?1?lnx0?c①? ①设切点为P(x0，y0)，则?y0?x0lnx0②?y?cx?1③0?0由②③得，cx0?1?x0lnx0④

…… 2分

由①得lnx0?c?1代入④得，cx0?1?x0(c?1)

所以x0?1，c?1． …… 4分 ②由题意，得方程xlnx?cx?1有正实数根，

即方程lnx?1?c?0有正实数根，

x1， 记h(x)?lnx?1?c，令h?(x)?1?12?x?2xxxx 当0?x?1时，h?(x)?0；当x?1时，h?(x)?0； 所以h(x)在(0，1)上为减函数，在(1，+?)上为增函数；

所以h(x)min?h(1)?1?c． …… 6分 若c?1，则h(x)≥h(1)?1?c?0，不合； 若c?1，由①知适合；

?0， 若c?1，则h(1)?1?c?0，又h(ec)?c?1c?c?1eec??)上必有零点． 所以h(1)?h(ec)?0，由零点存在性定理知h(x)在(1，ec)?(0， 综上，c的取值范围为[1，+?)． …… 9分

（2）由题意得，当k≥2时，xklnx≥cx?1对于任意正实数x恒成立， 所以当k≥2时，c≤xk?1lnx?1对于任意正实数x恒成立，

x 由（1）知，lnx?1≥1，

x 两边同时乘以x得，xlnx?1≥x①， 两边同时加上

1得，xlnx?1?1≥x?1≥2②，

xxx高三数学试卷 第 13 页 共 17 页

所以xlnx?1≥1（*），当且仅当x?1时取等号．

x 对（*）式重复以上步骤①②可得，x2lnx?1≥1，

x 进而可得，x3lnx?1≥1，x4lnx?1≥1，……，

xx所以当k≥2，k?N*时，xk?1lnx?1≥1，当且仅当x?1时取等号．

x所以c≤1． …… 12分 当c取最大值1时，xklnx≥ax2?bx≥x?1对于任意正实数x恒成立， 令上式中x?1得， 0≥a?b≥0，所以a?b?0， 所以ax2?ax≥x?1对于任意正实数x恒成立， 即ax2?(a?1)x?1≥0对于任意正实数x恒成立， 所以a?0，所以函数y?ax2?(a?1)x?1的对称轴x?a?1?0， 2a所以??(a?1)2?4a≤0，即(a?1)2≤0，所以a?1，b??1． …… 14分 又由xk?2lnx?1≥1，两边同乘以x2得，xklnx?x≥x2，

x所以当a?1，b??1时，xklnx≥ax2?bx也恒成立，

综上，得a?1，b??1． …… 16分

数学Ⅱ（附加题）

21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内 作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A．[选修4—1：几何证明选讲]（本小题满分10分）

证明：因为EM＝EN，所以∠EMN＝∠ENM， …… 3分 E 因为ABCD为圆内接四边形，所以∠FCN＝∠A，…… 6分 又因为∠EMN＝∠AFM ＋∠A，

高三数学试卷 第 14 页 共 17 页

B C N D M A F

∠ENM＝∠BFM ＋∠FCN，

所以∠AFM＝∠BFM． …… 10分

B．[选修4—2：矩阵与变换]（本小题满分10分） ?ab?（1）解：设M???， cd???ab??1??3??ab???1???1?则有???1???3?，?cd??1???1?， …… 2分 cd?????????????a?b?3?c?d?3?21?? 故? 解得a?2，b?1，c?1，d?2，所以M???．…… 5分 12?a?b??1??????c?d?1?21???1???3????，知C?(?3，（2）由??3)， ????12???1???3??2?1??3?， …… 7分 易求M?1=?312?????33??2?1?uuuur?3??1??1?，得?=(?4，DC?2)． …… 10分 由?3， 所以D(1，?1)??????12??1???1?????33?

C．[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）

??x＝t，

解：直线l的参数方程? (t为参数)化为直角坐标方程是y＝x－3，…… 2分

?y＝t－3?

圆C的极坐标方程ρ＝4cos θ化为直角坐标方程是x2＋y2－4x＝0． …… 5分 圆C的圆心(2，0)到直线x－y－3＝0的距离为d＝又圆C的半径r＝2，

高三数学试卷 第 15 页 共 17 页

1

＝2． …… 7分 22

所以直线l被圆C截得的弦长为2r2－d2＝14． …… 10分

D．[选修4—5：不等式选讲]（本小题满分10分）

证明：因为(2x?2y?z)2?5(3xy?yz?zx)?15(x?y)2?1(x?y?2z)2≥0，…… 5分

44 所以(2x?2y?z)2≥5(3xy?yz?zx)， 又因为2x?2y?z?1，

所以3xy?yz?zx≤1． …… 10分

5

【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时 应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）

（1）解：记“该同学获得i个一等奖”为事件Ai，i?0，1， 则P?A0??(1?2)?(1?1)?(1?1)?(1?1)?1，

3222241P?A1??2?(1?1)3?(1?2)?C3?1?(1?1)2?5，

3232224

所以该同学至多有一门学科获得一等奖的概率为

P?A0??P?A1??1?5?1． …… 4分

24244 （2）随机变量X的可能取值为0，1，2，3，4，

P?X?0??P?A0??1，P?X?1??P?A1??5，

24241P?X?2??2?C3?1?(1?1)2?(1?2)?C32?(1)2?(1?1)?3，

32232283P?X?3??2?C32?(1)2?(1?1)?(1?2)?C3?(1)3?7，

3223224P?X?4??2?(1)3?1， 3212所以X的概率分布为

X 0 1 2 3 4 高三数学试卷 第 16 页 共 17 页