高等数学教案 §10曲线积分与曲面积分

??1)?

解 取坐标系如图所示? 则I? 曲线L的参数方程为

x?Rcos?? y?Rsin? (????

?Ly2ds??R2sin2?(?Rsin?)2?(Rcos?)2d?

?? ?R3????sin2?d??R3(??sin? cos?)?

例3 计算曲线积分

??(x2?y2?z2)ds? 其中?为螺旋线x?acost、y?asint、z?kt上相应

于t从0到达2?的一段弧?

解 在曲线?上有x2?y2?z2?(a cos t)2?(a sin t)2?(k t)2?a2?k 2t 2? 并且 ds?(?asint)2?(acost)2?k2dt?a2?k2dt? 于是

??(x2?y2?z2)ds??(a2?k2t2)a2?k2dt

02? ?2?a2?k2(3a2?4?2k2)?

3 小结? 用曲线积分解决问题的步骤? (1)建立曲线积分?

(2)写出曲线的参数方程 ( 或直角坐标方程) ? 确定参数的变化范围? (3)将曲线积分化为定积分? (4)计算定积分?

§10? 2 对坐标的曲线积分

一、对坐标的曲线积分的概念与性质 变力沿曲线所作的功?

设一个质点在xOy面内在变力F(x? y)?P(x? y)i?Q(x? y)j的作用下从点A沿光滑曲线弧L移动到点B? 试求变力F(x? y)所作的功?

用曲线L上的点A?A0? A1? A2? ? ? ?? An?1? An?B把L分成n个小弧段? 设Ak?(xk ? yk)? 有向线段AkAk?1的长度为?sk? 它与x轴的夹角为?k ? 则

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AkAk?1?{cos?k,sin?k}?sk(k?0? 1? 2? ? ? ?? n?1)?

??显然? 变力F(x? y)沿有向小弧段Ak Ak?1所作的功可以近似为 F(xk,yk)?AkAk?1?[P(xk,yk)cos?k?Q(xk,yk)sin?k]?sk? 于是? 变力F(x? y)所作的功 W??从而

W??[P(x,y)cos??Q(x,y)sin?]ds?

L这里???(x? y)? {cos?? sin?}是曲线L在点(x? y)处的与曲线方向一致的单位切向量?

把L分成n个小弧段? L1? L2? ? ? ?? Ln? 变力在Li上所作的功近似为?

F(?i? ?i)??si?P(?i? ?i)?xi?Q(?i? ?i)?yi ? 变力在L上所作的功近似为?

n?1?F(xk,yk)?AkAk?1k?1n?1???[P(xk,yk)cos?k?Q(xk,yk)sin?k]?sk?

k?1?[P(?i,?i)?xi?Q(?i,?i)?yi]?

i?1nn 变力在L上所作的功的精确值? W?lim??0?[P(?i,?i)?xi?Q(?i,?i)?yi]?

i?1其中?是各小弧段长度的最大值? 提示?

用?si?{?xi??yi}表示从Li的起点到其终点的的向量? 用?si表示?si的模? 对坐标的曲线积分的定义?

定义 设函数f(x? y)在有向光滑曲线L上有界? 把L分成n个有向小弧段L1? L2? ? ? ?? Ln? 小弧段Li的起点为(xi?1? yi?1)? 终点为(xi? yi)? ?xi?xi?xi?1? ?yi?yi?yi?1? (?i? ?)为Li上任意一点? ?为各小弧段长度的最大值?

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如果极限lim??0?f(?i,?i)?xi总存在? 则称此极限为函数

i?1n f(x? y)在有向曲线L上对坐标x的曲线积分? 记作

?Lf(x,y)dx? 即

lim?f(?i,?i)?xi? ?Lf(x,y)dx???0i?1 如果极限limn??0?f(?i,?i)?yi总存在? 则称此极限为函数

i?1n f(x? y)在有向曲线L上对坐标x的曲线积分? 记作

?Lf(x,y)dy? 即

lim?f(?i,?i)?yi? ?Lf(x,y)dy???0i?1

设L为xOy面上一条光滑有向曲线? {cos?? sin?}是与曲线方向一致的单位切向量? 函数P(x? y)、Q(x? y)在L上有定义? 如果下列二式右端的积分存在? 我们就定义

n?LP(x,y)dx??LP(x,y)cos?ds? ?LQ(x,y)dy??LQ(x,y)sin?ds?

前者称为函数P(x? y)在有向曲线L上对坐标x的曲线积分? 后者称为函数Q(x? y)在有向曲线L上对坐标y的曲线积分? 对坐标的曲线积分也叫第二类曲线积分? 定义的推广?

设?为空间内一条光滑有向曲线? {cos?? cos?? cos?}是曲线在点(x? y? z)处的与曲线方向一致的单位切向量? 函数P(x? y? z)、Q(x? y? z)、R(x? y? z)在?上有定义? 我们定义(假如各式右端的积分存在)

??P(x,y,z)dx???P(x,y,z)cos?ds? ??Q(x,y,z)dy???Q(x,y,z)cos?ds? ??R(x,y,z)dz???R(x,y,z)cos?ds?

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lim?f(?i,?i,?i)?xi? ?Lf(x,y,z)dx???0i?1lim?f(?i,?i,?i)?yi? ?Lf(x,y,z)dy???0i?1lim?f(?i,?i,?i)?zi? ?Lf(x,y,z)dz???0i?1对坐标的曲线积分的简写形式?

nnn?LP(x,y)dx??LQ(x,y)dy??LP(x,y)dx?Q(x,y)dy? ??P(x,y,z)dx???Q(x,y,z)dy???R(x,y,z)dz

??P(x,y,z)dx?Q(x,y,z)dy?R(x,y,z)dz?

?

对坐标的曲线积分的性质? (1) 如果把L分成L1和L2? 则

?LPdx?Qdy??LPdx?Qdy??LPdx?Qdy?

12 (2) 设L是有向曲线弧? ?L是与L方向相反的有向曲线弧? 则

??LP(x,y)dx?Q(x,y)d???LP(x,y)dx?Q(x,y)dy?

两类曲线积分之间的关系?

设{cos?i? sin?i}为与?si同向的单位向量? 我们注意到{?xi? ?yi}??si? 所以 ?xi?cos?i??si? ?yi?sin?i??si?

lim?f(?i,?i)?xi ?Lf(x,y)dx???0i?1n ?lim??0?f(?i,?i)cos?i?si??Lf(x,y)cos?ds?

i?1nn

lim?f(?i,?i)?yi ?Lf(x,y)dy???0i?1重庆三峡学院高等数学课程建设组