12． 真空中一个半径为R的球面均匀带电，面电荷密度为??0，在球心处有一个带电量为?q的点电荷。取无限远处作为参考点，则球内距球心r的P点处的电势为
?R。
4??0r?0q?13． 半径为R1的均匀带电球面S1，带电量为q1，其外有一同心的半径为R2的均匀带电球面S2，带电量为q2，则两球面间的电势差为
q14??0(11?)。 R1R2???RO14．两段形状相同的圆弧如图所示对称放置，圆弧半径为R， 圆心角为?，均匀带电，线密度分别为??和??，则圆心O
?sin点的场强大小为
???2。电势为 0 。 ??0R（提示：场强和电势分别利用微元积分计算...）
15．在平行板电容器C0的两板间平行地插入一厚度为两极板
?1d1距离一半的金属板，则电容器的电容C?2C0。
?2d216．平行板电容器极板面积为S、充满两种介电常数分别为?1和?2的均匀介质，则该电容器的电容为C =
?1?2S。
?1d2??2d117． 半径分别为R和r的两个弧立球形导体（R>r），它们的电容之比CR/Cr为R/r，若用一根细导线将它们连接起来，并使两个导体带电，则两导体球表面电荷面密度之比?R/?r为r/R。（提示：两个导体球连接，电势相等...）
18．一平行板电容器，极板面积为S，极板间距为d，充满介电常数为?的均匀介质，接在电源上，并保持电压恒定为U，则电容器中静电能W0??S2dU2 ；若将极板间距拉大一倍，
那么电容器中静电能W?三、计算题
?S4dU2。
1． 长L?15cm的直导线AB上均匀地分布着线密度为??5?10C/m的电荷。求在导线的延长线上与导线一端B相距d=5cm处P点的场强。
?9解：建立如图所示的坐标系，在导线上取电荷元?dx。 电荷元?dx在P点所激发的场强方向如图所示， 场强大小为:dEP?1?dx24??0(L?d?x)
oAxdxBPxLddEP导线上电荷在P点所激发的总场强方向沿x轴正方向，大小为
EP??dEP???L1?dx
04??0(L?d?x)2?1111(?)?9?109?5?10?9(?)?675(V/m)4??0dd?L0.050.202．一个半径为R的均匀带电半圆环，电荷线密度为?，求环心处O的场强E。 dq解：电荷元dq产生的场为：dE?； 24??0R?Ydq?d?o根据对称性有：dEy?0，则：
??R?dEXE??dEx??dEsin?????Rd??， sin?22??R4??R000v方向沿x轴正向。即：E??vi。
2??0R3．半径为R1和R2（R1?R2）的两无限长同轴圆柱面，单位长度分别带有电量?和??，试求：（1）r?R1；（2）R1?r?R2；（3）r?R2处各点的场强。 解：利用高斯定律：
ò??Svv1E?dS??qi。
?0S内（1）r?R1时，高斯面内不包括电荷，所以：E1?0； （2）R1?r?R2时，利用高斯定律及对称性，有：2?rlE2??l?，则：E2?； ?02??0r（3）r?R2时，利用高斯定律及对称性，有：2?rlE3?0，则：E3?0；
vE?0v??即：E?r2??0rvE?0r?R1R1?r?R2。 r?R24．将一“无限长”带电细线弯成图示形状，设电荷均匀分布，电荷线密度为?，四分之一圆弧AB的半径为R，试求圆心O点的场强．
解：设O为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴
v半无限长导线A?在O点的场强：E1 ?半无限长导线B?在O点的场强：E2?vv?(i?j)，
4??0Rvvv?(?i?j)，
4??0RvAB圆弧在O点的场强：E3?vv?(i?j)，
4??0Rvv?(i?j)。
4??0Rvvvv则总场强：E?E1?E2?E3?5.在半径为R，电荷体密度为?的均匀带电球内，若保持电荷分布不变,在该球体中挖去半径为r的一个小球体，球心为O?，两球心间距离OO??d，且d?r，如图所示。试求：两球心O、O'点的场强。
（提示：可利用代偿法，将没有电荷的小球看成同时 放置了??的电荷，再考虑对称性、高斯定理...）
解：（1）利用补偿法，以O为圆心，过O?点作一个半径为d的高斯面。 ROO?dr根据高斯定理有： 4?d?EO'?2???d3?0 有：EO'?43?d 方向从O指向O?； 3?0（2）过O点以O'为圆心，作一个半径为d的高斯面。根据高斯定理有
4????r3?r3234?d?EO? 有：EO?? 方向从O指向O? 。 2?03?0d6． 电荷量Q均匀分布在半径为R的球体内，试求：离球心r处(r ò??2Svv1E?dS??qi可求电场的分布。 ?orP?0S内PQrQr3（1）r?R时，4?rE内?； ?3；有：E内?34??R?0R0（2）r?R时，4?rE外?2RQ?0；有：E外?RQ4??0r?R2； 离球心r处(r rUr??Rr?QrQ3QQr2?dr???dr?。 ?3R4??r24??0R38??R8??R0007．平板电容器极板间的距离为d，保持极板上的电荷不变，把相对电容率为?r，厚度为t (t U1?rd?rd??? U2?0(d?t)??0t?r(d?t)?t?rd?(1??r)t?0d?0?0?0?rd8．如图所示，半径为R=8cm的薄圆盘，均匀带电， 面电荷密度为??2?10C/m，求： （1）垂直于盘面的中心对称轴线上任一点P的电势 （用P与盘心O的距离x来表示）； （2）从场强与电势的关系求该点的场强。 解：取半径为r，宽为d r的圆环为电荷元， 其电量为dq??2?rdr，电荷元在P点的电势为： dV??52xxOPdrrxx14??0dqx?r22?14??0?2?rdrx?r22OP （1）带电圆盘在P点的电势为： VP??dV??（2）E??R14??0?2?rdrx2?r20?14??0R?2?x2?r20??(x2?R2?x) 2?0v?VdV1x?x?Vv?????2?(?1)?(1?) i，E??2222?xdx4??02?0?xx?Rx?R（3）x=6cm， VP?14??0?2?(x2?R2?x)?9?109?2?10?5?2?(62?82?6)?4.52?104(V) EP?14??0?2?(1?xx2?R2)?9?109?2?10?5?2?(1?662?82)?4.52?105(V/m) 9． 半径为R0的导体球带有电荷Q，球外有一层均匀 介质同心球壳，其内、外半径分别为R1 和R2，相对 R0R1R2