...

解：（Ⅰ）因为

| x | 1，所以 |x

1

| 2，

2

所以 S 中的元素有 (1,2),(1, 2),( 1,2),( 1, 2) .

2

...

...

（Ⅱ）先证充分性

因为对于任意的 i { 1,2,3, ,n} ，都有 a

i

n

n

b ，所以

i

i 1

a

i

i 1

b ．

i

再证必要性 所以

因为 | | 1,|

x

1

| 2| | x x ，所以数列 {| xi |} 是以 1 为首项， 2 为公比的等比数列，

i 1

i

i 1

i

| x | 2 ．

假设存在j {2,3,

,n} ，使得 | aj | | bj |．

所以 a

j

b 或 a

j

b ．

j

j

若

a

j

b ，不妨设 aj

j j 1

j 1

0，则bj 0 ，

j 1

因为 |a |

1

|b| 1，

1

1 2

j -1

j 1

x ≤

i i 1

i 1

| x |

i

2

1 2

1 | x | 2 ．

j

j

j j j

所以

i 1

a

i

0，

i 1

b

0 ，这与a b 矛盾．

i

i

b

0 ，这与a

i

b 矛盾．

i 1

i 1

所以 a

j

b ．

j

当 j

2 时，必有 a

1

b ．

1

所以 对于任意 i {1,2,3, ,n} ，都有 a

i

b ．

i

n n

综上所述， “ a

i i 1

i

b ”的充要条件是 “a

i

b (i 1,2,3, ,n) ”．

i i 1

（Ⅲ）因为

n

n 1

1

n 1

1 2

n-1

n 1

x ≤

i

i 1

i 1

| x |

i

2

1 2

1 | x | 2 ，

n

所以

n

i 1

x 为正数，当且仅当

i

xn

0．

2k 1

或

k 1

因为 对于任意的正整数 k

1

1

1

n 1

，所以

n，

x

k

2

，所以集合 Tn 中，元素为正数的

n 1

n 1

n 1

个数为

C C

2 2 n 1

个

C

2

2

所有的正数元素的和为

n 1

n

2 x 2 2 4 .

...