?1?t?3??2?1?t?4???
G1?s??
12?s2?2s2?3s2?4s?e?e?e?e??sssss12??e?s1?e?s?e?2s?e?3s??ss
12?s1??e?ss1?e?s1?e?s?s1?e?s???? 方法二：
根据周期函数拉氏变换性质，有
5
1G1?s??1?e?2s?
?st????1?2?1t?1edt?0211?2s?e1?e?2ss1?1?e?s1?e?s??2e?s?11?1?e?ss??2?????
1?e?s?s1?e?s??
例2 试求例图2-2a所示力学模型的传递函数。其中，xi?t?为输入位移，xo?t?为输出位移，k1和k2为弹性刚度，D1和D2为粘性阻尼系数。
解： 粘性阻尼系数为D的阻尼筒可等效为弹性刚度为Ds的弹性元件。并联弹簧的弹性刚度等于各弹簧弹性刚度之和，而串联弹簧弹性刚度的倒数等于各弹簧弹性刚度的倒数之和，因此，例图2-2a所示力学模型的函数方块图可画成例图2-2b的形式。
k1xiD1D2k2xo
例图2-2a 弹簧-阻尼系统
Xi?s???k1?sD1k1?sD1F?s?1k2?sD2Xo?s?
例图2-2b 系统方块图 根据例图2-2b的函数方块图，则
k1?D1s1D1?sXo?s?k1?D1sk2?D2sk2 ??1Xi?s?1?k1?D1s???D1D22D1D1D2?s????s?1??k1?D1sk2?D2sk1k2?k1k2k2?
6
例3 试求例图2-3所示电路网络的传递函数。其中，uo?t?为输出电压，ui?t?为输入电压，R1和R2为电阻，C1和C2为电容。
例图2-3 无源电路网络
解： 如例图2-3，设电流i1?t?和i2?t?为中间变量，根据基尔霍夫定律，可列出如下方程组
1?i1?t?dt?R1i2?t??C1? ? ui?t??uo?t??R1i2?t??1?i1?t??i2?t??dt??i1?t??i2?t??R2?uo?t??C2??? 消去中间变量i1?t?和i2?t?，得
R1R2C1C2d2uo?t?dt2duo?t?d2ui?t?dui?t?????R1C1?R2C2?R1C2??uo?t??R1R2C1C2?RC?RC?ui?t? 1122dtdtdt2令初始条件为零，将上式进行拉氏变换，得
R1R2C1C2s2Uo?s???R1C1?R2C2?R1C2?sUo?s??Uo?s??R1R2C1C2s2Ui?s???R1C1?R2C2?sUi?s??Ui?s? 由此，可得出系统传递函数为
Uo?s?R1R2C1C2s2??R1C1?R2C2?s?1 ?Ui?s?R1R2C1C2s2??R1C1?R2C2?R1C2?s?1例4 试求例图2-4所示有源电路网络的传递函数。其中，ui?t?为输入电压，uo?t?为
输出电压。
7
例图2-4 有源电路网络
解： 如例图2-4，设R2、R4和R5中间点的电位为中间变量uA?t?。按照复阻抗的概念，电容C上的复阻抗为
1。 Cs 根据运算放大器的特性以及基尔霍夫定律，可列出如下方程组 Ui?s?U?s????A?R1R2? ?UA?s?UA?s??Uo?s?UA?s?
???R?1R25?R4?Cs?消去中间变量UA?s?，可得
R2R4?R2R5?R4R5Cs?1U?s?R?R5R2?R5 o ??2?Ui?s?R1R4Cs?1例5 如例图2-5所示系统，ui?t?为输入电压，io(t)为输出电流，试写出系统状态空间表达式。
ui(t) R1 io(t)
2
例图2-5 电路网络 解：该系统可表示为
iL(t)L C uc(t)
R 8
di(t)?ui(t)?R1io(t)?LL?dt? ?u(t)?R1io(t)?uC(t)?[io(t)?iL(t)]R2
i?duc(t)i(t)?i(t)?C?oL?dt则
R1R2R1R2?diL(t)??iL(t)?uc(t)?ui(t)??dtL(R1?R2)L(R1?R2)L(R1?R2) ?
duc(t)R111???iL(t?)uc(t?)ui(t)?C(1R?R2)C(1R?R2)C(1R?R2)?dtio(t)?R2(R1?R2)iL(t)?1(R1?R2)uc(t)?1(R1?R2)ui(t)
可表示为
R1R2???i?L???L(R1?R2)???c?R1?u?????C(R1?R2)??R2?L(R1?R2)??iL??L(R1?R2)???????ui uc?11?????C(R1?R2)????C(R1?R2)??R1io??R2?(R?R)?12???iL?1?ui ???u(R1?R2)??c?(R1?R2)1
1．试求下列函数的拉氏变换 （1）f?t???4t?5???t???t?2??1?t? （2）f?t??sin?5t???????1?t? 3?（3）f?t?????0?t???sint
?0t?0,t????（4）f?t???4cos?2t????????5t???1?t???e?1?t? 3???6?（5）f?t??15t2?4t?6??t??1?t?2? （6）f?t??6sin?3t????????????1?t?? 4??4?（7）f?t??e?6t?cos8t?0.25sin8t??1?t?
