21．（本题满分10分）
如图，AH是△ABC的高，D是边AB上一点，CD与AH交于点E.已知AB=AC=6，cosB=AD∶DB=1∶2.
（1）求△ABC的面积； （2）求CE∶DE.
2， 3
21. 解：（1）由AB=AC=6，AH⊥BC，
得BC=2BH.—————————————————————————（2分） 在△ABH中，AB=6，cosB=
得BH=
2，∠AHB=90°， 32?6?4，AH=62?42?25，————————————（2分） 31?25?8?85.——————————————（1分） 2 则BC=8，
所以△ABC面积=
（2）过D作BC的平行线交AH于点F，———————————————（1分）
由AD∶DB=1∶2，得AD∶AB=1∶3， 则
CECHBHAB3????. ——————————————（4分） DEDFDFAD1金山区
21．（本题满分10分，每小题5分）
如图5，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AE=BC，DF⊥AE，垂足为F．
（1）求证：AF=BE；
（2）如果BE∶EC=2∶1，求∠CDF的余切值．
B
图5 F
E
C
A
D
21．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AD∥BC，∠B=90°，
∴∠DAF=∠AEB，……………………………………………………………………（1分）
∵AE=BC，DF⊥AE，∴AD=AE，∠ AFD=∠EBA=90°，………………………（2分） ∴△ADF≌△EAB，∴AF=EB，………………………………………………………（2分）
（2）设BE=2k，EC=k，则AD=BC=AE=3k，AF=BE=2k，…………………………（1分）
∵∠ADC=90°，∠AFD=90°，∴∠CDF+∠ADF=90°，∠DAF+∠ADF=90°， ∴∠CDF=∠DAF…………………………………………………………………（2
分）
在Rt△ADF中，∠AFD=90°，DF=AD2?AF2?5k
∴cot∠CDF=cot∠DAF=
AF2k25．………………………………（2分） ??DF55k静安区
21．（本题满分10分，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分5分）
已知：如图，边长为1的正方形ABCD中，AC 、DB交于点H．DE平分∠ADB，交AC于点E．联结BE并延长，交边AD于点F． （1）求证：DC=EC； （2）求△EAF的面积．
B A E H 第21题图
F D C
21．（本题满分10分, 第（1）小题5分，第（2）小题5分）
解：（1）∵正方形ABCD，
∴DC=BC=BA=AD, ∠BAD=∠ADC=∠DCB=∠CBA=90° AH=DH=CH=BH, AC⊥BD,
∴∠ADH=∠HDC=∠DCH=∠DAE= 45°． …………（2分） 又∵DE平分∠AD B ∴∠ADE=∠EDH
∵∠DAE+∠ADE=∠DEC, ∠EDH+∠HDC=∠EDC…………（1分） ∴∠EDC=∠DEC …………（1分） ∴DC=EC …………（1分） （2）∵正方形ABCD，∴AD∥BC, ∴△AFE∽△CBE ∴
B A E H 第21题图
F D C S?AEFAE2?() ………………………………（1分） S?CEBEC∵AB=BC=DC=EC=1，AC=2,∴AE=2?1 …………………………（1分）
Rt△BHC中， BH=
22BC=, 22122?1?? ……………………（2分） 224232?4?(3?22)?…………（1分） 44∴在△BEC中，BH⊥EC, S?BEC?∴
S?AEF24?(2?1)2, ∴S?AEF?闵行区
21．（本题满分10分，其中第（1）小题4分，第（2）小题6分）
已知一次函数y??2x?4的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，以AB为边在第一象限内作直角三角形ABC，且∠BAC = 90o，tan?ABC?（1）求点C的坐标；
1． 2y B C O A x （2）在第一象限内有一点M（1，m），且点M与点
C位于直线AB的同侧，使得2S?ABM?S?ABC， 求点M的坐标．
21．解：（1）令y?0，则?2x?4?0，解得：x?2，∴点A坐标是（2，0）．
令x?0，则y?4，∴点B坐标是（0，4）．………………………（1分） ∴AB?OA2?OB2?22?42?25．………………………………（1分） ∵?BAC?90，tan?ABC?1，∴AC?5． 2过C点作CD⊥x轴于点D，易得?OBA∽?DAC．…………………（1分） ∴AD?2，CD?1，∴点C坐标是（4，1）．………………………（1分） （2）S?ABC?11AB?AC??25?5?5．………………………………（1分） 225∵2S?ABM?S?ABC，∴S?ABM?．……………………………………（1分）
2∵M(1，m)，∴点M在直线x?1上；
令直线x?1与线段AB交于点E，ME?m?2；……………………（1分） 分别过点A、B作直线x?1的垂线，垂足分别是点F、G，
∴AF+BG = OA = 2；……………………………………………………（1分）
111∴S?ABM?S?BME?SAME?ME?BG?ME?AF?ME(BG?AF)
222115?ME?OA??2?ME?…………………（1分） 2225599∴ME?，m?2?，m?，∴M(1，）．……………………（1分）
2222普陀区
21．（本题满分10分）
?C?90， 如图7，在Rt△ABC中，点D在边BC上，点E为垂足，AB?7，DE⊥AB，?DAB?45，tanB?（1）求DE的长； （2）求?CDA的余弦值．
A
E 图7
B
3. 4C
D