(6)?Nf(v)dv：表示分布在v1~v2区间内的分子数.

v1v23-6 题3-6图(a)是氢和氧在同一温度下的两条麦克斯韦速率分布曲线，哪一条代表氢?题3-6图(b)是某种气体在不同温度下的两条麦克斯韦速率分布曲线，哪一条的温度较高?

答：图(a)中(1)表示氧，(2)表示氢；图(b)中(2)温度高．

题3-6图

3-7 试说明下列各量的物理意义．

13i（1）kT （2）kT （3）kT

222Mii3RT （5）RT （6）RT （4）

Mmol222解：(1)在平衡态下，分子热运动能量平均地分配在分子每一个自由度上的能量

1均为kT．

23(2)在平衡态下，分子平均平动动能均为kT.

2i(3)在平衡态下，自由度为i的分子平均总能量均为kT.

2(4)由质量为M，摩尔质量为Mmol，自由度为i的分子组成的系统的内能为MiRT. Mmol2i(5) 1摩尔自由度为i的分子组成的系统内能为RT.

23(6) 1摩尔自由度为3的分子组成的系统的内能RT，或者说热力学体系内，1

23摩尔分子的平均平动动能之总和为RT.

23-8 有一水银气压计，当水银柱为0.76m高时，管顶离水银柱液面0.12m，管的截面积为2.0×10-4m2，当有少量氦(He)混入水银管内顶部，水银柱高下降为0.6m，此时温度为

27℃，试计算有多少质量氦气在管顶(He的摩尔质量为0.004kg·mol-1)?

MRT 得 解：由理想气体状态方程pV?MmolpV M?Mmol

RT汞的重度 dHg?1.33?105N?m?3

氦气的压强 P?(0.76?0.60)?dHg

氦气的体积 V?(0.88?0.60)?2.0?10?4m3

M?0.004?(0.76?0.60)?dHg?(0.28?2.0?10?4)R(273?27)(0.76?0.60)?dHg?(0.28?2.0?10?4)8.31?(273?27)

?0.004??1.91?10?6Kg

3-9设有N个粒子的系统，其速率分布如题6-18图所示．求 (1)分布函数f(v)的表达式； (2)a与v0之间的关系；

(3)速度在1.5v0到2.0v0之间的粒子数． (4)粒子的平均速率．

(5)0.5v0到1v0区间内粒子平均速率．

题3-9图

解：(1)从图上可得分布函数表达式

(0?v?v0)?Nf(v)?av/v0?(v0?v?2v0) ?Nf(v)?a?Nf(v)?0(v?2v0)??av/Nv0?f(v)??a/N?0?(0?v?v0)(v0?v?2v0) (v?2v0)

f(v)满足归一化条件，但这里纵坐标是Nf(v)而不是f(v)故曲线下的总面积为N，

(2)由归一化条件可得

v02v0av2NNdv?Nadv?Na? ?0v0?v03v01(3)可通过面积计算?N?a(2v0?1.5v0)?N

3(4) N个粒子平均速率

2?v0av2v01?v??vf(v)dv??vNf(v)dv??dv??avdv

00v0N0v01123211v?(av0?av0)?v0

N329(5)0.5v0到1v0区间内粒子平均速率

?v?v00.5v0vdNN1Nv0vdN ?N1?0.5v0NNv0Nv0av2 ?vf(v)dv?dv ??0.5v0.5v00N1N1Nv0332av01v0av21av017av0 v?dv?(?)?N1?0.5v0v0N13v024v0N1240.5v0到1v0区间内粒子数

131N1?(a?0.5a)(v0?0.5v0)?av0?N

28427av07vv??0

6N93-10 试计算理想气体分子热运动速率的大小介于vp?vp?100?1与vp?vp?100?1之间的分子数占总分子数的百分比．

v解：令u?，则麦克斯韦速率分布函数可表示为

vPdN42?u2?uedu N?因为u?1,?u?0.02

?N42?u2?ue?u 得 由 N??N4??1?e?1?0.02?1.66% N?3-11 1mol氢气，在温度为27℃时，它的平动动能、转动动能和内能各是多少? 解：理想气体分子的能量

i E??RT

23平动动能 t?3 Et??8.31?300?3739.5J

22转动动能 r?2 Er??8.31?300?2493J

25内能i?5 Ei??8.31?300?6232.5 J

2

3-12 一真空管的真空度约为1.38×10-3 Pa(即1.0×10-5 mmHg)，试 求在27℃时单位体积中的分子数及分子的平均自由程(设分子的有效直径d＝3×10-10 m)． 解：由气体状态方程p?nkT得

p1.38?10?3n???3.33?1017 m?3 23kT1.38?10?3001由平均自由程公式 ?? 22?dn2??9?10?3.33?103-13 (1)求氮气在标准状态下的平均碰撞频率；(2)若温度不变，气压降到1.33×10-4Pa，平均碰撞频率又为多少(设分子有效直径10-10 m)? 解：(1)碰撞频率公式z?2?d2nv 对于理想气体有p?nkT，即

p n?kT2?d2vp所以有 z?

kT8.31?273RT?455.43 m?s?1 而 v?1.60 v?1.6028Mmol??1?2017?7.5 m

氮气在标准状态下的平均碰撞频率

2??10?20?455.43?1.013?105z??5.44?108s?1 01.38?10?273气压下降后的平均碰撞频率

2??10?20?455.43?1.33?10?4?1z??0.714s ?231.38?10?2733-14 1mol氧气从初态出发，经过等容升压过程，压强增大为原来的2倍，然后又经过等温膨胀过程，体积增大为原来的2倍，求末态与初态之间(1)气体分子方均根速率之比； (2)分子平均自由程之比． 解：由气体状态方程

p1p2? 及 p2V2?p3V3 T1T2方均根速率公式 v2?1.73v2初v2末?T1?T2p11 ?p22RT Mmol对于理想气体，p?nkT，即 n?所以有 ??kT2?dp2p kT

?初T1p2??1 ?末p1T2

习题四

4-1下列表述是否正确?为什么?并将错误更正．

Q?E??pdV?Q??E??A（1） （2）