9
（8）f?t??e?20t?2?5t??1?t???7t?2???t???3sin?3t??????????????1?t?? 2???6?2．试求下列函数的拉氏反变换
s?1（1）F?s??
?s?2??s?3?1 2s?4s（3）F?s??2
s?2s?5（2）F?s??e?s（4）F?s??
s?1s（5）F?s??
?s?2??s?1?2（6）F?s??4s2?s?4
（7）F?s??s?1 s2?9dx?t?dx?t??8x?t??1，其中x?0??1,dtdt3．用拉氏变换法解下列微分方程。
（1） （2） （3）
d2x?t?dt2?6t?0?0
dx?t??10x?t??2，其中x?0??0
dtdx?t?dx?t??100x?t??300，其中dtdtt?0?50
4．对于题图2-4所示的曲线，求其拉氏变换。
题图2-4
dy?t?dx?t?5. 某系统微分方程为3o?2yo?t??2i?3xi?t?，已知yo0??x0??0，当输人为1dtdt????（t）时，输出的终值和初值各为多少？ 6. 化简下列方块图,并确定其传递函数。 (1)
10
题图2-6（1）
(2)
题图2-6（2）
(3)
题图2-6（3）
(4)
题图2-6（4）
7. 对于题图2-7所示的系统
（1）求Xo?s?和Xi1?s?之间的闭环传递函数； （2）求Xo?s?和Xi2?s?之间的闭环传递函数。
11
题图2-7
X?s?X?s?X?s?X?s?8．对于题图2-8所示的系统，分别求出o1,o2,o1,o2。
Xi1?s?Xi2?s?Xi2?s?Xi1?s?题图2-8
9．试求题图2-9所示机械系统的传递函数
D1D1DDD2D1D2D1D1D1D2D1D1D1DD题图2-9
10．试求题图2-10所示无源电路网络传递函数。
12
题图2-10
11．试求题图2-11所示有源电路网络的传递函数。
题图2-11
12．试求题图2-12所示机械系统的传递函数
D1
D2
D
题图2-12
13．证明题图2-13中（a）与（b）表示的系统是相似系统（即证明两个系统的传递函数具有相似的形式）。
13
D2D1（a） (b)
题图2-13
2,Fi?t?为输入外力，yo?t?14． 如题图2-14所示系统，其中弹簧为非线性弹簧，弹簧刚度为kyo为输出位移，f为阻尼系数，试用增量方程表示线性化后的系统微分方程关系式。
D题图2-14
15．如题图2-15所示系统，试求
（1）以Xi?s?为输入，分别以Xo（s），Y（s），B（s），E（s）为输出的传递函数； （2）以N(s)为输入，分别以Xo（s），Y（s），B（s），E（s）为输出的传递函数。
题图2-15
14
16. 对于如题图2-16所示的系统，试求No?s?为转速的象函数。
N?s?No?s?和o，其中Mc（s）为负载力矩的象函数，Mc?s?Ui?s?题图2-16
17. 试求函数f（t）为如下形式的拉氏变换，f（t）为单位脉冲函数即δ（t）的导数。
f?t??1?t??2?1?t?t0???1?t?2t0?2t0limt0?0
18. 试画出题图2-18系统的方块图，并求出其传递函数。其中fi?t?为输入力，xo?t?为输出位移。
fi(t)D2题图2-18
D119. 某机械系统如题图2-19所示，其中，M1和M2为质量块的质量，D1,D2和D3分别为质量块M1、质量块M2和基础之间，质量块之间的粘性阻尼系数。fi?t?是输入外力，y1?t?和y2?t?分别为两质量块M1和M2的位移。试求G1?s??Y1?s?Y?s?和G2?s??2。 Fi?s?Fi?s? 15
fi(t)D3D1D2题图2-19
20．如题图2-20，?是角速度，t是时间变量，其中，
试求F1?s?、F2?s?和F3?s?。
ωt0
题图2-20
21．对于如题图2-21所示系统，D为粘性阻尼系数。试求 （1）从作用力f1?t?到位移x2?t?的传递函数； （2）从作用力f2?t?到位移x1?t?的传递函数； （3）从作用力f1?t?到位移x1?t?的传递函数； （4）从作用力f2?t?到位移x2?t?的传递函数。
16
f1(t)
f2(t)D
题图2-21
22． 试求题图2-22所示的各种波形所表示的函数的拉氏变换。
题图2-22
23. 试求下列卷积。
（1）1*1 （2）t*t
（3）t?e
（4）t?sint
24. 试求题图2-24所示机械系统的作用力f（t）与位移x（t）之间关系的传递函数。
t 17
D 题图2-24 25．题图2-25所示f（t）为输入力，系统的弹簧刚度为k，轴的转动惯量为J, 阻尼系数为D, 系统的输出为轴的转角θ（t），轴的半径为r，求系统的传递函数。
D
题图2-25 26. 试求题图2-26所示系统的传递函数。
题图2-26
18
第三章 时域瞬态响应分析
时域分析是重要的分析方法之一。本章要求学生了解系统在外加作用激励下，根据所描述系统的数学模型，求出系统的输出量随时间变化的规律，并由此确定系统的性能，了解系统的时间响应及其组成；掌握脉冲响应函数等概念，掌握一阶、二阶系统的典型时间响应和高阶系统的时间响应以及主导极点的概念，尤其应熟练掌握一阶及二阶系统的阶跃响应和脉冲响应的有关内容。
例1 某系统如例图3-1所示，试求其无阻尼自振角频率?n，阻尼比ζ，超调量Mp，
峰值时间tp调整时间ts（进入±5%的误差带）。
例图3-1
解： 对于例图3-1所示系统，首先应求出其传递函数，化成标准形式，然后可用公式求出各项特征量及瞬态响应指标。
100X?s?s?50s?4?10050 o ???22100Xi?s?s?50s?4??25s?2?0.2?5s?11??0.02s?50s?4? 所以 ?n?1?0.2?rad/s?5??0.2???1??2???0.21?0.22Mp?etp?ts??e2?52.7%2
??n1??3??0.21?0.2?16.03?s???n?3?75?s?0.2?0.2例2 设单位反馈系统的开环传递函数为
2s?1 G?s??2
s试求该系统单位阶跃响应和单位脉冲响应。
解: 欲求系统响应，可先求出系统的闭环传递函数，然后求出输出变量的象函数，拉氏反变换即得相应的时域瞬态响应。
19
Xo?s??Xi?s?2s?12s?1s2? 2s?1?s?1?21?2s 1．当单位阶跃输入时，xi?t??1?t?，则
1s
Xo?s?2s?11111Xo?s???Xi?s??????2s2Xi?s?s?s?1??s?1?s?1Xi?s?? 所以 xo?t??1?te?t?e?t?1?t?
