当a＜0时，函数f（x）的单调递增区间为（∞，

），（﹣

，+∞）；

，﹣），函数f（x）的单调递减区间为（﹣

（2）当a≤0时，由（1）可知，f（x）在区间[1，2]是减函数， 由f（2）=4得

，（不符合舍去），

2

当a＞0时，f′（x）=3ax﹣3=0的两根x=①当

，

，即a≥1时，f′（x）≥0在区间[1，2]恒成立，f（x）在区间[1，2]是增函数，由

f（1）≥4得a≥7； ②当

，即

时 f′（x）≤0在区间[1，2]恒成立 f（x）在区间[1，2]是减函数，

（不符合舍去）； ，即

时，f（x）在区间[1，

）≥4无解．

]是减函数，f（x）在区间[

，2]

f（2）≥4，a③当1

是增函数；所以f（

综上，a≥7．

点评： 本题考查的是导数知识，重点是利用导数判断函数的单调性，难点是分类讨论．对学生的能力要求较高，属于难题． 17．（14分）某实验室某一天的温度（单位：°C）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系：f（t）=9﹣

t，t∈[0，24）．

（1）求实验室这一天里，温度降低的时间段；

（2）若要求实验室温度不高于10°C，则在哪段时间实验室需要降温？

考点： 两角和与差的正弦函数． 专题： 计算题；应用题；三角函数的求值． 分析： （1）利用两角和差的正弦公式化简函数解析式为f（t）=9﹣2sin（

），t∈[0，

24），利用正弦函数的单调减区间，即可得到；

（2）由题意可得，令f（t）≤10时，不需要降温，运用正弦函数的性质，解出t，再求补集即可得到．

解答： 解：（1）f（t）=9﹣则f（t）=9﹣2（=9﹣2sin（

），

）

t，t∈[0，24），

令2k2k，解得24k+2≤t≤24k+14，k为整数，

由于t∈[0，24），则k=0，即得2≤t≤14．

则有实验室这一天里，温度降低的时间段为[2，14]； （2）令f（t）≤10，则9﹣2sin（即有sin（则﹣

）

，

， ）≤10，

解得24k﹣6≤t≤24k+10，k为整数， 由于t∈[0，24），则得到0≤t≤10或18≤t＜24， 故在10＜t＜18，实验室需要降温． 点评： 本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象特征，两角和差的正弦公式，正弦函数的定义域和值域，三角不等式的解法，属于中档题． 18．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知四边形OABC是等腰梯形，

，点，M满足

如图． （1）求∠OCM的余弦值； （2）是否存在实数λ，使范围，若不存在，请说明理由．

，若存在，求出满足条件的实数λ的取值，点P在线段BC上运动（包括端点），

考点： 数量积判断两个平面向量的垂直关系；数量积表示两个向量的夹角． 专题： 平面向量及应用． 分析： （1）由题意求得 运算求得结果． （2）设

，其中1≤t≤5，由

，得

，

、的坐标，再根据cos∠OCM=cos＜

，＞=

，

可得（2t﹣3）λ=12．再根据t∈[1，）∪（，5]，求得实数λ的取值范围．

解答： 解：（1）由题意可得

，

，

故cos∠OCM=cos＜，＞==．

（2）设，其中1≤t≤5，，．

若则

即12﹣2λt+3λ=0， 可得（2t﹣3）λ=12． 若若

，则λ不存在， ，则

， ，

，

∵t∈[1，）∪（，5]， 故

．

点评： 本题主要考查用数量积表示两个两个向量的夹角，两个向量垂直的性质，属于中档题．

19．（16分）已知函数f（x）=x+（x﹣1）?|x﹣a|． （1）若a=﹣1，解方程f（x）=1；

（2）若函数f（x）在R上单调递增，求实数a的取值范围； （3）若函数f（x）在[2，3]上的最小值为6，求实数a的值．

考点： 利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断． 专题： 计算题；导数的综合应用．

22

分析： （1）化方程f（x）=1可化为x+（x﹣1）?|x+1|=0，即2x﹣1=0（x≥﹣1）或1=0（x＜﹣1），从而求解； （2）f（x）=x+（x﹣1）?|x﹣a|=

2

2

，则，从而求a；

（3）讨论a的不同取值，从而确定实数a的值．

2

解答： 解：（1）若a=﹣1，则方程f（x）=1可化为x+（x﹣1）?|x+1|=0，

2

即2x﹣1=0（x≥﹣1）或1=0（x＜﹣1）， 故x=

或x=﹣

；

（2）f（x）=x+（x﹣1）?|x﹣a|=则若使函数f（x）在R上单调递增， 则

，

2

，

则a≥1；

（3）若a≥3，则f（x）=（a+1）x﹣a，x∈[2，3]， 则函数f（x）在[2，3]上的最小值为6，可化为 2（a+1）﹣a=6，则a=4；

若1≤a＜3，则f（x）在[2，3]上单调递增， 则2（a+1）﹣a=6，则a=4无解， 若a＜1，

2

＜1，

则f（x）=x+（x﹣1）?|x﹣a|在[2，3]上单调递增，

2

则2?2﹣（1+a）2+a=6， 解得，a=0．

综上所述，a=0或a=4． 点评： 本题考查了函数导数的综合应用，同时考查了分类讨论的数学思想，属于中档题． 20．（16分）已知函数f（x）=lnx﹣x+a有且只有一个零点，其中a＞0． （1）求a的值；

2

（2）若对任意的x∈（1，+∞），有（x+1）f（x）+x﹣2x+k＞0恒成立，求实数k的最小值； （3）设h（x）=f（x）+x﹣1，对任意x1，x2∈（0，+∞）（x1≠x2），证明：不等式

恒成立．

考点： 利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理． 专题： 计算题；证明题；选作题；导数的综合应用．

分析： （1）f′（x）=﹣1，则函数f（x）=lnx﹣x+a在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，由题意，f（x）的最大值等于0，从而解出a；

2

（2）化简（x+1）f（x）+x﹣2x+k＞0为k＞2x﹣xlnx﹣lnx﹣1，从而将恒成立问题转化为求函数g（x）=2x﹣xlnx﹣lnx﹣1在[1，+∞）上的最值问题；利用导数可得g′（x）=2﹣lnx﹣1﹣=

，再令m（x）=x﹣xlnx﹣1并求导m′（x）=1﹣lnx﹣1=﹣lnx，从而

判断g（x）在（1，+∞）上的单调性，最终求出函数g（x）=2x﹣xlnx﹣lnx﹣1在[1，+∞）上的最值问题，则k≥g（1）=2﹣0﹣0﹣1=1，从而求实数k的最小值； （3）化简h（x）=f（x）+x﹣1=lnx，则对任意x1，x2∈（0，+∞）（x1≠x2），

恒成立可化为对任意x1，x2∈（0，+∞）（x1≠x2），