目 录

引言................................................................ 1 1 拉普拉斯变换以及性质.............................................. 1 1.1 拉普拉斯变换的定义 .............................................. 1 1.2 拉普拉斯变换的性质 .............................................. 2 2 用拉普拉斯变换求解微分方程的一般步骤.............................. 2 3 拉普拉斯变换在求解线性微分方程中的应用............................ 3 3.1 初值问题与边值问题 .............................................. 3 3.2 常系数与变系数微分方程 .......................................... 4 3.3 含?函数的微分方程 .............................................. 4 3.4 常微分方程组 .................................................... 5 3.5 求解二阶常系数非齐次线性微分方程的特解 .......................... 6 4 拉普拉斯变换在求解偏微分方程中的应用.............................. 8 4.1 齐次与非齐次偏微分方程 .......................................... 8 4.2 有界问题与无界问题 .............................................. 9 4.3 多维偏微分方程的求解 ........................................... 11 结束语............................................................. 13 参考文献........................................................... 13 英文摘要........................................................... 14 致谢............................................................... 14

忻州师范学院物理系本科毕业论文（设计）

拉普拉斯变换在求解微分方程中的应用

物理系0801班 学 生 岳艳林

指导老师 韩新华

摘 要：拉普拉斯变换在求解微分方程中有非常重要的作用。本文以讨论拉普拉斯变

换在求解微分方程中的应用为目的，首先，介绍拉普拉斯变换的定义及性质；其次，给出拉普拉斯变换求解微分方程的一般步骤；随后，举例拉普拉斯变换在求解微分方程与典型偏微分方程中的应用；最后，总结拉普拉斯变换在求解微分方程中的优势以及局限性。

关键词：线性微分方程；特解；偏微分方程；多维拉普拉斯变换 引言

拉普拉斯变换在许多科学技术和工程领域有着广泛的应用，特别是在力学系统、电学系统、自动控制系统、可靠性系统以及随机服务系统等系统科学中都起着非常重要的作用。人们在研究这些系统时，往往是从实际问题出发，将研究的对象归结为一个数学模型，在许多场合下，这个数学模型是线性的。换句话说，它可以用线性的微分方程、微分积分方程乃至于偏微分方程等来描述。用拉普拉斯变换法去分析和求解这类线性方程是十分有效的，甚至是不可缺少的。

1 拉普拉斯变换以及性质 1.1 拉普拉斯变换的定义

设函数f(t)当t?0时有定义，而且积分

???0f(t)e?stdt(s是复参量)

在s的某一区域内收敛，则此积分所确定的函数可写为

F(s)????0f(t)e?stdt

我们称此式为函数f(t)的Laplace变换式。若F(s)是f(t)的Laplace变换，则称f(t)为F(s)的Laplace逆变换。

拉普拉斯变换是存在一定条件的，Laplace变换存在定理如下： 若函数f(t)满足下列条件：

（1）在t?0的任一有限区间上分段连续；

（2）当t???时,f(t)的增长速度不超过某一指数函数，亦即存在常数

M?0及c?0，使得f(t)?Mect(0?t???)成立。

1

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则f(t)的Laplace变换

F(s)????0f(t)e?stdt

在半平面Re(s)?c上一定存在，右端的积分在Re(s)?c1?c上绝对收敛且一致收敛，并且在Re(s)?c的半平面内，F(s)为解析函数[1]。 1.2 拉普拉斯变换的性质[1,2]

（1）线性性质 若?，?是常数，L[f1(t)]?F1(s)，L[f2(t)]?F2(s)，则 L[?f1(t)??f2(t)]??F1(s)+?F2(s) （2）微分性质 若L[f(t)]?F(s)，则

L[fn(t)]?snF(s)?sn?1f(0)?sn?2f?(0)?????sf(n?2)(0)?f(n?1)(0)

t1（3）积分性质 若L[f(t)]?F(s)，则L[?f(t)dt]?L[F(s)]

0s（4）位移性质 若L[f(t)]?F(s)，则L[eatf(t)]?F(s?a)(Re(s?a)?c) （5）延迟性质 若L[f(t)]?F(s)，且t?0时f(t)=0，则

对于任一非负实数?，L[f(t??)]?e?s?F(s)

（6）相似性性质 若L[f(t)]?F(s)，则L[f(at)]?1sF() aa（7）卷积性质 若L[f1(t)]?F1(s)，L[f2(t)]?F2(s)，则 L[f1(t)1?f2(t)]?F1(s)F2(s)

2 用拉普拉斯变换求解微分方程的一般步骤

像其他方法求解微分方程一样，应用拉普拉斯变换求解微分方程也有规范的步骤，其一般步骤如下：

（1）对线性微分方程中每一项取拉普拉斯变换，使微分方程变为象函数的代数方程；

（2）解象函数的代数方程，得到有关变量的拉普拉斯变换表达式，即象函数； （3）对象函数取拉普拉斯逆变换，得到微分方程的解。 流程图如下[3]：

2

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原函数

取拉普拉斯逆变换

象函数

解代数方程 取拉普拉斯变换

微分方程

象函数的代数方程

图2.1 拉普拉斯变换求解微分方程的流程图

3 拉普拉斯变换在求解线性微分方程中的应用

对于线性微分方程，无论是初值问题还是边值问题，无论是常系数微分方

程还是变系数微分方程以及含有?函数的微分方程和微分方程组，应用拉普拉斯变换求解比起其他解法具有不可替代的优越性。 3.1 初值问题与边值问题

例：求解初值问题y???4y??3y?e?t，y(0)?y?(0)?1。 解：设Y(s)?L[y(t)]，对方程两边同时取拉普拉斯变换，有

1 [s2Y(s)?sy(0)?y'(0)]?4[sY(s)?y(0)]?3Y(s)?

s?1 结合初始条件，得出象函数，整理展开成部分分式，有

s2?6s?6711131 Y(s)? ??????(s?1)2(s?3)4s?12(s?1)24s?3 对方程两边同时求反演，整理可得方程的解为

7131 y(t)?L?1[Y(s)]?e?t?te?t?e?3t?[(7?2t)e?t?3e?3t]

4244例：求解边值问题y???y?0，y(0)?0，y?(2?)?1。 解：设Y(s)?L[y(t)]，对方程两边同时取拉普拉斯变换，有 [s2Y(s)?sy(0)?y?(0)]?Y(s)?0

代入初始条件，得

y?(0)111Y(s)?2?y?(0)(?)

s?12s?1s?1求反演，得

y(t)?L?1[Y(s)]?1y?(0)(et?e?t)?y?(0)sinht 2

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