2. 线性定常系统对输入信号导数的响应，可通过把系统对输入信号响应求导得
出。当单位脉冲输入时，
xi?t????t??d?1?t?? dt????d1?te?t?e?t则 xo?t???1?t??2e?t?te?t?1?t?
dt??????例3 设一单位反馈控制系统的开环传递函数为
0.4s?1 G?s??
s?s?0.6?试求系统对单位阶跃输入的响应，并求其上升时间和最大超调量。
解： 求解系统的阶跃响应可用例2的思路。这里需要注意，由于求出的系统传递函数不是典型的二阶振荡环节，其分子存在微分作用，因此采用欠阻尼二阶系统公式求其上升时间和最大超调量将引起较大误差，故宜按定义求其值。
0.4s?1X?s?s?s?0.6?0.4s?1?2 o?
0.4s?1Xi?s?s?s?11?s?s?0.6? 当xi?t??1?t?时，
Xi?s??1sXo?s?0.4s?111?Xi?s??2???22Xi?s?s?s?1ss??1??3??s?????2??2????1?3???3??s???? 2?15???2?
Xo?s??进行拉氏反变换，得
???333??t/2?? xo?t???1?ecost?sint??1?t? ???2152?????求其上升时间，即求首次到达稳态值的时间，则有
20
???333?xo?tr???1?e?tr/2?costr?sintr???1?t??1???2152????? costan333tr?sintr?02152315tr??23
解之，得
tr?1.946?s?
对于单位阶跃输入，最大超调量为最大峰值与稳态值之差，而峰值处导数为零， dx?t?求otp?0 dt得 tp?3.156?s? 则
????333Mp?xotp?1??1?e?3.156/2?cos?3.156?sin?3.156???1?t??1??? 2152??????18%??
1．如题图3-1所示的阻容网络，ui?t???1?t??1?t?30??V，当t为4s时，输出uo?t?值为多少？当t为30s时，输出uo?t?又约为多少？
题图3一1
2. 某系统传递函数为
s?1 ??s??2
s?5s?6试求其单位脉冲响应函数。
3．某网络如题图3-3所示，当t?0?时，开关与触点1接触，当t?0?时，开关与触点2接触，试求出输出响应表达式，并画出输出响应曲线。
题图3-3
21
4．如题图3-4所示系统，若忽略小的时间常数，可认为
dy?0.5?Bs?1 dt??其中ΔB为阀芯位移，单位为cm，令a=b（ΔB在堵死油路时为零）。
Y?s?（1）试画出系统函数方块图，并求； X?s?（2）当x?t???0.5?1?t??0.5?1?t?4s??1?t?40s??cm时，试求t=0s、4s、8s、40s、400s之
y(t)值，ΔB（∞）为多少？ （3）试画出x(t)和y(t)的波形。
题图3-4
5．设单位反馈系统的开环传递函数为
4 G?s??
s?s?5?式求该系统的单位阶跃响应和单位脉冲响应。
6．试求如题图3-6所示系统的闭环传递函数，并求出闭环阻尼比为0.5时所对应的k值。
题图3-6
7．设单位反馈系统的开环传递函数为
1 G?s??
s?s?1?试求系统的上升时间、峰值时间、最大超调量和调整时间。当
K G?s??
s?s?1?时，试分析放大倍数K对单位阶跃输入产生的输出动态过程特性的影响。 8．已知一系统由下述微分方程描述
22
d2ydt2?2?dy?y?xdt?0???1?
