江苏省常州市武进区2015届高三上学期期中考试数学理试

题（解析版）

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应的位置上）

1．已知全集U=R，A={x|x≤0}，B={x|x≥2}，则集合?U（A∪B）= {x|0＜x＜2} ．

考点： 交、并、补集的混合运算． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 本题可以先求根据集合A、B求出集合A∪B，再求出集合（A∪B），得到本题结论． 解答： 解：∵A={x|x≤0}，B={x|x≥2}， ∴A∪B={x|x≤0或x≥2}， ∴?U（A∪B）={x|0＜x＜2}． 故答案为：{x|0＜x＜2}． 点评： 本题考查了集合的并集运算和集合的交集，本题难度不大，属于基础题．

2．函数y=sin

xcos

x的最小正周期是 2 ．

考点： 三角函数的周期性及其求法． 专题： 三角函数的图像与性质．

分析： 利用二倍角的正弦公式可得函数f（x）=sinπx，再根据函数y=Asin（ωx+φ）的周期性可得结论． 解答： 解：∵函数y=sin

xcos

x=sinπx，故函数的最小正周期是

=2，

故答案为：2． 点评： 本题主要考查二倍角的正弦公式、函数y=Asin（ωx+φ）的周期性，属于基础题．

3．已知向量

与

共线，则实数x的值为 1 ．

考点： 平面向量共线（平行）的坐标表示． 专题： 平面向量及应用． 分析： 根据向量平行的坐标表示，求出x的值即可． 解答： 解：∵向量∴2（3x﹣1）﹣4×1=0， 解得x=1； ∴实数x的值为1． 故答案为：1．

与

共线，

点评： 本题考查了平面向量的坐标表示的应用问题，解题时应熟记公式，以便进行计算，是基础题． 4．△ABC中，角A，B的对边分别为a，b，则“A＞B”是“a＞b”的 充要 条件（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”）．

考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断． 专题： 解三角形；简易逻辑．

分析： 运用三角形中的正弦定理推导，判断答案． 解答： 解：∵△ABC中，角A，B的对边分别为a，b，a＞b， ∴根据正弦定理可得：2RsinA＞2RsinB，sinA＞sinB， ∴A＞B 又∵A＞B，∴sinA＞sinB，2RsinA＞2RsinB，即a＞b， ∴根据充分必要条件的定义可以判断：“A＞B”是“a＞b”的充要条件， 故答案为：充要

点评： 本题考查了解三角形，充分必要条件的定义，属于中档题．

5．已知f（sinα+cosα）=sin2α，则

的值为 ﹣ ．

考点： 同角三角函数基本关系的运用． 专题： 三角函数的求值．

2

分析： 令sinα+cosα=t，可得 sin2α=t﹣1，﹣（ ） 的值．

≤t≤． 可得f（t）=t﹣1，从而求得 f

2

解答： 解：令sinα+cosα=t，平方后化简可得 sin2α=t﹣1，再由﹣1≤sin2α≤1，可得﹣≤t≤．

2

再由 f（sinα+cosα）=sin2α，可得 f（t）=t﹣1， ∴f（）=

﹣1=﹣

．

，

2

故答案为：﹣

点评： 本题主要考查用换元法求函数的解析式，注意换元中变量取值范围的变化，属于基础题．

6．设曲线y=ax﹣ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x，则a= 3 ．

考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程． 专题： 计算题；导数的概念及应用． 分析： 根据导数的几何意义，即f′（x0）表示曲线f（x）在x=x0处的切线斜率，再代入计算．

解答： 解：y=ax﹣ln（x+1）的导数

，

由在点（0，0）处的切线方程为y=2x， 得

，

则a=3．

故答案为：3． 点评： 本题是基础题，考查的是导数的几何意义，这个知识点在高考中是经常考查的内容，一般只要求导正确，就能够求解该题．在高考中，导数作为一个非常好的研究工具，经常会被考查到，特别是用导数研究最值，证明不等式，研究零点问题等等经常以大题的形式出现，学生在复习时要引起重视． 7．若sin（

﹣θ）=，则cos（

+2θ）的值为 ﹣ ．

考点： 两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数． 专题： 计算题；三角函数的求值． 分析： 首先运用解答： 解：由于sin（则cos（则有cos（=2cos（

2

的诱导公式，再由二倍角的余弦公式：cos2α=2cosα﹣1，即可得到． ﹣θ）=， ﹣θ）=，

+θ）

2

2

+θ）=sin（

+2θ）=cos2（

+θ）﹣1=2×（）﹣1=﹣．

故答案为：﹣．

点评： 本题考查诱导公式和二倍角的余弦公式及运用，考查运算能力，属于中档题．

8．△ABC中，AB=AC，BC的边长为2，则

考点： 平面向量数量积的运算． 专题： 平面向量及应用． 分析： 根据数量积的定义和三角函数判断求解． 解答： 解：在△ABC中，BC=2，AB=AC， 设AB=AC=x，则2x＞2，x＞1， ∴cosB=所以

=， =4xcosB=4x

=4．

的值为 4 ．

故答案为4． 点评： 本题利用向量为载体，考察函数的单调性，余弦定理，三角形中的边角关系．

9．若将函数f（x）=sin（2x+φ的最小正值是 ．

）的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则

考点： 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 专题： 三角函数的图像与性质． 分析： 根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得所得图象对应的函数解析式为y=sin（2x+

﹣2φ），再根据所得图象关于y轴对称可得

﹣2φ=kπ+

，k∈z，由此求得φ的

最小正值．

解答： 解：将函数f（x）=sin（2x+

）的图象向右平移φ个单位，

]=sin（2x+

﹣2φ）关于y轴对称，

，

所得图象对应的函数解析式为y=sin[2（x﹣φ）+则

﹣2φ=kπ+

．

，k∈z，即 φ=﹣

﹣

，故φ的最小正值为

故答案为：

点评： 本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，属于中档题．

10．已知函数f（x）=

考点： 函数的值． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 由f（x）+f（1﹣x）=+…+f（

）的值．

， +）+…+f（

=3， ）=5×3=15． +

=3，能求出f（

）+f（

）+f（

）

，则f（

）+f（

）+f（

）+…+f（

）= 15 ．

解答： 解：∵f（x）=∴f（x）+f（1﹣x）=∴f（

）+f（

）+f（

故答案为：15． 点评： 本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．

11．函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（3）=0，且x＜0时，xf′（x）＜f（x），则不等式f（x）≥0的解集是 {x|﹣3＜x＜0或x＞3} ．