机械工程测试技术基础习题解答 第一章 信号的分类与描述
1-1 求周期方波（见图1-4）的傅里叶级数（复指数函数形式），划出|cn|–ω和φn–ω图，并与表1-1对比。
x(t) A … ?T0 20 -A T0 2T0 … t ?T0 图1-4 周期方波信号波形图
解答：在一个周期的表达式为
T0??A (??t?0)??2x(t)??.
? A (0?t?T0)??2
积分区间取（-T/2，T/2）
1cn?T0 =j
?T02T?02x(t)e?jn?0t1dt=T0?0T?02?Ae?jn?0t1dt+T0?T020Ae?jn?0tdtA(cosn?-1) (n=0, ?1, ?2, ?3, ?)n?
所以复指数函数形式的傅里叶级数为
x(t)?n????cne?jn?0t??j1(1?cosn?)ejn?0t，n=0, ?1, ?2, ?3, ?。 ??n???nA?
A?(1?cosn?)?cnI?? (n=0, ?1, ?2, ?3, ?) n????cnR?0
cn?cnR2?cnI2?2A n??1,?3,?,? A??(1?cosn?)??n? n??0 n?0,?2,?4,?6, ??
φn?arctancnIcnR?π??2n??1,?3,?5,???π??n??1,?3,?5,? ?2n?0,?2,?4,?6,??0??没有偶次谐波。其频谱图如下图所示。
|cn| 2A/π 2A/3π -3ω0 -ω0 ω0 2A/π 2A/3π 2A/5π 3ω0 5ω0 ω π/2 ω0 -5ω0 -3ω0 -ω0 -π/2 相频图
周期方波复指数函数形式频谱图
3ω0 5ω0 ω φn 2A/5π -5ω0 幅频图
1-2 求正弦信号x(t)?x0sinωt的绝对均值μx和均方根值xrms。 解
2x1T1Tμx??x(t)dt??x0sinωtdt?0T0TT答：
20?T2Txxx2?sinωtdt??cosωt0? 0TωTωπ2x0T
xrms1T21T22?x(t)dt?x0sinωtdt???00TT?T0x1?cos2ωtdt?0 22 1-3 求指数函数x(t)?Ae?at(a?0,t?0)的频谱。 解答：
X(f)??x(t)e????j2?ftdt??Aee0??at?j2?fte?(a?j2?f)tdt?A?(a?j2?f)?0?AA(a?j2?f)?2a?j2?fa?(2?f)2
X(f)?ka?(2?f)22 ?(f)?arctanImX(f)2?f ??arctanReX(f)aφ(f) A/a π/2 |X(f)| 0 0 f -π/2 f 单边指数衰减信号频谱图
1-4 求符号函数(见图1-25a)和单位阶跃函数(见图1-25b)的频谱。
sgn(t) 1 0 -1 a)符号函数
图1-25 题1-4图
b)阶跃函数
t u(t) 1 0 t
a)符号函数的频谱
??1t?0x(t)?sgn(t)??
?1t?0? t=0处可不予定义，或规定sgn(0)=0。
该信号不满足绝对可积条件，不能直接求解，但傅里叶变换存在。 可以借助于双边指数衰减信号与符号函数相乘，这样便满足傅里叶变换的条件。先求此乘积信号x1(t)的频谱，然后取极限得出符号函数x(t)的频谱。
x1(t)?e?at?e?atsgn(t)??at??ea?0t?0t?0
x(t)?sgn(t)?limx1(t)
X1(f)??x1(t)e?j2?ftdt???eate?j2?ftdt??e?ate?j2?ftdt??j????0?0?4?f 22a?(2?f)X(f)?F?sgn(t)??limX1(f)??ja?01 ?fX(f)?1 ?f?????(f)??2?????2f?0
f?0x1(t) 1
|X(f)| φ(f) π/2 0
t
0 -1
0 f -π/2 f x1(t)?e?atsgn(t)符号函数
符号函数频谱
b)阶跃函数频谱
?1t?0u(t)??
?0t?0在跳变点t=0处函数值未定义，或规定u(0)=1/2。
阶跃信号不满足绝对可积条件，但却存在傅里叶变换。由于不满足绝对可积条件，不能直接求其傅里叶变换，可采用如下方法求解。 解法1：利用符号函数