当x（t）＝l（t）时，试求最大超调量。 9．设有一系统其传递函数为
2Xo?s??n? 2Xi?s?s2?2??ns??n为使系统对阶跃响应有5%的超调量和2秒的调整时间，试求?和?n为多少？ 10．证明对于如题图3-10所示的系统，求y(t)。
Y?s?在右半s平面上有零点，当x(t)为单位阶跃时，
X?s? 题图3一10 11．设一单位反馈系统的开环传递函数为G?s??10，该系统的阻尼比为0.157, 无阻尼s?s?1?自振角频率为3.16rad/s，现将系统改变为如题图3-11所示，使阻尼比为0.5，试确定Kn值。
题图3-11
12．二阶系统在s平面中有一对复数共轭极点，试在s平面中画出与下列指标相应的极点可能分布的区域。
（1）??0.707,?n?2rad/s; （2）0???0.707,?n?2rad/s; （3）0???0.5,2rad/s??n?4rad/s; （4）0.5???0.707,?n?2rad/s; 13．设一系统如题图3-13（a）所示。
（1）当控制Gc?s??1时，求单位阶跃输入时系统的响应，设初始条件为零，讨论L和J对响应的影响；
（2）设Gc?s??1?Tds,J?1000，为使系统为临界阻尼，求Td值；
23
（3） 现在要求得到一个没有过调的响应，输入函数形式如图3-13（b），设Gc?s??1，L和J参数同前，求K和t1。
题图3-13
14．题图3-14为宇宙飞船姿态控制系统方块图，假设系统中控制器时间常数T等于3s,力矩与惯量比为
K2?rad/s2 J9试求系统阻尼比。
题图3-14
15．设一伺服马达的传递函数为
??s?K ?U?s?Ts?1
24
假定马达以?0的恒定速度转动，当马达的控制电压u0突然降到0时，试求其速度响应方程式。 16．对于题图3-16所示的系统，如果将阶跃输入?i作用于该系统，试确定表示角度位置?o的方程式，假设该系统为欠阻尼系统，初始状态静止。
D题图3-16
17．某系统如题图3-17所示，试求单位阶跃响应的最大超调量Mp，上升时间tr和调整时间ts。
题图3-17
18．单位反馈系统的开环传递函数为
K G?s??
s?Ts?1?其中K>0，T>0，问放大器增益减少多少方能使系统单位阶跃响应的最大超调由75%降到25%，？
19．单位阶跃输人情况下测得某伺服机构的响应为xo?t??1?0.2e?60t?1.2e?10t （1）求出闭环传递函数；
（2）求出系统的无阻尼自振角频率及阻尼比。 20．某单位反馈系统的开环传递函数为
K G?s??
s?s?10?当阻尼比为0．5时，求K值，并求单位阶跃输入时该系统的调整时间、最大超调量和峰值时间。
21．某石英挠性摆式加速度计的摆片参数如下：摆性mL为0.58g?cm，转动惯量J为0.52g?cm2，弹性刚度K为0.4N?cm/rad。
（1）当摆片放入表头时，阻尼系数为0.15N?cm?s/rad，试求摆片转角对加速度输入的传递函数，并求出阻尼比。
（2）如果将摆片从表头取出，阻尼系数下降为0.015N?cm?s/rad，此时阻尼比为多少？无阻尼自振角频率是否改变？
22．试比较如题图3-22（a）和（b）的两个系统的单位阶跃响应。
25
(a) (b)
题图3-22
23．试分析题图3-23所示各系统稳定否，输入撤除后这些系统是衰减还是发散，是否振荡？
题图3-23
24．某高阶系统，闭环极点如题图3-24所示，没有零点，请估计其阶跃响应。
题图3-24
25．两系统的传递函数分别为
G1?s??21和G2?s?? 2s?1s?1当输入信号为1（t）时，试说明其输出到达各自稳态值的63.2%的先后。
26. 对于如题图3-26所示的系统，当xi?t??5?1?t??1?t????时，分别求出τ=0.01s、30s，t＝3s、9s、30s时的xo?t?值，并画出xo?t?的波形。
26
题图3-26
?o?t??xo?t??15xi?t?， 27. 某系统的微分方程为3x（1）试求系统单位脉冲过渡函数g?t1??0.3时的t1值；
（2）试求系统在单位阶跃函数作用下xo?t2??15时的t2值。 28. 某位置随动系统的输出为
Xo?s??2s?3
3s2?7s?1试求系统的初始位置。
29．题图3-29为仿型机床位置随动系统方块图,试求该系统的阻尼比，无阻尼自振角频率，超调量，峰值时间及过渡过程时间。
题图3-29
30．设各系统的单位脉冲响应函数如下，试求这些系统的传递函数。
（1） g?t??0.35e?2.5t （2） g?t??asin?t?bcos?t （3） g?t??0.5t?5sin?3t?????? 3?（4） g?t??0.2e?0.4t?e?0.1t
31．设系统的单位阶跃响应为xo?t??81?e?0.3t，求系统的过渡过程时间。 32．试求下列系统的脉冲响应函数，G（s）为系统传递函数。
s?3（1）G?s??2
s?3s?2（2）G?s??s2?3s?5?????s?1?2?s?2?
