?xxt?u()，u又是什么意思?如果t和x均增加，但相应的［?(u)+?0］的值不变，由此能从波动方程说明什么?
解: 波动方程中的x/u表示了介质中坐标位置为x的质元的振动落后于原点的
?x时间；u则表示x处质元比原点落后的振动位相；设t时刻的波动方程为
?xyt?Acos(?t???0)u
则t??t时刻的波动方程为
?(x??x)yt??t?Acos[?(t??t)???0]u
其表示在时刻t，位置x处的振动状态，经过?t后传播到x?u?t处．所以在
?x?x(?t?)(?t?)u中，当t，x均增加时，u的值不会变化，而这正好说明了经过
?xy?Acos(?t???0)?t?x?u?tu时间，波形即向前传播了的距离，说明描述的是一列行进中的波，故谓之行波方程．
9-3 在驻波的两相邻波节间的同一半波长上，描述各质点振动的什么物理量不同，什么物理量相同?
2?y?2Acosxcos??vt?解: 取驻波方程为，则可知，在相邻两波节中的同一半
?t??x??0波长上，描述各质点的振幅是不相同的，各质点的振幅是随位置按余弦规律变化
2?2Acosx?．而在这同一半波长上，各质点的振的，即振幅变化规律可表示为
动位相则是相同的，即以相邻两波节的介质为一段，同一段介质内各质点都有相
同的振动位相，而相邻两段介质内的质点振动位相则相反．
9-4 已知波源在原点的一列平面简谐波，波动方程为y=Acos(Bt?Cx)，其中A，B，C为正值恒量．求：
(1)波的振幅、波速、频率、周期与波长；
(2)写出传播方向上距离波源为l处一点的振动方程；
(3)任一时刻，在波的传播方向上相距为d的两点的位相差． 解: (1)已知平面简谐波的波动方程 y?Acos(Bt?Cx) (x?0) 将上式与波动方程的标准形式
xy?Acos(2??t?2?)?
比较，可知：
B??2?， 波振幅为A，频率
2?B??u????C，波速C， 波长
2??B． 波动周期
(2)将x?l代入波动方程即可得到该点的振动方程 y?Acos(Bt?Cl)
(3)因任一时刻t同一波线上两点之间的位相差为
2????(x2?x1)?
2???C代入上式，即得 将x2?x1?d，及
???Cd．
T?1?
9-5 沿绳子传播的平面简谐波的波动方程为y=0.05cos(10?t?4?x)，式中x,y以米计，t以秒计．求： (1)波的波速、频率和波长；
(2)绳子上各质点振动时的最大速度和最大加速度；
t=1s时的位相，(3)求x=0.2m它是原点在哪一时刻的位相?这一位相
所代表的运动状态在t=1.25s时刻到达哪一点? 解: (1)将题给方程与标准式
2?y?Acos(2??t?x)?
?1?1相比，得振幅A?0.05m，频率??5s，波长??0.5m，波速u????2.5m?s． (2)绳上各点的最大振速，最大加速度分别为 vmax??A?10??0.05?0.5?m?s?1
amax??2A?(10?)2?0.05?5?2m?s?2 (3)x?0.2m处的振动比原点落后的时间为 x0.2??0.08s u2.5故x?0.2m,t?1s时的位相就是原点(x?0)，在t0?1?0.08?0.92s时的位相，
即 ??9.2π．
设这一位相所代表的运动状态在t?1.25s时刻到达x点，则 x?x1?u(t?t1)?0.2?2.5(1.25?1.0)?0.825m
9-6一平面余弦波，沿直径为14cm的圆柱形管传播，波的强度为18.0×10-3J·m-2·s-1，频率为300 Hz，波速为300m·s-1，求 ： (1)波的平均能量密度和最大能量密度? (2)两个相邻同相面之间有多少波的能量? 解: (1)∵ I?wu
I10?3w??18.0??6?10?5J?m?3 u300∴
wmax?2w?1.2?10?4 J?m?3
11uW??V?w?d2??w?d244? (2)
??9-7 S1和S2为两相干波源，振幅均为A1，相距4，S1较S2位相超前2，求： (1) S1外侧各点的合振幅和强度；
(2) S2外侧各点的合振幅和强度
解：（1）在S1外侧，距离S1为r1的点，S1S2传到该P点引起的位相差为
2????r?(r?)???112??4??
2A?A1?A1?0,I?A?0
（2）在S2外侧.距离S2为r1的点，S1S2传到该点引起的位相差.
?2??????(r2??r2)?02?4
22A?A1?A1?2A1,I?A?4A1
9-8如题9-8图所示，设B点发出的平面横波沿BP方向传播，它在B点的振动
?3方程为y1?2?10cos2?t;C点发出的平面横波沿CP方向传播，它在C点的振
?????3CPt以s计．动方程为y2?2?10cos(2?t??)，本题中y以m计，设BP＝0.4m，
＝0.5 m，波速u=0.2m·s-1，求： (1)两波传到P点时的位相差；
(2)当这两列波的振动方向相同时，P处合振动的振幅；
*(3)当这两列波的振动方向互相垂直时，P处合振动的振幅．
2????(?2??1)?(CP?BP)? 解: (1)
????(CP?BP)u 2????(0.5?0.4)?00.2
1300?6?10?5???(0.14)2??9.24?10?7J 4300?题9-8图
(2)P点是相长干涉，且振动方向相同，所以 AP?A1?A2?4?10?3m
(3)若两振动方向垂直，又两分振动位相差为0，这时合振动轨迹是通过Ⅱ，Ⅳ象限的直线，所以合振幅为
2A?A12?A2?2A1?22?10?3?2.83?10?3m
9-9 一驻波方程为y=0.02cos20xcos750t(SI)，求： (1)形成此驻波的两列行波的振幅和波速； (2)相邻两波节间距离． 解: (1)取驻波方程为
y?2Acos2??xcos2??tu
故知
7502?????202???750，则2?， u
2??2??750/2?u???37.5m?s?1 2020∴
u2??/20????0.1??0.314??m所以相邻两波节间距离 (2)∵??x??0.1572m
9-10 在弦上传播的横波，它的波动方程为y1=0.1cos(13t+0.0079x) (SI) 试写出一个波动方程，使它表示的波能与这列已知的横波叠加形成驻波，并在x=0处为波 节．
解: 为使合成驻波在x?0处形成波节，则要反射波在x?0处与入射波有?的位相差，故反射波的波动方程为
y2?0.1cos(13t?0.0079x??)
9-11 汽车驶过车站时，车站上的观测者测得汽笛声频率由1200Hz变到了1000 Hz，设空气中声速为330m·s-1，求汽车的速率．
解: 设汽车的速度为vs，汽车在驶近车站时，车站收到的频率为
u?0u?vs u?2??0u?vs汽车驶离车站时，车站收到的频率为
联立以上两式，得
???1200?1000?1?u12?300??30?1??21200?100m?s?1
9-12 两列火车分别以72km·h-1和54 km·h-1的速度相向而行，第一列火车发出一个600 Hz的汽笛声，若声速为340 m·s-1，求第二列火车上的观测者听见该声音的频率在相遇前和相遇后分别是多少?
?1?1解: 设鸣笛火车的车速为v1?20m?s，接收鸣笛的火车车速为v2?15m?s，
A?0.02?0.012m
?1?则两者相遇前收到的频率为
u?v2340?15?1??0??600?665u?v1340?20 Hz 两车相遇之后收到的频率为
u?v2340?15?1??0??600?541u?v1340?20 Hz
习题十