数 学
B单元 函数与导数 B1 函数及其表示
5．B1 函数y＝3－2x－x的定义域是________．
5． 令3－2x－x≥0可得x＋2x－3≤0，解得－3≤x≤1，故所求函数的定义域为． 11．B1、B4 设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间 因为f(x)的周期为2，511911所以f(－)＝f(－)＝－＋a，f()＝f()＝，
2222210
1132即－＋a＝，所以a＝，故f(5a)＝f(3)＝f(－1)＝－. 21055B2 反函数
5．B2 已知点(3，9)在函数f(x)＝1＋a的图像上，则f(x)的反函数f(x)＝________． 5．log2(x－1)，x∈(1，＋∞) 将点(3，9)的坐标代入函数f(x)的解析式得a＝2，所以f(x)＝1＋2，所以f(x)＝log2(x－1)，x∈(1，＋∞)．
B3 函数的单调性与最值
??x－3x，x≤a，14．B3，B12 设函数f(x)＝?
?－2x，x>a.?
3
2
22
x－1
x－1
①若a＝0，则f(x)的最大值为________；
②若f(x)无最大值，则实数a的取值范围是________．
14．①2 ②(－∞，－1) 由(x－3x)′＝3x－3＝0，得x＝±1，作出函数y＝x－3x和y＝－2x的图像，如图所示．①当a＝0时，由图像可得f(x)的最大值为f(－1)＝2.②由图像可知当a≥－1时，函数f(x)有最大值；当a<－1时，y＝－2x在x>a时无最大值，且－2a>a－3a，所以a<－1.
3
3
2
3
13．B3、B4 已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实
数a满足f(2
|a－1|
)>f(－2)，则a的取值范围是________．
13
13.（，） 由f(x)是偶函数，且f(x)在区间(－∞，0)上单调递增，得f(x)在区
22间(0，＋∞)上单调递减．
又f(2
|a－1|
)>f(－2)，f(－2)＝f(2)，∴2
|a－1|
113
<2，即|a－1|<，∴ 222 18．B3，B4 设f(x)，g(x)，h(x)是定义域为R的三个函数，对于命题：①若f(x)＋g(x)， f(x)＋h(x)，g(x)＋h(x)均是增函数，则f(x)，g(x)，h(x)中至少有一个增函数；②若f(x) ＋g(x)，f(x)＋h(x)，g(x)＋h(x)均是以T为周期的函数，则f(x)，g(x)，h(x)均是以T为周期的函数．下列判断正确的是( ) A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题 [f（x）＋g（x）]＋[f（x）＋h（x）]－[g（x）＋h（x）] 18．D f(x)＝.对于①， 2因为增函数减增函数不一定为增函数，所以f(x)不一定为增函数，同理g(x)，h(x)不一定为增函数，因此①为假命题．对于②，易得f(x)是以T为周期的函数，同理可得g(x)，h(x)也是以T为周期的函数，所以②为真命题． B4 函数的奇偶性与周期性 11．B1、B4 设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间 因为f(x)的周期为2，511911所以f(－)＝f(－)＝－＋a，f()＝f()＝， 2222210 1132即－＋a＝，所以a＝，故f(5a)＝f(3)＝f(－1)＝－. 21055 15．B4、B12 已知f(x)为偶函数，当x<0时，f(x)＝ln(－x)＋3x，则曲线y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程是________． 15．y＝－2x－1 设x>0，则－x<0.∵x<0时，f(x)＝ln(－x)＋3x，∴f(－x)＝ln x1 －3x，又∵f(－x)＝f(x)，∴当x>0时，f(x)＝ln x－3x，∴f′(x)＝－3，即f′(1)＝ x－2，∴曲线y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程为y＋3＝－2(x－1)，整理得y＝－2x－1. 14．B4 已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f(x)＝4，5 则f－＋f(1)＝________． 