考点： 函数奇偶性的性质． 专题： 函数的性质及应用；导数的概念及应用． 分析： 本题可构造函数
（x≠0），利用f′（x）相关不等式得到函数g（x）
的单调性，由函数f（x）是的奇偶性得到函数g（x）的奇偶性和图象的对称性，由f（3）=0得到函数g（x）的图象过定点，再将不等式f（x）≥0转化为关于g（x）的不等式，根据g（x）的图象解不等式，得到本题结论． 解答： 解：记
（x≠0），
则．
∵当x＜0时，xf′（x）＜f（x），
∴当x＜0时，g′（x）＜0， ∴函数g（x）在（﹣∞，0）上单调递减． ∵函数f（x）是定义在R上的奇函数， ∴
∴函数g（x）是定义在R上的偶函数， ∴函数g（x）的图象关于y轴对称， ∴函数g（x）在（0，+∞）上单调递增． ∵f（3）=0， ∴g（3）=
，
，
∴函数g（x）的图象过点（3，0）和（﹣3，0）． ∵不等式f（x）≥0， ∴xg（x）≥0， ∴
或
，
∴﹣3＜x＜0或x＞3． ∴不等式f（x）≥0的解集是{x|﹣3＜x＜0或x＞3}． 故答案为：{x|﹣3＜x＜0或x＞3}． 点评： 本题考查了函数的奇偶性、对称性、导数和单调性，本题难度不大，属于基础题．
12．如图，△ABC中，延长CB到D，使BD=BC，当E点在线段AD上移动时，若
，则t=λ﹣μ的最大值是 3 ．
考点： 平面向量的基本定理及其意义． 专题： 平面向量及应用． 分析：
共线，所以存在实数k使
表示
为：
，根据向量的加法和减法以及，所以又可以用
表示
为：
B是CD中点，可用
=
所以最大值是3． 解答： 解：设又∴
；
；
，所以根据平面向量基本定理得：，λ﹣μ=3k≤3，
==，0≤k≤1；
∴t=λ﹣μ=3k，0≤k≤1； ∴k=1时t取最大值3． 即t=λ﹣μ的最大值为3． 故答案为：3． 点评： 考查共线向量基本定理，向量的加法、减法运算，以及平面向量基本定理．
13．已知函数f（x）=|x+x﹣2|，x∈R．若方程f（x）﹣a|x﹣2|=0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为 （0，1） ．
考点： 根的存在性及根的个数判断． 专题： 计算题；数形结合；函数的性质及应用． 分析： 由y=f（x）﹣a|x﹣2|=0得f（x）=a|x﹣2|，显然x=2不是方程的根，则a=|
|，
2
令x﹣2=t，则a=|t++5|有4个不相等的实根，画出y=|t++5|的图象，利用数形结合即可得到结论．
解答： 解：方程f（x）﹣a|x﹣2|=0， 即为f（x）=a|x﹣2|，
2
即有|x+x﹣2|=a|x﹣2|， 显然x=2不是方程的根， 则a=|
|，
令x﹣2=t，则a=|t++5|有4个不相等的实根，画出y=|t++5|的图象，如右图： 在﹣4＜t＜﹣1时，t++5≤﹣2
+5=1．
则要使直线y=a和y=|t++5|的图象有四个交点，则a的范围是（0，1）， 故答案为：（0，1）．
点评： 本题主要考查函数零点个数的应用，利用数形结合是解决本题的关键，属于中档题．
14．若函数f（x）=x﹣e﹣ax在R上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是 （﹣∞，2ln2） ．
考点： 利用导数研究函数的单调性． 专题： 函数的性质及应用；导数的综合应用．
xx
分析： 根据题意可得a＜2x﹣e有解，转化为g（x）=2x﹣e，a＜g（x）max，利用导数求出最值即可．
解答： 解：∵函数f（x）=x﹣e﹣ax，
x
∴f′（x）=2x﹣e﹣a，
2x
∵函数f（x）=x﹣e﹣ax在R上存在单调递增区间，
x
∴f′（x）=2x﹣e﹣a＞0，
x
即a＜2x﹣e有解，
x
令g′（x）=2﹣e，
x
g′（x）=2﹣e=0，x=ln2，
x
g′（x）=2﹣e＞0，x＜ln2，
x
g′（x）=2﹣e＜0，x＞ln2 ∴当x=ln2时，g（x）max=2ln2﹣2， ∴a＜2ln2﹣2即可． 故答案为：（﹣∞，2ln2） 点评： 本题考察了导数在解决函数最值，单调性，不等式成立问题中的应用，属于难题．
二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（14分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinB﹣bcosA=0． （1）求角A的大小； （2）若a=1，b=，求△ABC的面积．
考点： 正弦定理；余弦定理． 专题： 解三角形．
分析： （1）已知等式利用正弦定理化简，由sinB不为0求出tanA的值，即可确定出A的度数；
2
x
2
x
（2）由余弦定理列出关系式，把a，b，cosA的值代入求出c的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积． 解答： 解：（1）已知等式asinB﹣bcosA=0，利用正弦定理化简得：sinAsinB﹣sinBcosA=0， ∵sinB≠0，∴tanA=则A=30°；
（2）由余弦定理得：a=b+c﹣2bccosA，即1=3+c﹣3c， 解得：c=1或c=2，
当c=1时，S△ABC=bcsinA=×当c=2时，S△ABC=bcsinA=×
×1×=×2×=
； ．
2
2
2
2
，
点评： 此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．
16．（14分）已知函数f（x）=ax﹣3x． （1）求函数f（x）单调区间；
（2）若在区间[1，2]上，f（x）≥4恒成立，求实数a的取值范围．
考点： 利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题． 专题： 导数的综合应用．
32
分析： （1）a=0时，函数是减函数；a≠0时，由f（x）=ax﹣3x（a≠0）?f′（x）=3ax
2
﹣3=3（ax﹣1），分a＞0与a＜0讨论，通过f′（x）的符号即可求得函数f（x）的单调区间；
（2）利用导数判断函数的单调性，从而得出函数在闭区间上的最小值，即得到参数的一个方程，从而求出参数． 解答： 解：（1）a=0时，f（x）=﹣3x， ∴f（x）的单调减区间是R； 当a≠0时，
3
∵f（x）=ax﹣3x，a≠0，
22
∴f′（x）=3ax﹣3=3（ax﹣1）， ∴当a＞0时， 由f′（x）＞0得：x＞由f′（x）＜0得：﹣
当a＜0时，由f′（x）＞0得：由f′（x）＜0得：x＜
或x＞﹣
；
），（
，+∞）；函数f（x）的单
或x＜﹣
，
，
3
∴当a＞0时，函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣调递减区间为（﹣
，
），）；