所构成的曲线C′定义为曲线C的“伴随曲线”．现有下列命题：
①若点A的“伴随点”是点A′，则点A′的“伴随点”是点A； ②单位圆的“伴随曲线”是它自身；
③若曲线C关于x轴对称，则其“伴随曲线”C′关于y轴对称； ④一条直线的“伴随曲线”是一条直线．
其中的真命题是________(写出所有真命题的序号)． 15．②③ ①设点A的坐标为(x，y)，则其“伴随点”为A′?
－x??2y2，2
2?，故A′
?x＋yx＋y?
－xx2＋y2
的“伴随点”的横坐标为＝－x，同理可得纵坐标为－y，故点A′的“伴
22x??2y2?＋?－
?x＋y??x2＋y2?????随点”是(－x，－y)，故①错误．
②设单位圆上的点P的坐标为(cos θ，sin θ)，则点P的伴随点P′的坐标为(sin θ，－cos θ)，即P′cosθ－
ππ
，sinθ－，所以点P′也在单位圆上，故②正确． 22
③设曲线C上点A的坐标为(x，y)，则其关于x轴对称的点A1(x，－y)也在曲线C上，点A的“伴随点”为A′?
－x?－x??2y2，2?－y点A1的“伴随点”为A′1?22，22?，点A′2?，
?x＋yx＋y??x＋yx＋y?
与A′1关于y轴对称，故③正确．
④取y＝1这条直线，则A(0，1)，B(1，1)，C(2，1)都在直线上，这三个点的“伴随1?2??1?1
点”分别是A′(1，0)，B′?，－?，C′?，－?，而A′，B′，C′三个点不在同一直
2?5??2?5线上，故④错误．
下面给出严格证明：
设点P(x，y)在直线l：Ax＋By＋C＝0上，P点的“伴随点”为P′(x0，y0)，
y－yx＝，x ＝ ???x＋y?x＋y，则?解得?
－xx??y＝x＋y，??y ＝ x＋y.
0
0
2220
200
0
2
2
20
20
将其代入直线l的方程可得A2
2
－y0x022＋B22＋C＝0， x0＋y0x0＋y0
化简得－Ay0＋Bx0＋C(x0＋y0)＝0.
当C＝0时，C(x0＋y0)＝0，P′的轨迹是一条直线；
当C≠0时，C(x0＋y0)不是一个常数，P′的轨迹不是一条直线． 所以，直线的“伴随曲线”不一定是一条直线．
2
2
2
2
2x－1
20．B12，B14 已知f(x)＝a(x－ln x)＋2，a∈R.
x(1)讨论f(x)的单调性；
3
(2)当a＝1时，证明f(x)>f′(x)＋对于任意的x∈成立．
220．解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，
a22（ax2－2）（x－1）
f′(x)＝a－－2＋3＝.
xxxx3
当a≤0时，若x∈(0，1)，则f′(x)>0，f(x)单调递增， 若x∈(1，＋∞)，则f′(x)<0，f(x)单调递减． 当a>0时，f′(x)＝(i)当0 a（x－1） （x－x32 2 a）（x＋ 2 ）. aa>1. 2 当x∈(0，1)或x∈（当x∈（1， a，＋∞）时，f′(x)>0，f(x)单调递增． 2 ）时，f′(x)<0，f(x)单调递减． a(ii)当a＝2时，(iii)当a>2时，0<当x∈（0，当x∈ 2 a＝1，在区间(0，＋∞)内，f′(x)≥0，f(x)单调递增． 2<1. a2 ）或x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增， a2 ，1时，f′(x)<0，f(x)单调递减． a综上所述，当a≤0时，f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减； 当0＜a＜2时，f(x)在(0，1)上单调递增，在（1，∞）上单调递增； 当a＝2时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增； 当a＞2时，f(x)在（0，上单调递增． (2)证明：由(1)知，当a＝1时， 2 ）上单调递增，在（22 a）上单调递减，在（2 a，＋aa，1）上单调递减，在(1，＋∞) f(x)－f′(x)＝x－ln x＋ 2x－1122312 －（1－－2＋3）＝x－ln x＋＋2－3－1，x∈． 