33．一电路如题图3-33所示，当输入电压
27
?0V?ui?t???5V?0V?t?00?t?0.1s t?0.1s试求uo?t?的响应函数。
题图3-33
28
第四章 控制系统的频率特性
本章要求学生掌握频率特性的概念，明确频率特性与传递函数的关系，系统的动刚度与动柔度的概念，掌握频率特性的表示方法以及频率特性与时间响应之间的关系，各基本环节及系统的极坐标图和伯德图的画法，闭环频率特性及相应的性能指标，为频域分析系统的稳定性以及综合校正打下基础。要求学生能够由已知的系统传递函数画出乃氏图和伯德图，也能够根据系统频率特性曲线求出系统的传递函数。
例1 某系统传递函数为G?s??1?27?，当输入为sin?t?45??时，试求其稳态输出。
7?33s?2?解： 当给一个线性系统输入正弦函数信号时，其系统输出为与输入同频率的正弦信号，
其输出的幅值与相角取决于系统幅频特性与相频特性。
已知 G?s??则 G?j???A????7 3s?273j??27
9?2?4
3?????????arctan???2?又有 xi?t??则
171?2?sin?t?45?? 7?3??2?1A?????3?7?2??3?7?2?9???4?3?2?24
????45???arctan????45??0??32??23?所以 xo?t??2?2?sin?t? 4?3?例2 某最小相位系统的开环频响试验数据如例表4-2所示，试画出其对数幅频特性，
并确定其传递函数。
例表4-2
解： 首先根据例表4-2的数据绘出如例图4-2的系统幅频特性曲线。
29
例图4-2
将绘出的曲线用折线逼近，得
K?T2s?1?2 G?s??
s?T1s?1???1rad/s即f?1Hz，该频率点的幅值由曲线可见为30dB。 2? 解 20lgK=30dB
得 K≈31.6
由例图4-2测得转角频率 f1?0.59Hz,则
1?0.27?s?2??0.59
1T2??0.035?s?2??4.6T1?f2?4.6Hz
所以所测系统的传递函数近似为
31.6?0.035s?1?2 G?s??
s?0.27s?1?
1. 用分贝数（dB）表达下列量。
(1)2； （2）5； （3）10； （4）40； （5）100； （6）0.01;
(7)1; (8) 0。
2. 当频率?1?2rad/s和?2?20rad/s时，试确定下列传递函数的幅值和相角。 （1）G1?s??110； （2）G2?s??
s?0.1s?1?s101； （2）G2?j??? j?j??0.1j??1?3. 试求下列函数的幅频特性A???，相频特性????，实频特性U???和虚频特性V???。 （1）G1?j???4．某系统传递函数??s??5，当输人为5cos4t?30?时，试求系统的稳态输出。
0.25s?1??5．某单位反馈的二阶Ⅰ型系统，其最大超调量为16.3%, 峰值时间为114.6ms,试求其开环传递函数，并求出闭环谐振峰值Mr和谐振频率?r。
6. 题图4-6均是最小相位系统的开环对数幅频特性曲线，试写出其开环传递函数。
30
题图4-6
7. 某单位反馈系统的开环传递函数
12.5 G?s??
s?0.04s?1??0.005s?1?试证明其伯德图的?c?12.5rad/s,????1050?70rad/s，试画出闭环幅频特性的大致图形，当k=25时，闭环幅频特性有什么变化？
8. 试画出下列传递函数的伯德图。
20(1) G?s??
s?0.5s?1??0.1s?1?2s2(2) G?s??
?0.4s?1??0.04s?1?50?0.6s?1?(3) G?s??2 s?4s?1?(4) G?s??7.5?0.2s?1??s?1?ss?16s?100?2?
9．系统的开环传递函数 G?s??K?Tas?1??Tbs?1?s2?T1s?1? （K＞0）
31
试画出下面两种情况的乃氏图
（1）Ta?T1?0,Ta?T1?0 （2）T1?Ta?0,T1?Tb?0 10. 某对象的微分方程是 Tdx?t?du?t??x?t????u?t? dtdt其中T???0，u（t）为输入量，x（t）为输出量。试画出其对数幅频特性，并在图
中标出各转角频率。
11．题图4-11列出七个系统的伯德图和五个电网络图，找出每个网络对应的伯德图，并指出是高通、低通、带通，还是带阻。是超前、滞后、还是超前-滞后组合。
32
题图4-11
33
12．下面的各传递函数能否在题图4-12中找到相应的乃氏曲线？
（1） G1?s??（2） G2?s??（3） G3?s??（4） G4?s??（5） G5?s??（6） G6?s??0.2?4s?1?s2?0.4s?1?
0.149s2?5s?1s3?0.3s?1???
?K?0?
?K?0? ?K?0? ?K?0?
K?0.1s?1?s?s?1?K?s?1??s?2??s?3?Ks?s?1??0.5s?1?K?s?1??s?2?题图4-12
13．写出题图4-13（a）和（b）所示最小相位系统的开环传递函数。
34
题图4-13
14. 试确定下列系统的谐振峰值、谐振频率及频带宽。
X?j??5 o ?Xi?j???j??2?2?j???515. 试画出下列系统的乃氏图
1 （1）G?s??