2 x 14．－2 因为f(x)是周期为2的函数，所以f(x)＝f(x＋2)． 因为f(x)是奇函数，所以f(x)＝－f(－x)， 所以f(1)＝f(－1)，f(1)＝－f(－1)，即f(1)＝0. ?5??1??1?11 又f?－?＝f?－?＝－f??，f＝4＝2， ?2??2??2?22?5??5?所以f?－?＝－2，从而f?－?＋f(1)＝－2. ?2??2? 9．B4 已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时，f(x)＝x－1；当－1≤x≤1时，f(－x)111 ＝－f(x)；当x>时，fx＋＝fx－.则f(6)＝( ) 222 A．－2 B．－1 C．0 D．2 111 9．D ∵当x>时，f(x＋)＝f(x－)，∴f(x)的周期为1，则f(6)＝f(1)． 222又∵当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)，∴f(1)＝－f(－1)． 又∵当x<0时，f(x)＝x－1，∴f(－1)＝(－1)－1＝－2，∴f(6)＝－f(－1)＝2. 13．B3、B4 已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a满足f(2 |a－1| 3 3 3 )>f(－2)，则a的取值范围是________． 13 13.（，） 由f(x)是偶函数，且f(x)在区间(－∞，0)上单调递增，得f(x)在区 22间(0，＋∞)上单调递减． 又f(2 |a－1| )>f(－2)，f(－2)＝f(2)，∴2 |a－1| 113 <2，即|a－1|<，∴ 222 18．B3，B4 设f(x)，g(x)，h(x)是定义域为R的三个函数，对于命题：①若f(x)＋g(x)， f(x)＋h(x)，g(x)＋h(x)均是增函数，则f(x)，g(x)，h(x)中至少有一个增函数；②若f(x) ＋g(x)，f(x)＋h(x)，g(x)＋h(x)均是以T为周期的函数，则f(x)，g(x)，h(x)均是以T为周期的函数．下列判断正确的是( ) A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题 [f（x）＋g（x）]＋[f（x）＋h（x）]－[g（x）＋h（x）] 18．D f(x)＝.对于①， 2因为增函数减增函数不一定为增函数，所以f(x)不一定为增函数，同理g(x)，h(x)不一定 为增函数，因此①为假命题．对于②，易得f(x)是以T为周期的函数，同理可得g(x)，h(x)也是以T为周期的函数，所以②为真命题． B5 二次函数 B6 指数与指数函数 5．E1，C3，B6，B7 已知x，y∈R，且x>y>0，则( ) 11 A.－>0 xyB．sin x－sin y>0 1x1yC.－<0 22D．ln x＋ln y>0 1111 5．C 选项A中，因为x>y>0，所以<，即－<0，故结论不成立；选项B中，当xxyxy5ππ1x＝，y＝时，sin x－sin y<0，故结论不成立；选项C中，函数y＝是定义在R上的6321x1y1x1y－1－2 减函数，因为x>y>0，所以<，所以－<0；选项D中，当x＝e，y＝e时，结论不 2222成立． 19．B6、B9、B12 已知函数f(x)＝a＋b(a>0，b>0，a≠1，b≠1)． 1 (1)设a＝2，b＝. 2①求方程f(x)＝2的根； ②若对于任意x∈R，不等式f(2x)≥mf(x)－6恒成立，求实数m的最大值； (2)若0 2①方程f(x)＝2，即2＋2＝2，亦即(2)－2×2＋1＝0， 所以(2－1)＝0，于是2＝1，解得x＝0. ②由条件知f(2x)＝2＋2 2x－2xxxx－xx2xx2x＝(2＋2)－2＝－2. x－x22 因为f(2x)≥mf(x)－6对于x∈R恒成立，且f(x)>0， [f（x）]＋4 所以m≤对于x∈R恒成立． f（x）[f（x）]＋44而＝f(x)＋≥2 f（x）f（x）所以m≤4，故实数m的最大值为4. (2)因为函数g(x)＝f(x)－2只有1个零点，而g(0)＝f(0)－2＝a＋b－2＝0， 0 0 2 2 4[f（0）]＋4 f（x）·＝4，且＝4， f（x）f（0） 2