【点睛】

本题主要考查了以空间几何体的结构特征为载体的谜题的真假判定及应用，其中解答中涉及到棱柱的集合特征，异面直线的关系和椎体的体积，以及投影的综合应用，着重考查了推理与论证能力，属于中档试题. 16．抛物线y2?4x上到其焦点F距离为5的点有_______个． 【答案】2 【解析】 【分析】

设符合条件的点P(x0,y0),由抛物线的定义可得PF?x0?1?5,即可求解. 【详解】

设符合条件的点P(x0,y0),则PF?x0?1?5,?x0?4,y0??4,所以符合条件的点有2个. 故答案为:2 【点睛】

本题考查抛物线的定义的应用,考查抛物线的焦半径.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．诚信是立身之本，道德之基，我校学生会创设了“诚信水站”，既便于学生用水，又推进诚信教育，并用“

周实际回收水费”表示每周“水站诚信度”，为了便于数据分析，以四周为一周期，如表为该水站连续

周投入成本十二周（共三个周期）的诚信数据统计： 第一周期 第二周期 第三周期 第一周 第二周 第三周 第四周 95% 94% 98% 94% 92% 83% 88% 80% 96% 85% 92% 95% （Ⅰ）计算表中十二周“水站诚信度”的平均数x；

（Ⅱ）若定义水站诚信度高于90%的为“高诚信度”，90%以下为“一般信度”则从每个周期的前两周中随

机抽取两周进行调研，计算恰有两周是“高诚信度”的概率；

（Ⅲ）已知学生会分别在第一个周期的第四周末和第二个周期的第四周末各举行了一次“以诚信为本”的主题教育活动，根据已有数据，说明两次主题教育活动的宣传效果，并根据已有数据陈述理由. 【答案】（Ⅰ）91%；（Ⅱ）【解析】 【分析】

（Ⅰ）结合表中的数据，代入平均数公式求解即可；

（Ⅱ）设抽到“高诚信度”的事件为Ai，则抽到“一般信度”的事件为B，则随机抽取两周，则有两周为“高诚信度”事件为C，利用列举法列出所有的基本事件和事件C所包含的基本事件，利用古典概型概率计算公式求解即可；

（Ⅲ）结合表中的数据判断即可. 【详解】

（Ⅰ）表中十二周“水站诚信度”的平均数

2；（Ⅲ）两次活动效果均好，理由详见解析. 3x?95?98?92?88?94?94?83?80?85?92?95?961??91%.

12100（Ⅱ）设抽到“高诚信度”的事件为Ai，则抽到“一般信度”的事件为B，则随机抽取两周均为“高诚信度”事件为C，总的基本事件为

A1A2、A1A3、A1A4、A1A5、A2A3、A2A4、A2A5、A3A4、A3A5、A4A5、A1B、A2B、A3B、A4B,、A5B共15种， A1A3、A1A4、A1A5、A2A3、 A2A4、 A2A5、A3A4、 A3A5、 A4A5共10种， 事件C所包含的基本事件为A1A2、由古典概型概率计算公式可得，P(C)?（Ⅲ）两次活动效果均好.

理由：活动举办后，“水站诚信度'由88%?94%和80%?85%看出，后继一周都有提升. 【点睛】

本题考查平均数公式和古典概型概率计算公式；考查运算求解能力；利用列举法正确列举出所有的基本事件是求古典概型概率的关键；属于中档题、常考题型.

102?. 153x218．已知椭圆C:?y2?1的右顶点为A，点P在y轴上，线段AP与椭圆C的交点B在第一象限，过

2点B的直线l与椭圆C相切，且直线l交x轴于M.设过点A且平行于直线l的直线交y轴于点Q. （Ⅰ）当B为线段AP的中点时，求直线AB的方程；

（Ⅱ）记?BPQ的面积为S1，?OMB的面积为S2，求S1?S2的最小值. 【答案】（Ⅰ）直线AB的方程为y??6x?2（Ⅱ）2 2??【解析】 【分析】

（1）设点P?0,y0??y0?0?，利用中点坐标公式表示点B，并代入椭圆方程解得y0，从而求出直线AB的方程；（2）设直线l的方程为：y?kx?m?k?0,m?0?，表示点M???m?,0?，然后联立方程，利用相?k?切得出m2?2k2?1，然后求出切点B???2k1?,?，再设出设直线AQ的方程，求出点Q0,?2k，利mm????用A，B两点坐标，求出直线AB的方程，从而求出P?0,??1??，最后利用以上已求点的坐标表示面

2k?m?积，根据基本不等式求最值即可. 【详解】

x2解：（Ⅰ）由椭圆C:?y2?1，可得：A2?2,0

2 2?由题意：设点P?0,y0??y0?0?，当B为PA的中点时，可得：xB??23?3, 代入椭圆方程，可得：yB?所以：B????222??所以kAB?322?22??66.故直线AB的方程为y??x?2. 22??（Ⅱ）由题意，直线l的斜率存在且不为0， 故设直线l的方程为：y?kx?m?k?0,m?0? 令y?0，得：x??m??m?,0?. ，所以：M?kk???y?kx?m222联立：?2，消y，整理得：?2k?1?x?4kmx?2m?2?0. 2?x?2y?2?0因为直线l与椭圆相切，所以??16km?42k?12m?2?0. 即m2?2k2?1. 设B?x1,y1?，则x1?22?2??2??2km?2km1?y?kx?m??，， 112k2?1m2k2?1m??2k1?B,?. 所以??mm?又直线AQ//直线l，所以设直线AQ的方程为：y?kx?2.

??令x?0，得y??2k，所以：Q0,?2k.

??因为kAB11m??，

?2k?2?2k?2mm1x?2.

?2k?2m所以直线AB的方程为：y???令x?0，得y?11??，所以：P?0,?.

2k?m2k?m??所以PQ?12k2?2km?1m2?2km?2k???m.

2k?m2k?m2k?m11?2kPQxB?m?k. 22m又因为S1?S2?11?m11OMyB??. 22km2k1112k??2所以S1?S2?k?（当且仅当，即k??时等号成立）

2k22k2所以?S1?S2?min?2. 【点睛】

本小题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查直线方程以及求椭圆中的最值问题，最值问题一般是把目标式求出，结合目标式特点选用合适的方法求解，侧重考查数学运算的核心素养，本题利用了基本不等式求最小值的方法，运算量较大，属于难题.

19．已知正项数列?an?的前n项和Sn?an?2?2,n?N*. （1）若数列?an?为等比数列，求数列?an?的公比q的值；

2（2）设正项数列?bn?的前n项和为Tn，若b1?1，且2Tn?bn?1?n?1.

①求数列?bn?的通项公式； ②求证：

aia1?a2?a3?. ?bi22i?11?5；（2）①bn?n；②详见解析. 2n【答案】（1）q?【解析】 【分析】