历届高考数学真题汇编专题4_数列_理(2007-2017) 下载本文

(1)若a?1,求数列?an?的通项公式; (2)若数列?an?唯一,求a的值.

15. (2017年高考湖南卷理科16)对于n?N,将n表示为

?n?a0?2k?a1?2k?1?a2?2k?2?????ak?1?21?ak?20,当i?0时,

ai?1,当1?i?k时,ai为0或1.记I?n?为上述表示中ai为0的个数(例如:1?1?20,

4?1?22?0?21?0?20,故I?1??0,I?4??2),则(1)I?12?? ;(2)

?2??? .

Inn?1127答案:I?12??2; ?2I?n??1093

n?1127解析:(1)由题意知12?1?23?1?22?0?21?0?20,所以I?12??2;

I(2)通过例举可知:

?1??0,I?2??1,I?4??2,I?8??3,I?16??4,I?32??5,I?64??6,

I?128??7,且相邻之间的整数的个数有0,1,3,7,15,31,63.它们正好满足“杨辉三角”

中的规律: 从而

I?n?0122?(1?1?1?1?1?1?1)?2?(1?2?3?4?5?6)?2?(1?3?6?10?15)?2 ?n?1127?(1?4?10?20)?23?(1?5?15)?24?(1?6)?25?1?26?1093.

评析:本小题主要考查学生的阅读理解能力、探究问题能力和创新意识.以二进制为知识背景,着重考查等比数列求和以及“杨辉三角”中的规律的理解和运用. 16. (2017年高考广东卷理科20)设b?0,数列?an?满足a1=b,an?(1) 求数列?an?的通项公式;

nban?1(n?2),

an?1?2n?2bn?1(2) 证明:对于一切正整数n,an?n?1?1

2

②当b?2时,An?

n. 2

?nbn(b?2),b?2? an??bn?2n?2,b?2?nbn(b?2)bn?1bn?1bn?2nn?n?1?1,只需证nb?(n?1?1) (2)当b?2时,(欲证an?) nnb?2b?222

(2n?1?bn?1bn?2n)?(2n?1?bn?1)(bn?1?2bn?2?b?2?2n?1)

?2n?1bn?1?2n?2bn?2?222?2b(?2?bbnn?22n?b2n?2b2n?1?b?) 2?2n?1bn?1

2nbnbn?1?n?n?n?1?b22

?2nbn(2?2??2)?2n?2nbn?n?2n?1bn,

nbn(b?2)bn?1?an?n?n?1?1.

b?2n2bn?1当b?2时,an?2?n?1?1.

2bn?1综上所述an?n?1?1.

2

17. (2017年高考湖北卷理科19)(本小题满分13分)

已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足:a1?a(a?0),an?1?rSn(n?N?,r?R,r??1) (Ⅰ)求数列{an}的通项公式;

(Ⅱ)若存在k?N?,使得Sk?1,Sk,Sk?2成等差数列,试判断:对于任意的m?N?,且m?2,

am?1,am,am?2是否成等差数列,并证明你的结论.

本小题主要考查等差数列、等比数列基础知识,同时考查推理论证能力,以及特殊与一般的思想. 解析:

(Ⅰ)由已知an?1?rSn,可得an?2?rSn?1,两式相减可得an?2?an?1?r(Sn?1?Sn)ran?1

即an?2?(r?1)an?1又a2?ra1?ra,所以当r?0时,数列{an}为:a,0,…,0,…; 当r?0,r??1时,由已知a?0,所以an?0(n?N?) 于是由an?2?(r?1)an?1,可得

an?2?r?1(n?N?), an?1?a2,a3.…,an,.…成等比数列,

当n?2时,an?r(r?1)n?2a 综上,数列{an}的通项公式为an???a,n?1 n?2r(r?1)a,n?2.?

18.(2017年高考重庆卷理科21)(本小题满分12分。(Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)小问7分) 设实数数列?an?的前n项和Sn满足Sn?1?an?1Snn?N* (Ⅰ)若a1,S2,?2a2成等比数列,求S2和a3 (Ⅱ)求证:对k?3有0?an?1?an???4。 32?S2??2a1a22解析:(Ⅰ)由题意?,得S2??2S2,

?S2?a2S1?a1a2由S2是等比中项知S2?0,因此S2??2, 由S2?a3?S3?a3S2,解得,a3?S22? S2?13 (Ⅱ)证明:有题设条件有an?1Sn?an?1?Sn, 故Sn?1,an?1?1,且an?1?Sna,Sn?n?1 Sn?1an?1?1