（1） 证明???????1,??????,j?1,2,,l?1,l?1,k

（2） 证明模型Ⅰ和Ⅱ的最小二乘残差相等 （3） 研究两个模型的可决系数之间的大小

关系 解答： （1）设

lljj?1X2?Y1????Y1X2???Y?,X???????Y?n??1X2nXk???,?1???????1????????Xk??,???2???????????,?X???????l??????????Xkn?,?k??k???n?,?Xl?1??2,?Xl??????,?Xln?,,,,12

则模型Ⅰ的矩阵形式为：Y?X??? 模型Ⅱ的矩阵形式为：Y?X?X????

取e??0,,0,1,0,,0??，其中1为e的第l个分量 则X?Xe

令Z?Y?X?Y?Xe，则模型Ⅱ又可表示为Z?X???? 又OLS得知，????X?X?X?Y，?????X?X?X?Z 将Z?Y?X?Y?Xe代入可得：

lllllll?1?1ll????X?X?X?Z??X?X?X??Y?Xe??l?1?1??X?X?X?Y??X?X?X?Xel??e??l?1?1

即

??????????0???1?11?????????????????????????????????1???1?1??l????l????????????????????0??k????k?????k???????

（2）由上述计算可得：

????Z?X?e??Z?Z??e??Y?Xel??X?l??Y?Y??Y?X??e??

（3）由（2）可知ESS?ESS? RSSTSS?ESSESS R???1?TSSTSSTSS2所以要比较R和R?，只需比较TSS和TSS?

22?TSS????Zi?Z??????Yi?Xli???Y?Xl??2222????Yi?Y???Xli?Xl??2?Yi?Y??Xli?Xl????22???Yi?Y?????Xli?Xl??2?Yi?Y??Xli?Xl????2?TSS????Xli?Xl??2?Yi?Y??Xli?Xl?????TSS?2(n?1)cov(Y,Xl)?(n?1)var(Xl)

所以，当var(X)?2cov(Y,X)时，TSS?大于TSS，则R??R；反之，R??R

3.4美国1970-1995年个人可支配收入和个人储蓄的数据见课本102页表格。

由于美国1982年遭受了其和平时期最大的衰退，城市失业率达到了自1948年以来的最高水平9.7%。试建立分段回归模型，并通过模型进一步验证美国在1970-1995年间储蓄-收入关系发生了一次结构变动。 解答：

22ll22建立模型为Y????X??D?X?2347.3???

其中Y为t年的个人储蓄，X为t年的个人可

t12t1ttttt当t?1982 支配收入，D??1,0,当t?1982t则E?Yt?1982?????X

t12tE?Ytt?1982????1?2347.3?1????2??1?Xt

Eviews代码： series d1=0 smpl 1982 1995 d1=1

smpl @all

ls sav c pdi d1*(pdi-2347.3)

?显著，所以美国在1970-1995年间储蓄-收

1入关系确实发生了一次结构变动 t?26?3??2.069

0.025