第一讲 三角函数的图像与性质

例1、已知函数f(x)=tan(

?sinx) 3（1）求f(x)的定义域和值域；

（2）在（－π，π）中，求f(x)的单调区间； （3）判定方程f(x)=tan

解：（1）∵－1≤sinx≤1 ∴ － 处无定义，且（－

2π在区间（－π，π）上解的个数。 3???3?≤

3sinx≤

3。又函数y=tanx在x=kπ+

?(k∈Z)2???，）[－,]（－π, π）， 2233???3∴令sinx=±，则sinx=±解之得：x=kπ± (k∈Z)

2323?∴f(x)的定义域是A={x|x∈R，且x≠kπ±，k∈Z}

3???∵tanx在（－，）内的值域为（－∞，+∞），而当x∈A时，函数y=sinx的

2213??值域B满足（－，）B，∴f(x)的值域是（－∞，+∞）。

22?2?（2）由f(x)的定义域知，f(x)在[0，π]中的x=和x=处无定义。

33??2?2?????)∪(,]，设t=sinx，则当x∈[0, )∪（，）∪（，π）时，t∈[0,

33332233???]上分别单调递增。 且以t为自变量的函数y=tant在区间（0，），（，

223???) 又∵当x∈[0，]时，函数t=sinx单调递增，且t∈[0,

323?????] 当x∈（，]时，函数t=sinx单调递增，且t∈（,

32233?2????)时，函数t=] 当x∈[，sinx单调递减，且t∈（, 322332???当x∈（，π）时，函数t=sinx单调递减，且t∈（0，）

323????),（,]上分别是单调递增函数；在∴f(x)=tan(sinx)在区间[0，33213?2?2?[,),(,?)上是单调递减函数。 233

1

又f(x)是奇函数，所以区间（－

???，0]，[－，－)也是f(x)的单调递增区间323[??,?2?2??),(?,?]是f(x)的递减区间。 332故在区间（－π，π）中,f(x)的单调递增区间为：[－

?????，－)，（－，），（，23333?2?2?2?2?,),(,?)。 ]单调递减区间为[??,?),(?33332??222（3）由f(x)=tanπ得：tan(sinx)=tan(π)?sinx=kπ+π（k∈Z）

33333?3?23?26(k∈Z)① 又∵－1≤sinx≤1，∴ ?k??sinx=k3+

333∴k=0或k= －1

当k=0时，从①得方程sinx=

6 36 3当k=1时，从①得方程sinx= －3+显然方程sinx=

662,sinx= －3+，在（－π, π）上各有2个解，故f(x)=tan333π在区间（－π，π）上共有4个解。

说明：本题是正弦函数与正切函数的复合。（1）求f(x)的定义域和值域，应当先搞清楚y=

?sinx的值域与y=tanx的定义域的交集；（2）求f(x)的单调区间，必须先搞清f(x)的基3?12本性质。如奇偶性、周期性、复合函数单调性等。

例2、设f(x)?asin?x?bcos?x(??0)的周期T??，最大值f()?4，

（1）求?、a、b的值；

（2）若?、?为方程f(x)?0的两个根，且?、?的终边不共线，求tan(???)的值。 解：(1) f(x)?a2?b2sin(?x??)， ?T??， ???2， 又 ?f(x)的最大值

?f(?2?2?)?4， ?4?a2?b2 ① ， 且 4?asin?bcos ②， 121212由 ①、②解出 a=2 , b=3.

(2) f(x)?2sin2x?23cos2x?4sin(2x? ?4sin(2???)， ?f(?)?f(?)?0， 3??)?4sin(2??)， 33?????2???2k??2??， 或 2???2k????(2??)，

33332

即 ??k??? (?、? 共线，故舍去) ， 或 ????k???， 6?3 (k?Z). ?tan(???)?tan(k??)?63说明：方程组的思想是解题时常用的基本思想方法；在解题时不要忘记三角函数的周期性。

例3、已知函数f(x)?sin(?x??)(??0,0????)是R上的偶函数，其图象关于点M(3?,0)对称，且在区间?0,??上是单调函数.求?和?的值。

?4?2??

解：由f(x)是偶函数，得f(?x)?f(x)，即sin(??x??)?sin(?x??)， 所以?cos?sin?x?cos?sin?x,cos?sin?x?0 对任意x都成立，且??0，所以得cos??0， 依题设0????，所以解得???2.

3?3??x)??f(?x)， 443?3?3?取x?0,得f()??f(),所以f()?0,

4443?3???3???f()?sin(?)?cos，

44243??3????cos?0,又??0,得??k?,k?0,1,2…，

4422???(2k?1),k?0,1,2,….

322??当k=0时，??,f(x)?sin(x?)在[0,]上是减函数；

3322由f(x)的图象关于点M对称，得f(当k=1时，??2,f(x)?sin(2x?当k?2时，???)在[0,]上是减函数；

22?10??,f(x)?sin(?x?)在[0,]上不是单调函数. 3222所以，综合得??或??2.

3

3

例4、已知函数f(x)?cos2?x???1π?g(x)?1?sin2x． ，?212?（I）设x?x0是函数y?f(x)图象的一条对称轴，求g(x0)的值． （II）求函数h(x)?f(x)?g(x)的单调递增区间．

命题目的：本小题主要考查三角函数的图象和单调性、奇偶性等基本知识，以及分析问题和推理计算能力. 解：（I）由题设知f(x)?1π[1?cos(2x?)]． 26π?kπ， 6因为x?x0是函数y?f(x)图象的一条对称轴，所以2x0? π（k?Z）． 611π所以g(x0)?1?sin2x0?1?sin(kπ?)．

226即2x0?kπ?当k为偶数时，g(x0)?1?当k为奇数时，g(x0)?1?（II）h(x)?f(x)?g(x)?113?π?sin????1??， 2?6?441π15sin?1??． 26441?π??1?1?cos2x??1?sin2x ????2?6??2???31??π??31?31cos2x??sin2x??cos2x?sin2x? ????????2??6?2?22?2?21?π?3?sin?2x???． 2?3?2当2kπ?πππ5ππ≤2x?≤2kπ?，即kπ?≤x≤kπ?（k?Z）时， 2321212函数h(x)?1?π?3sin?2x???是增函数， 2?3?2??5ππ?，kπ??（k?Z） 1212?4

故函数h(x)的单调递增区间是?kπ?