?s?1??2s?1? （2）G?s?? （3）G?s??1s?s?1??2s?1?2
?0.2s?1??0.025s?1? s2?0.005s?1??0.001s?1?116. 某单位反馈系统的开环传递函数 G?s??s?s?1?2
试求其剪切频率，并求出该频率对应的相角。
17. 对于题图4-17所示的系统，试求出满足Mr?1.04,?r?11.55rad/s的K和a值，并计算系统取此参数时的频带宽。
题图4-17
18．已知某二阶反馈控制系统的最大超调量为25%，试求相应的阻尼比和谐振峰值。 19．某单位反馈系统的开环传递函数 10 s?1试求下列输入时输出xo的稳态响应表达式。
G?s?? （1）xi?t??sint?30? （2）xi?t??2cos2t?45?
???? 35
20. 某系统如题图4-20所示，当a分别为1，4，8，16，256时，求其Mp,tp,ts，并画出开环对数幅频特性图，求出?c和?c对应的角度值。
题图4-20
21．对于题图4-21所示的最小相位系统，试写出其传递函数。
题图4-21
36
第五章 控制系统的稳定性分析
本章要求学生明确控制系统稳定的概念、稳定的充分必要条件，重点要求学生掌握劳斯一赫尔维茨稳定性判据和乃奎斯特稳定判据，以及系统相对稳定性的概念。并掌握相位裕量和幅值裕量的概念及计算方法。
例1 某系统如例图5-1a所示，当开关K打开时，系统稳定否？当开关闭合时，系统稳
定否?如果稳定，当ui?t??1?t?V,uo?t?的稳态输出值是多少？
例图5-1a
解: 欲判断开关开闭时系统的稳定性，可先将系统开关开闭时系统的传递函数求出，根据特征方程根的性质即可判断系统稳定性。
(1) 当开关K打开时，该系统的方块图如例图5-1b所示。
例图5-1b
由例图5-1b可知， 1U?s??10 o?s???10??
1Ui?s?s?11?s 其特征方程根为s=＋1，在右半s平面，故开关K打开时系统不稳定。 (2) 当开关K闭合时，该系统的方块图如例图5-1c所示。
例图5-1c
由例图5-1c可知， ?10U?s??10 o?s?1?
?10s?9Ui?s?1?s?1 其特征方程根为s=-9，在左半s平面，故开关K闭合时系统稳定。
37
当ui?t??1?t?V时， Ui?s??1 s所以 uo????lims?s?0?10110????V? s?9s9例2 一个反馈控制系统的特征方程为 s3?5Ks2??2K?3?s?10?0
试确定使该闭环系统稳定的K值。
解: 该题给出了系统闭环特征方程，可利用劳斯判据求出K值范围。
s3s2s1s015K22K?3K?2K102K?310
?5K?0?? 解?2K?3?0
2?2K?3K?2?0?K? 得K＞0.5即为所求。
例3 设某闭环系统的开环传递函数为 Ke?2s G?s?H?s??
s试求系统稳定时的K值范围。
解: 已知系统的开环传递函数含有指数函数，故不能借助代数判据，可考虑借助乃氏判据求出K值范围。
Ke?2j?G?j??H?j???j?KG?j??H?j???? ?G?j??H?j?????2?2?
G?j0?H?j0??????2G?j??H?j???0??? 其乃氏图大致形状如例图5-3所示。
38
例图5-3
为了求出该乃氏图与实轴相交的最左边的点，可解 ??2?2????
得 ??? 4则 Re?G?j????????4???????H?j????G?j?H?j???K
??4??4???4??4?? 为了保证系统稳定，乃氏曲线不应绕过（-1，j0）点，即 Re?G?j得K?????????4?H?j????K??1
???4??4???即为所求。 4
例4 例图5-4是一个空间起飞助推器的姿态控制模型示意图。这是一个倒摆，安装在马达传动车上，我们要使摆保持在垂直位置。我们只考虑二维问题，即认为摆只在例图5-4所示的图面运动。为了保持上摆位于垂直位置，我们连续地测量??t?和???t?，形成控制力u（t），使
??t? u?t??Ma??t??b??? 试确定使系统稳定的a、b值，假设在摆轴上和车轴上无摩擦，并假设??t?和???t?很小。
39
θ
例图5-4
解: 为了求出使系统稳定的??t?和???t?值，可通过求出系统动态特征方程，利用代数判据求出。
因为??t?和???t?很小 所以
sin??t????t?
cos??t??1 设J为上摆围绕质量中心的转动惯量，则 J?ml2/3
由力学定律和已知条件，有
??ml2?????t??mgl??t??0?t??ml??ml2??y????3????2????t??u?t? ? ml??t???M?m??y???t?u?t??Ma??t??b????????t?和u?t?，得 消去变量，?y??m??3?a??1??g?M3b???????t?? ????t????t??0
mm??????4?l??4?l?M??M?此为二阶系统，系数均为正，则系统稳定。
解
40
3b??0?m?????4?l??M???m??? ?
3?a??1??g????M????0?m????4?l??M??b?0??m? 即为所求。 得 ?a???1??g??M??
