大学物理 简明教程 习题 解答 答案

习题一

drdrdvdv1-1 ｜?r｜与?r有无不同?dt和dt有无不同? dt和dt有无不同?其不同在哪里?试举例说明．

???r?r?r?r?r?r2?r1；21，解：（1）是位移的模，?r是位矢的模的增量，即

drdrds（2）dt是速度的模，即dt?v?dt.

drdt只是速度在径向上的分量.

?drdrdr??r?r??dtdtdt rr?rr∵有（式中叫做单位矢），则

dr式中dt就是速度径向上的分量，

drdr与∴dtdt不同如题1-1图所示. 题1-1图

?dv?dvdva?dt，dt是加速度a在切向上的分量. (3)dt表示加速度的模，即

??v?v?(?表轨道节线方向单位矢）∵有，所以

??dvdv?d????vdtdtdt

dv式中dt就是加速度的切向分量.

???d??dr?与dt的运算较复杂，超出教材规定，故不予讨论) (dt1-2 设质点的运动方程为x=x(t)，y=y(t)，在计算质点的速度和加速度时，

d2rdr222x?y有人先求出r＝，然后根据v=dt，及a＝dt而求得结果；又有人先

计算速度和加速度的分量，再合成求得结果，即

?d2x??d2y??dx??dy????????dt2?????dt2??dtdt???? ???? v=及a=

你认为两种方法哪一种正确？为什么？两者差别何在？

解：后一种方法正确.因为速度与加速度都是矢量，在平面直角坐标系中，有

2222???r?xi?yj，

故它们的模即为

??drdx?dy??v??i?jdtdtdt??d2rd2x?d2y?a?2?2i?2jdtdtdt

?dx??dy?v?v?v???????dt??dt?2x2y2222?dx??dy?22a?ax?ay???dt2?????dt2??????

而前一种方法的错误可能有两点，其一是概念上的错误，即误把速度、加速度定义作

drd2rv?a?2dtdt

drd2rdr与2其二，可能是将dtdt误作速度与加速度的模。在1-1题中已说明dt不是速

d2r2度的模，而只是速度在径向上的分量，同样，dt也不是加速度的模，它只是加

2?d2r?d??????a径?2?r?dtdt?????。或者概括性地说，前一种方速度在径向分量中的一部分???法只考虑了位矢r在径向（即量值）方面随时间的变化率，而没有考虑位矢r及

?速度v的方向随间的变化率对速度、加速度的贡献。 1-3 一质点在xOy平面上运动，运动方程为

221x=3t+5, y=2t2+3t-4.

式中t以 s计，x,y以m计．(1)以时间t为变量，写出质点位置矢量的表示式；(2)求出t=1 s 时刻和t＝2s 时刻的位置矢量，计算这1秒内质点的位移；(3)计算t＝0 s时刻到t＝4s时刻内的平均速度；(4)求出质点速度矢量表示式，计算t＝4 s 时质点的速度；(5)计算t＝0s 到t＝4s 内质点的平均加速度；(6)求出质点加速度矢量的表示式，计算t＝4s 时质点的加速度(请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式)．

?1??r?(3t?5)i?(t2?3t?4)j2m 解：（1）

(2)将t?1,t?2代入上式即有

???r1?8i?0.5j m

???r2?11j?4jm

??????r?r2?r1?3j?4.5jm

??????r?5j?4j,r?17i?16j 4(3)∵ 0???????r?r?r12i?20j?v??40??3i?5jm?s?1?t4?04∴

????drv??3i?(t?3)jm?s?1dt(4)

???v?3i?7j m?s?1 则 4??????v?3i?3j,v?3i?7j 4(5)∵ 0??????vv4?v04a????1jm?s?2?t44 ???dva??1jm?s?2dt(6)

这说明该点只有y方向的加速度，且为恒量。

1-4 在离水面高h米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，船在离岸S处，如题1-4图

?1所示．当人以v0(m·s)的速率收绳时，试求船运动的速度和加速度的大小．

图1-4

解： 设人到船之间绳的长度为l，此时绳与水面成?角，由图可知

222 l?h?s 将上式对时间t求导，得

dlds?2sdt dt1-4图

根据速度的定义，并注意到l,s是随t减少的，

dldsv绳???v0,v船??dtdt ∴

2l 题

vdsldll???v0?0dtsdtscos? 即

lv0(h2?s2)1/2v0v船??ss或

将v船再对t求导，即得船的加速度

v船??dlds?ldv?v0s?lv船a?船?dt2dtv0?v02dtssl22(?s?)v02h2v0s??32ss

2?21-5 质点沿x轴运动，其加速度和位置的关系为 a＝2+6x，a的单位为m?s，x的单位为 m. 质点在x＝0处，速度为10m?s?1,试求质点在任何坐标处的速度s值．

解： ∵

a?dvdvdxdvdt?dxdt?vdx 分离变量： ?d??adx?(2?6x2)dx

1两边积分得 2v2?2x?2x3?c 由题知，x?0时，v0?10,∴c?50

∴ v?2x3?x?25m?s?1

1-6 已知一质点作直线运动，其加速度为 a＝4+3tm?s?2，开始运动时，m，v=0，求该质点在t＝10s 时的速度和位置．

解：∵ a?dvdt?4?3t

分离变量，得 dv?(4?3t)dt

积分，得 v?4t?32t2?c1

由题知，t?0,v0?0,∴c1?0

故

v?4t?32t2 v?dx?4t?3t2又因为

dt2 分离变量， dx?(4t?32t2)dt

积分得 x?2t2?12t3?c2

由题知 t?0,x0?5,∴c2?5

x?2t2?1t3故2?5

所以t?10s时

x＝5