忻州师范学院物理系本科毕业论文（设计）
（3）对于一个非齐次的线性微分方程来说，当非齐次项是?函数时，用拉普拉斯变换求解没有任何困难。而用微分方程的一般解法就会困难很多； （4）用拉普拉斯变换方法求解微分方程组，不仅比微分方程组的一般解法要简便得多，而且可以在不知道其余未知函数的情况下单独求出某一个未知函数。但在微分方程的一般解法中通常是不可能的；
（5）用拉普拉斯变换方法求解线性微分方程的特解非常有效，且有助于问题的简化。而高等数学中先由自由项的形式设出特解的相应形式，再回到原方程的左边用待定系数法的方法求解，求法较繁；
（6）拉普拉斯变换对象函数要求比傅里叶变换弱，其使用面更宽。但拉普拉斯变换像其他变换一样都有其局限性，只有满足其存在定理时才可以使用拉普拉斯变换[6]。而在微分方程的一般解法中，并没有任何限制。
4 拉普拉斯变换在求解偏微分方程中的应用
一些偏微分方程来自物理问题，又称为数学物理方程，求解数学物理方程
定解问题的方法有分离变量法、行波法、格林函数法、积分变换法等。拉普拉斯变换法是积分变换法的一种，其适用范围更广。用之求解的定解问题可以是有界的也可以是无界的，方程和边界条件可以是齐次的也可以是非齐次的。当然，它一般适用于波动方程和输运方程，因为稳定方程不含有时间变量。 4.1 齐次与非齐次偏微分方程 例：求解齐次偏微分方程
2??2u2?u,?2?a2?t?x??u? ?ut?0?0,(x?0,t?0) t?0?0,?t??u??(t),limu(x,t)?0.?x?0x????解：对该定解问题关于t取拉普拉斯变换，这样，原定解问题转化为含参数s的
二阶常系数线性齐次微分方程的边值问题：
?d2s2?2U(x,s)?2U(x,s)?0,a ?dx?U(0,s)??(s),limU(x,s)?0.x????解此微分方程，可得其通解为
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U(x,s)?c1es?xa?c2e，其中c1，c2为常数
x???sxa将边界条件L[u(0,t)]?U(0,s)??(s)，limU(x,s)?0代入上式，可得
c1??(s)，c2?0 所以，U(x,s)??(s)es?xa
方程两边取反演，从而原定解问题的解为
u(x,t)?L[U(x,s)]?L[?(s)e?1?1s?xax]??(t?)a
例：求解非齐次偏微分方程
2??2u2?u?g,?2?a2?x??t?u? ?ut?0?0,t?0?0,(g为常数),(x?0,t?0)
?t??ux?0?0.??解：对该问题关于t取拉普拉斯变换，这样，原定解问题转化为含参数s的二阶
常系数线性非齐次微分方程的边值问题：
?d2U121g?sU??,?222aas?dx?U?0,limU?0.s???x?0
解此微分方程，可得其通解为
U(x,s)?c1esxa?c2ex?0s?xa?g，其中c1，c2为常数 3ss?? 将边界条件U c1?0,c2???0，limU?0代入上式，可得
g s3sx?x?sggg所以，U(x,s)?3(1?ea)?3?3ea
sss方程两边取反演，从而原定解问题的解为
ggxu(x,t)?L?1[U(x,s)]?t2?(t?)2
22a4.2 有界问题与无界问题 例：求解有界偏微分方程
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2??2u2?u,?2?a2?t?x?? ?ux?0?0,ux?l??(t),(0?x?l,t?0)
??ut?0?0,?ut?0?0.??t?解：对该定解问题关于t取拉普拉斯变换，这样，原定解问题转化为含参数s的
二阶常系数线性齐次微分方程的边值问题：
?d2Us2?2?2U?0, ?dx a?U?x?0?0,Ux?l??(s).解此微分方程，可得其通解为
sxas?xaU(x,s)?c1e?c2ex?0，其中c1，c2是常数
x?l将边界条件U?0，U，
??(s)代入上式，可得
c1??c2?从而
?(s)e?eslas?laU(x,s)??(s)[es?(l?x)a?e?s?(l?x)a1?e4lsa?es?(3l?x)a?e?s?(3l?a)a1?e4lsa]
方程两边取反演,从而原定解问题的解为
u(x,t)?L?1[U(x,s)]
l?xl?xl?xl?x)u(t?)??(t?)u(t?) aaaa3l?x3l?x3l?x3l?x ??(t?)u(t?)??(t?)u(t?)
aaaa ??(t?例：求解无界偏微分方程
2??u2?u?hu,??a2?t?x??(h,u0为常数) ?ux?0?u0,??ut?0?0.??解：对该问题关于t取拉普拉斯变换，这样，原定界问题转化为含参数s的二阶
常系数线性齐次微分方程的边值问题：
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?d2Us?h?2U?0,??dx2a ?u0?U?,limU?0(为自然定解条件）.x?0?x??s?解此微分方程可得通解为
U(x,s)?c1es?hxa?c2e??s?hxa，其中c1，c2为常数
将边界条件Ux?0u0u，limU?0代入上式，可得c1?0，c2?0 x??sss?hxau?从而，U(x,s)?0es
方程两边取反演,从而原定解问题的解为
u(x,t)?2u0????x2ate?(?2?hx24a2?2)d?
4.3 多维偏微分方程的求解
利用多维拉普拉斯变换可以求解多维偏微分方程，多维拉普拉斯变换是一维拉普拉斯变换的拓展。
多维拉普拉斯变换的定义为[7]：
设n元函数f(t1,t2,?,tn)在t1?0,t2?0,...,tn?0上有定义，且积分
????????00?1?0f(t1,t2,?,tn)e?(s1t1?s2t2???sntn)dt1dt2?dtn
在Cn的某一区域内收敛((s1,s2,?n,sn)?Cn，Cn是n维复数域)，则此积分
f(t1,t2,?,tn)的n维拉普拉斯变换，记为
F(s1,s2,?,sn)?L[f(t1,t2,?,tn)]?L[f]????0????0f(t1,t2,?,tn)dt1dt2?dtn
称f(t1,t2,?,tn)为F(s1,s2,?,sn)的n维拉普拉斯逆变换。
多维拉普拉斯变换的性质及解题步骤跟一维情况相类似。 例：求解三维偏微分方程
??2u?2u?2u??u?2?2?2?0,?x?y?z??(x?0,y?0,z?0) ?ux?0?f1(y,z),uy?0?f2(x,z),uz?0?f3(x,y),??u?u??u?f(y,z),?f(x,z),4y?05z?0?f6(x,y).??xx?0?y?z?
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