1． 判别题图5-1所示系统的稳定性。
题图5-1
2．判别题图5-2所示系统稳定否，若稳定指出单位阶跃下e???值。若不稳定则指出右半s平面根的个数。
题图5-2
3．如题图5-3系统
（1）当开环增益K由20下降到何值时，系统临界稳定？
（2）当K=20，其中一个惯性环节时间常数T由0.1s下降到何值时，系统临界稳定？
题图5-3
4．对于如下特征方程的反馈控制系统，试用代数判据求系统稳定的K值范围。 （1）s4?22s3?10s2?2s?K?0
41
（2）s4?20Ks3?5s2?(10?K)s?15?0 （3）s3??K?0.5?s2?4Ks?50?0
（4）s4?Ks3?s2?s?1?0
5. 设闭环系统特征方程如下，试确定有几个根在右半s平面。 （1）s4?10s3?35s2?50s?24?0 （2）s4?2s3?10s2?24s?80?0 （3）s3?15s?126?0
（4）s5?3s4?3s3?9s2?4s?12?0 6．用乃氏判据判断下列系统的稳定性。 (1)G?s?H?s??ss?2s?2?s?1?2?100?
(2) G?s?H?s?? (3) G?s?H?s??K?s?1? s?s?1?s
1?0.2s7．试说明题图5-7所示系统的稳定条件。
题图5-7
8．设G?s??10，试确定闭环系统稳定时的K临界值。 s?s?1?9．对于下列系统，试画出其伯德图，求出相角裕量和增益裕量，并判其稳定性。
250 (1)G?s?H?s??
s?0.03s?1??0.0047s?1? (2) G?s?H?s??250?0.5s?1?
s?10s?1??0.03s?1??0.0047s?1?10K?s?0.5?s2?s?2??s?10?10．设单位反馈系统的开环传递函数为 G?s?H?s??
试用乃氏判据确定该系统在K=1和K=10时的稳定性。 11．对于题图5-11所示的系统，试确定： （1）使系统稳定的a值；
（2）使系统特征值均落在s平面中Re=-1这条线左边的a值。
题图5-11
42
12．设一单位反馈系统的开环传递函数为
K G?s??
s?Ts?1?现希望系统特征方程的所有根都在s=-a这条线的左边区域内，试确定所需的K值和T值范围。
13．一个单位反馈系统的开环传递函数为
G?s??10K?s?5??s?40?s3?s?200??s?1000?
讨论当K变化时闭环系统的稳定性，使闭环系统持续振荡的K值等于多少？振荡频率为多少？
14．设单位反馈控制系统的开环传递函数为
as?1 G?s?H?s??2
s试确定使相角裕量等于＋45°的a值。 15．某单位反馈系统的开环传递函数为
K?Ts?1? G?s?? s?0.01s?1??s?1?为使系统有无穷大的增益裕量，求T的最小可能值。 16．设单位反馈系统的开环传递函数为
K G?s??
s?s?1??s?2?试确定使系统稳定的K值范围。 17．试判断下列系统的稳定性。
10 （1）G?s??
s?s?1??s?5? （2） G?s??10?s?1?s?s?1??2s?3?
18．某系统的开环传递函数为
K G?s??3 2s?12s?20s 求使系统闭环后稳定的K值范围。 19. 设系统的闭环传递函数为
X?s?s?K o?3
Xi?s?s?2s2?4s?K 试确定系统稳定的K值范围。 20．设单位反馈系统的开环传递函数为
K G?s??
s?s?5??s?1?确定系统稳定的K值范围。
21．设两个系统，其开环传递函数的乃氏图分别示于题图5-21（a）和（b），试确定系统的稳定性。
43
题图5-21
22．设系统的开环传递函数为
10 G?s??
s?s?1??s?10? 试画出其伯德图，并确定系统稳定否。 23．试求题图5-23所示系统的稳定条件。
题图5-23
24．试确定题图5-24所示系统的稳定条件。
题图5-24
25．试判别题图5-25所示系统的稳定性。
44
题图5-25
26．随动系统的微分方程如下：
?o?t??Tmx?o?t??Kxo?t??Kxi?t? TMTa?x式中，TM——电动机机电时间常数；
Ta——电动机电磁时间常数；
K ——系统开环放大倍数。 试讨论：
（1）Ta、TM与K之间的关系对系统稳定性的影响；
（2）Ta=0.01，TM=0.1，K=500时是否可以忽略Ta的影响，为什么？在什么情况下可以忽略Ta的影响？
45
第六章 控制系统的误差分析和计算
本章要求学生了解误差的概念，着重掌握稳态误差的计算方法，学会减小或消除稳态误差的途径，并对动态误差做一般了解。
例1 某系统如例图6-1所示，当xi?t??t?1?t?,n?t??0.5?1?t?同时作用时，ess值为多少？
解: 求系统稳态误差应首先判断系统稳定性。根据劳斯判据该系统稳定。
单位反馈系统的偏差即为误差。当求两个量同时作用时,线性系统的偏差，可利用叠加原理，分别求出每个量作用情况下的偏差，然后相加求出。
例图6-1
E1?s??Xi?s?1?Xi?s??1s21101?0.1s?1s?s?4??s?0.1s?1??s?4?s?0.1s?1??s?4??101?0.1s?1?E2?s?s?s?4????
