2018版大一轮全国人教数学-历年高考真题与模拟题分类汇编 B单元 函数与导数理科2016年 含答案 精品 下载本文

所以0是函数g(x)的唯一零点.

因为g′(x)=aln a+bln b,又由01知ln a<0,ln b>0, 所以g′(x)=0有唯一解x0=log-xxxbln a.

aln bxx2

令h(x)=g′(x),则h′(x)=(aln a+bln b)′=a(ln a)+b(ln b), 从而对任意x∈R,h′(x)>0,所以g′(x)=h(x)是(-∞,+∞)上的单调增函数. 于是当x∈(-∞,x0)时,g′(x)g′(x0)=0.

因而函数g(x)在(-∞,x0)上是单调减函数,在(x0,+∞)上是单调增函数. 下证x0=0.

若x0<0,则x0<<0,于是g

22

又g(loga2)=aloga2+bloga2-2>aloga2-2=0,且函数g(x)在以和loga2为端点的

2闭区间上的图像不间断,所以在区间,loga2上存在g(x)的零点,记为x1.因为0

2以loga2<0.又<0,所以x1<0,与“0是函数g(x)的唯一零点”矛盾.

2

若x0>0,同理可得,在和logb2之间存在g(x)的非0的零点,矛盾.

2因此,x0=0.

ln a于是-=1,故ln a+ln b=0,所以ab=1.

ln b421

6.B6 已知a=2,b=4,c=25,则( )

353A.b

244224

6.A b=4=2<2=a,c=5>4=2=a,故b

553333

5ba12.B6、B7 已知a>b>1.若logab+logba=,a=b,则a=________,b=________.

211552

12.4 2 设t=logab,则logba=.∵a>b>1,∴0

B7 对数与对数函数

ax2

x0x0

x0

x0

x0

x0

11aa2

,b=(a)=aa,则a=a,即a-4a=0,

22

5.E1,C3,B6,B7 已知x,y∈R,且x>y>0,则( ) 11

A.->0 xyB.sin x-sin y>0 1x1yC.-<0 22D.ln x+ln y>0

1111

5.C 选项A中,因为x>y>0,所以<,即-<0,故结论不成立;选项B中,当xxyxy5ππ1x=,y=时,sin x-sin y<0,故结论不成立;选项C中,函数y=是定义在R上的6321x1y1x1y-1-2

减函数,因为x>y>0,所以<,所以-<0;选项D中,当x=e,y=e时,结论不

2222成立.

8.B7,B8,E1 若a>b>1,0

8.C 根据幂函数性质,选项A中的不等式不成立;选项B中的不等式可化为b-1

ccccc-1

alogacblogbclogcbalg c==logab,此时>1,0

lg c11,进而>,进而lg a

21.B12、B14、B7 设函数f(x)=αcos 2x+(α-1)(cos x+1),其中α>0,记|f(x)|的最大值为A.

(1)求f′(x); (2)求A;

(3)证明:|f′(x)|≤2A.

21.解:(1)f′(x)=-2αsin 2x-(α-1)sin x.

(2)当α≥1时,|f(x)|=|αcos 2x+(α-1)(cos x+1)|≤α+2(α-1)=3α-2=f(0),

因此A=3α-2.

当0<α<1时,将f(x)变形为f(x)=2αcosx+(α-1)cos x-1.

令g(t)=2αt+(α-1)t-1,则A是|g(t)|在上的最大值,g(-1)=α,g(1)=3α1-α1-α(α-1)

-2,且当t=时,g(t)取得极小值,极小值为g()=--1=-

4α4α8αα+6α+1. 8α

1-α11令-1<<1,解得α<-(舍去)或α>. 4α35

1

(i)当0<α≤时,g(t)在(-1,1)内无极值点,|g(-1)|=α,|g(1)|=2-3α,|g(-

51)|<|g(1)|,所以A=2-3α.

11-α(ii)当<α<1时,由g(-1)-g(1)=2(1-α)>0,知g(-1)>g(1)> g().

54α又|g(

22

2

2

2

1-α(1-α)(1+7α)1-α

)|-|g(-1)|=>0,所以A=|g()|=4α8α4α

α+6α+1. 8α

??综上,A=?α+6α+11

,<α<1,

8α5??3α-2,α≥1.

2

12-3α,0<α≤,

5

(3)证明:由(1)得|f′(x)|=|-2αsin 2x-(α-1)sin x|≤2α+|α-1|. 1

当0<α≤时,|f′(x)|≤1+α≤2-4α<2(2-3α)=2A.

51α13

当<α<1时,A=++≥1,所以|f′(x)|≤1+α<2A. 588α4当α≥1时,|f′(x)|≤3α-1≤6α-4=2A,所以|f′(x)|≤2A.

?-ln x,0

?ln x,x>1?

l1与l2垂直相交于点P,且l1,l2分别与y轴相交于点A,B,则△PAB的面积的取值范围是

( )

A.(0,1) B.(0,2) C.(0,+∞) D.(1,+∞)

9.A 不妨设P1(x1,y1),P2(x2,y2),其中0

1

-,0

1??x,x>1,

1

2

1

2

11

得l1的斜率k1=-,l2的斜率k2=. x1x2

11

又l1与l2垂直,且0

x1x2

l1:y=-(x-x1)-ln x1①,

x1l2:y=(x-x2)+ln x2②,

x2

则点A的坐标为(0,1-ln x1),点B的坐标为(0,-1+ln x2), 由此可得|AB|=2-ln x1-ln x2=2-ln(x1·x2)=2.

2-ln(x1x2)2

联立①②两式可解得交点P的横坐标xP==,

x1+x2x1+x2

11221

所以S△PAB=|AB|·|xP|=×2×=≤1,当且仅当x1=,即x1=1时,等

22x1+x21x1

x1+

1

1

x1

号成立.

而0

5ba12.B6、B7 已知a>b>1.若logab+logba=,a=b,则a=________,b=________.

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12.4 2 设t=logab,则logba=.∵a>b>1,∴0

B8 幂函数与函数的图像

7.B8,B12 函数y=2x-e在的图像大致为( )

2

|x|

a11aa2

,b=(a)=aa,则a=a,即a-4a=0,

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