2xxxxxxx312 设g(x)＝x－ln x，h(x)＝＋2－3－1，x∈， xxx则f(x)－f′(x)＝g(x)＋h(x)． 由g′(x)＝ x－1 ≥0， x可得g(x)≥g(1)＝1， 当且仅当x＝1时取得等号． －3x－2x＋6 又h′(x)＝. 4 2 x设φ(x)＝－3x－2x＋6，则φ(x)在上单调递减． 因为φ(1)＝1，φ(2)＝－10， 所以?x0∈(1，2)，使得当x∈(1，x0)时，φ(x)＞0，x∈(x0，2)时，φ(x)＜0. 所以h(x)在(1，x0)上单调递增，在(x0，2)上单调递减． 11由h(1)＝1，h(2)＝，可得h(x)≥h(2)＝， 22当且仅当x＝2时取得等号． 3 所以f(x)－f′(x)＞g(1)＋h(2)＝， 23 即f(x)＞f′(x)＋对于任意的x∈成立． 2 ??x＋（4a－3）x＋3a，x<0， 8．B14 已知函数f(x)＝?(a>0，且a≠1)在R上单调递减， ?loga（x＋1）＋1，x≥0? 2 2 且关于x的方程|f(x)|＝2－x恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是( ) 223 A．（0， ] B.[，] 334 123123 C. [，]∪{ } D.[，）∪{} 334334 38．C 由y＝loga(x＋1)＋1在∪{}. 4 2 18．B14 已知a≥3，函数F(x)＝min{2|x－1|，x－2ax＋4a－2}，其中min{p，q}＝ ??p，p≤q，? ?q，p>q.? (1)求使得等式F(x)＝x－2ax＋4a－2成立的x的取值范围； (2)(i)求F(x)的最小值m(a)； (ii)求F(x)在区间上的最大值M(a)． 18．解：(1)由于a≥3，故当x≤1时，(x－2ax＋4a－2)－2|x－1|＝x＋2(a－1)(2－ 2 2 2 x)>0， 当x>1时，(x－2ax＋4a－2)－2|x－1|＝(x－2)(x－2a)． 所以，使得等式F(x)＝x－2ax＋4a－2成立的x的取值范围为． 2 2 (2)(i)设函数f(x)＝2|x－1|，g(x)＝x－2ax＋4a－2，则f(x)min＝f(1)＝0，g(x)min ＝g(a)＝－a＋4a－2， 所以，由F(x)的定义知m(a)＝min{f(1)，g(a)}，即 2 2 ?0，3≤a≤2＋2，m(a)＝?2 ?－a＋4a－2，a>2＋2. (ii)当0≤x≤2时， F(x)≤f(x)≤max{f(0)，f(2)}＝2＝F(2)， 当2≤x≤6时， F(x)≤g(x)≤max{g(2)，g(6)}＝max{2，34－8a}＝max{F(2)，F(6)}． ??34－8a，3≤a<4， 所以，M(a)＝? ?2，a≥4.? 1 22．B14 已知a∈R，函数f(x)＝log2(＋a). x(1)当a＝5时，解不等式f(x)>0； (2)若关于x的方程f(x)－log2＝0的解集中恰有一个元素，求a的取值范围； 1 (3)设a>0，若对任意t∈[，1]，函数f(x)在区间上的最大值与最小值的差不超过1， 2求a的取值范围． 11 22．解：(1)由log2(＋5)>0，得＋5>1， xx1 解得x∈(－∞，－)∪(0，＋∞)． 4 12 (2)由原方程可得＋a＝(a－4)x＋2a－5，即(a－4)x＋(a－5)x－1＝0. x①当a＝4时，x＝－1，经检验，满足题意． ②当a＝3时，x1＝x2＝－1，经检验，满足题意． ③当a≠3且a≠4时，x1＝ 1 ，x2＝－1，x1≠x2. a－4 1 若x1是原方程的解，则＋a>0，即a>2； x1x2 1 若x2是原方程的解，则＋a>0，即a>1. 于是满足题意的a∈(1，2]． 综上，a的取值范围为(1，2]∪{3，4}． (3)易知f(x)在(0，＋∞)上单调递减，