Xi?s?1?10?1s?0.1s?1??s?4??100.1s?1s?s?4?0.5N?s??sE?s??E1?s??E2?s??e????limsE?s??lims?E1?s??E2?s??s?0s?0
?1?s?0.1s?1??s?4?0.5??0.1s?1? ?lims?2????s?0ss?0.1s?1??s?4??10??ss?0.1s?1??s?4??1011??2.520?0.35
46
例2 某随动系统方块图如例图6-2所示，其电机的机电时间常数Tm?JR?0.05s，
KMKE电机电枢电感可忽略，电阻 R?4?,KM?0.1N?m/A,KE?0.1V?s/rad, 功放K3?10，K1?1V/rad,K2?1,试计算当?i?0.1t?1?t?rad及Mc?0.002N?m?1?t?分别作用时，??的稳
态值各为多少？同时作用时，??的稳态值又为多少？
例图6-2a
解: 首先判别该系统稳定。两个输入作用下引起的误差可通过叠加原理求得。
对于给定的系统方块图，首先将Mc的作用点等效地移到K3之后，然后等效地消去小闭环，系统方块图可等效为例图6-2b所示。
例图6-2b
（1）当?i(t)单独作用时， 已知 ?i?0.1t?1?t?rad 则 ?i?0.1s2
??1?s???i?s?1K1K2K3?s?1?1?KEs?10s?1??Tms?1?s?0
ess1?lims???1?s??lims?s?0??1?s???i?s??i?s?
?lims?s?0?0.001?rad?0.1KE10.10.1?0.1?2??K1K2K3?s?1?K1K2K31?1?10s1?KEs?10s?1??Tms?1?（2）当Mc（t）单独作用时，
47
R4??Mt??0.002?0.08?V? c 已知
KM0.1 则
R0.08 Mc?s??KMs?1s?Tms?1?KE??2?s??RK1K2K3?s?1?Mc?s?1?KMKEs?10s?1??Tms?1?
ess21s?Tms?1?KE?0.08
?lims???2?s??lims??s?0s?0K1K2K3?s?1?s1?KEs?10s?1??Tms?1???0.080.08?K1K2K31?1?10?0.008?rad?（3）当?i(t)和Mc（t）同时作用时，根据叠加原理，有 ess?ess1?ess2?0.001?0.008?0.009?rad?
1．试求单位反馈系统的静态位置、速度、加速度误差系数及其稳态误差，设输入信号为单位阶跃，单位斜坡和单位加速度，其系统开环传递函数分别如下：
50（1）G?s??
?0.1s?1??2s?1? (2) G?s?? (3) G?s?? (4) G?s??K
s?0.1s?1??0.5s?1?ss2?4s?200K?2s?1??4s?1?s2s2?2s?10?K?
??2. 设单位反馈系统的开环传递函数为
500 G?s??
s?0.1s?1?试求系统的误差级数，当下列输入时，求其稳态误差。 t2 （1）xi?t???1?t?
2 （2）xi?t??1?2t?2t2?1?t? 3．某单位反馈系统闭环传递函数
Xo?s?an?1s?an ?nXi?s?s?a1sn?1???an?1s?an??试证明该系统对斜坡输入的响应的稳态误差为零。 4. 试证明：如果控制系统的扰动是一个阶跃函数，那么只要在扰动作用点前有一个积
48
分器，就可以消除阶跃扰动引起的稳态误差。
5. 试证明：如果控制系统的扰动是一个斜坡函数，那么只要在扰动作用点前有二个积分器，就可以消除斜坡扰动引起的稳态误差。
6. 试证明：当扰动作用点在前向通道时（如题图6-6（a）所示），加大放大器增益K可使扰动影响减小，但当扰动作用点在反馈通道时（如题图6-6（b）所示），加大K并不能使扰动影响减小。
题图6-6
7. 题图6-7中的积分器1／s对消除阶跃扰动N引起的稳态误差有无好处？试说明之。
题图6-7
8. 对于如题图6-8所示系统，试求N?t??2?1?t?时系统的稳态误差；当xi?t??t?1?t?,n?t???2?1?t?，其稳态误差又是什么？
题图6-8
9．试求下列单位反馈系统的动态速度误差系数 (1) (2)
Xo?s?10 ?Xi?s??s?1?5s2?2s?10Xo?s?3s?10 ?2Xi?s?5s?2s?10?? 10．某单位反馈控制系统的开环传递函数为
100 G?s??
s?0.1s?1?试求当输入为xi?t??1?t?at2?1?t????a?0?时的稳态误差。
11．某单位反馈系统，其开环传递函数为
49
G?s??10
s?0.1s?1???a22?t???1?t?时，试求系统稳态误差。 2? （1）试求静态误差系数； （2）当输入为xi?t????a0?a1t? 12．对于如题图6-12所示系统，试求：
（1）系统在单位阶跃信号作用下的稳态误差； （2）系统在单位斜坡作用下的稳态误差；
（1） 讨论Kh和K对ess的影响。
题图6-12
13．如题图6-13所示系统，当xi?t???10?2t??1?t?时，试求系统的稳态误差；当xi?t??sin?6t?时，试求稳态时误差的幅值。
题图6-13
14．某系统如题图6-14所示，当?i?t??10??60?t?1?t??1?t?时，试求系统的稳态误差。
3s
??题图6-14
15．某随动系统如题图6-15所示，xi?t???m?sin??t?，其最大角速度?m?0.5rad/s，最大角加速度?m?1rad/s2，试求其稳态时误差的幅值。
题图6-15
16．设计一个稳定度<1%的稳压电源，画出其原理线路图，函数方块图，并说明能够达
50