二极坐标系
1.理解极坐标系的概念． 2．能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别． 3．掌握极坐标和直角坐标的互化关系式，能进行极坐标和直角坐标的互化. 课标解读
1．极坐标系的概念
(1)极坐标系的建立：在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．
(2)极坐标：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记为M(ρ，θ)．一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．
2．点与极坐标的关系
一般地，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一个点，特别地，极点O的坐标为(0，θ)(θ∈R)．
如果规定ρ>0，0≤θ<2π，那么除极点外，平面内的点可用惟一的极坐标(ρ，θ)表示；同时，极坐标(ρ，θ)表示的点也是惟一确定的．
图1－2－1
3．极坐标与直角坐标的互化
(1)互化背景：把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，如图1－2－1所示．
(2)互化公式：设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如表：
点M 直角坐标(x，y) 极坐标(ρ，θ) ρ2＝x2＋y2 ?x＝ρcos θ?y?互化公式 tan θ＝(x≠0) ?y＝ρsin θ?x
1．极坐标系与平面直角坐标系有什么区别和联系？
【提示】 极坐标系以角这一平面图形为几何背景，而直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景；平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系，而极坐标系则不可．但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系，用来研究平面内点与距离等有关问题． 2．由极坐标的意义可判断平面上点的极坐标惟一吗？
【提示】 平面上点的极坐标不是惟一的．如果限定ρ>0，θ∈[0,2π)，平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ，θ)可建立一一对应关系．
3．联系点的极坐标与直角坐标的互化公式的纽带是什么？
【提示】 任意角的三角函数的定义及其基本关系式是联系点的极坐标与直角坐标的互化公式的纽带．
yx事实上，若ρ>0，则sin θ＝，cos θ＝，
ρρ所以(x≠0).
确定极坐标系中点的坐标 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，ρ2＝x2＋y2，tan θ＝
y
x
π 设点A(2，)，直线l为过极点且垂直于极轴的直线，分别求点A关于极轴，
3
直线l，极点的对称点的极坐标(限定ρ>0，－π<θ≤π)．
【思路探究】 欲写出点的极坐标，首先应确定ρ和θ的值．
π
【自主解答】 如图所示，关于极轴的对称点为B(2，－)．
3
2
关于直线l的对称点为C(2，π)．
32
关于极点O的对称点为D(2，－π)．
3
四个点A，B，C，D都在以极点为圆心，2为半径的圆上．
1．点的极坐标不是惟一的，但若限制ρ>0,0≤θ<2π，则除极点外，点的极坐标是惟一确定的．
2．写点的极坐标要注意顺序：极径ρ在前，极角θ在后，不能颠倒顺序．
π
(2013·漯河质检)在极坐标系中与点A(3，－)关于极轴所在的直线对称的点的极坐标
3
是( )
2π
A．(3，π) B．(3，)
3345
C．(3，π) D．(3，π)
36
π
【解析】 与点A(3，－)关于极轴所在的直线对称的点的极坐标可以表示为(3,2kπ＋
3π
)(k∈Z)． 3
【答案】 B 将点的极坐标化为直角坐标 写出下列各点的直角坐标，并判断所表示的点在第几象限． 4π2π
(1)(2，)；(2)(2，π)；(3)(2，－)；(4)(2，－2)．
333
??x＝ρcos θ
【思路探究】 点的极坐标(ρ，θ)―→?―→点的直角坐标(x，y)―→判定点所
??y＝ρsin θ
在象限．
4π14π3
【自主解答】 (1)由题意知x＝2cos＝2×(－)＝－1，y＝2sin＝2×(－)＝－3.
3232
4π
∴点(2，)的直角坐标为(－1，－3)，是第三象限内的点．
322
(2)x＝2cos π＝－1，y＝2sin π＝3，
332
∴点(2，π)的直角坐标为(－1，3)，是第二象限内的点．
3
ππ
(3)x＝2cos(－)＝1，y＝2sin(－)＝－3，
33π
∴点(2，－)的直角坐标为(1，－3)，是第四象限内的点．
3(4)x＝2cos (－2)＝2cos 2，y＝2sin(－2)＝－2sin 2.
∴点(2，－2)的直角坐标为(2cos 2，－2sin 2)，是第三象限内的点．
1．点的极坐标与直角坐标的互化公式的三个前提条件：①极点与直角坐标系的原点重合；②极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合；③两种坐标系的长度单位相同．
2．将点的极坐标(ρ，θ)化为点的直角坐标(x，y)时，运用到求角θ的正弦值和余弦值，熟练掌握特殊角的三角函数值，灵活运用三角恒等变换公式是关键．
分别把下列点的极坐标化为直角坐标：
ππ
(1)(2，)；(2)(3，)；(3)(π，π)．
62
π
【解】 (1)∵x＝ρcos θ＝2cos＝3，
6
π
y＝ρsin θ＝2sin＝1.
6π
∴点的极坐标(2，)化为直角坐标为(3，1)．
6π
(2)∵x＝ρcos θ＝3cos＝0，
2π
y＝ρsin θ＝3sin＝3.
2
π
∴点的极坐标(3，)化为直角坐标为(0,3)．
2(3)∵x＝ρcos θ＝πcos π＝－π， y＝ρsin θ＝πsin π＝0.
∴点的极坐标(π，π)化为直角坐标为(－π，0).
将点的直角坐标化为极坐标 分别把下列点的直角坐标化为极坐标(限定ρ≥0,0≤θ<2π)． 3π3π
(1)(－2,23)；(2)(6，－2)；(3)(，)．
22
y
【思路探究】 利用公式ρ2＝x2＋y2，tan θ＝(x≠0)，但求角θ时，要注意点所在的象
x限．
【自主解答】 (1)∵ρ＝x2＋y2＝y
tan θ＝＝－3，θ∈[0,2π)，
x由于点(－2,23)在第二象限，
2π∴θ＝. 3
2
∴点的直角坐标(－2,23)化为极坐标为(4，π)．
3(2)∵ρ＝x2＋y2＝
?6?2＋?－2?2＝22，
y3
tan θ＝＝－，θ∈[0,2π)，
x3由于点(6，－2)在第四象限， 11π∴θ＝. 6
11π
∴点的直角坐标(6，－2)化为极坐标为(22，)．
6
3π3π32πy
(3)∵ρ＝x2＋y2＝??2＋??2＝，tan θ＝＝1，θ∈[0,2π)．
222x
3π3π
由于点(，)在第一象限，
22π∴θ＝. 4
3π3π32ππ
∴点的直角坐标(，)化为极坐标为(，)．
2224
?－2?2＋?23?2＝4，
y
1．将直角坐标(x，y)化为极坐标(ρ，θ)，主要利用公式ρ2＝x2＋y2，tan θ＝(x≠0)进行
x求解，先求极径，再求极角．
y
2．在[0,2π)范围内，由tan θ＝(x≠0)求θ时，要根据直角坐标的符号特征判断出点所
x在的象限．如果允许θ∈R，再根据终边相同的角的意义，表示为θ＋2kπ(k∈Z)即可．
(1)例3中，如果限定ρ>0，θ∈R，分别求各点的极坐标；
(2)如果点的直角坐标(x，y)满足xy<0，那么在限定ρ>0，θ∈R的情况下转化为点的极坐标时，试探究θ的取值范围．
【解】 (1)根据与角α终边相同的角为α＋2kπ(k∈Z)知，点的直角坐标化为极坐标(ρ>0，