精品文档

第一章 解三角形 1.1.1 正弦定理

一、教学目标

1.核心素养

通过学习正弦定理,初步形成基本的数学抽象和逻辑推理能力. 2.学习目标

（1）通过特殊三角形,了解三角形的边与角的对应关系. （2）能证明正弦定理.

（3）应用正弦定理解决三角形相应问题. 3.学习重点

理解正弦定理,会用正弦定理解两类三角形问题. 4.学习难点

正弦定理的证明与三角形解的个数的判断.

二、教学设计

（一）课前设计 1.预习任务 任务1

阅读教材P1－P4.

思考:正弦定理的内容是什么?你还有哪些方法可以证明正弦定理?正弦定理有哪些应用? 任务2

默写正弦定理的具体内容,查阅三角形面积的计算公式并进行整理. 2.预习自测

1.在一个三角形中,各边和它对角的（ ）的比相等. A.正弦 B.余弦 C.正切 D.角度 答案:A.

.

精品文档

解析:考查正弦定理的定义: 一个三角形中,各边和所对角的正弦之比相等,且该比值等于该三角形 外接圆的直径长度.

2.下列各式可以表示△ABC的面积的是（ ） 1

A.2absinA 1

B.2absinB 1

C.2absinC D.absinC 答案:C.

111abc解析:考查三角形面积公式,S＝2absinC＝2acsinB＝2bcsinA＝4R. a3.在正弦定理中sinA的值表示△ABC的（ ） A.内切圆半径 B.内切圆直径 C.外接圆半径 D.外接圆直径 答案:D.

解析:一个三角形中,各边和所对角的正弦之比相等,且该比值等于该三角形外接圆的直径长度. （二）课堂设计 1.知识回顾

（1）三角形内角和为180o.

（2）三角形中两边之和大于第三边,两边之差小于第三边. （3）在三角形中大边对大角.

（4）三角形的面积:S＝aha?bhb?chc（其中ha,hb,hc分别为边a,b,c上的高）. （5）我们预习本课的正弦定理是什么?有哪些方法可以证明呢? 2.问题探究

问题探究一 直角三角形的边角有哪些关系? ●活动一 回顾旧知,回忆边角关系

121212.

精品文档

在初中,我们已经学习过如何解直角三角形,那么在直角三角形中的边角关系有哪些呢?

通过作出直角三角形,寻找直角三角形中的边角关系. 在直角三角形中,若C为直角,锐角A的正弦sinA＝●活动二 整合旧知,探求边角新关系 结合三角函数,你有哪些与众不同的发现? 在以上直角△ABC中,根据正弦函数的定义有:

sinA?ababc,sinB?,sinC?1,即c?,c?,c?. ccsinAsinBsinC对边ab=.同理,sinB＝. 斜边cc∴

abc. ??sinAsinBsinC问题探究二 上述边角关系对任意三角形都成立吗?试证明. 重点、难点知识★▲ ●活动一 大胆猜想,几何画板来帮忙 我们猜想在任意三角形中,都有

cab＝＝. sinAsinBsinC为提高直观认识,我们先利用几何画板先作出一个三角形,度量出三个内角大小及三边的长度, 分别计算

abc的值,并观察三个值的关系. ,,sinAsinBsinC然后,再改变三角形形状,再观察三个比值的变化情况. 可以看到,不论三角形如何变化,

cab＝＝. sinAsinBsinC●活动二 集思广益,证明正弦定理 你能在一般的三角形中证明

cab＝＝这个结论吗? sinAsinBsinC在锐角△ABC中,你能找出asinB,bsinA表示的具体线段吗?它们的几何意义是什么?

.

精品文档

CADB

在锐角△ABC中,asinB,bsinA表示的线段都是AB边上的高CD. 因而,有asinB＝bsinA,则

abcab,同理,我们可以得到＝＝. ?sinAsinBsinCsinAsinB在钝角三角形中是否也能用类似方法证明呢?

CABD

不妨设∠B为钝角,如图,CD?asin?180o?B??bsinA,因而,有asinB?bsinA,则

ba＝, sinAsinB同理,我们可以得到

cab＝＝. sinAsinBsinCcab＝＝. sinAsinBsinC正弦定理:对于任意的一个三角形,都有●活动三 反思过程,发现面积新公式

结合asinB,bsinA的几何意义,你能不能得到三角形的面积公式的另外一种形式? 由以上探究活动,asinB,bsinA的几何意义为AB边上的高CD,则由三角形面积

111S?aha?bhb?chc, 22211111有S?chc?acsinB,或S?chc?bcsinA,以此类推,还有S?absinC.

22222111所以S?absinC?acsinB?bcsinA.

222●活动四 利用外接圆,重新认识正弦定理 结合△ABC的外接圆,试探究

a的几何意义. sinA.