2019年北京市丰台区高三年级一模数学(理)试题及答案 下载本文

...

π π

因为

[ , ] 是函数 y sin x 的增区间, 2 2

π

所以 2m ≤ .

3 2 π

所以 m≤ .

12

所以 m 的最大值为

12

.

16.(共 13 分)

解:(Ⅰ)设该生选中月平均收入薪资高于

8500 元的城市为事件A.

8500 元的有 6 个,

因为 15 座城市中月平均收入薪资高于

2 所以

P(A) .

5

(Ⅱ)由(Ⅰ)知选中平均薪资高于

8500 元的城市的概率为

2

3 , ,低于 8500 元的概率为

5 5

2

所以 X ~ B(2, ) .

5 3

9

2

P( X

0) ( ) ;

5 25 2 3 12 1

P( X 1) C

2

5 5 25 2 4 2

2

P( X 2) C

2

( ) 5

25

.

所以随机变量 X 的分布列为:

P

0 1 2

25

所以 X 的数学期望为 E(X ) 2

5

(Ⅲ)

2 1

2

X

9

12

25 2

4 25

4 5

.

s s

2

.

2029.(共 14 分)

解:(Ⅰ)因为 平面 ABCD

BC 所以 BC 因为 AA1

所以 BC

平面 ABB A ,平面 ABCD

1 1

平面 ABCD ,

平面 ABB1 A1 .

平面

1

平面 ABB A

1 1

AB, AB

BC ,

ABBA,

1

1

AA .

(Ⅱ)取 A1B1 的中点 N ,连结BN .

平行四边形ABB1A1 中 AB AA1 , BAA1

由(Ⅰ)知 BC 平面 ABB A .

1 1

60 .易证BN A1B1 .

z

C

1

故以为 B原点, BA,BN,BC 所在直线为坐标轴,

建立如图所示空间直角坐标系B xyz.

C

D

D

1

...

...

依题意, A(2,0,0), A (1, 3,0), D (1,0,1) ,

1

M

B

1

设平面 DAA1 的一个法向量为 n ( x, y, z) 则

x

B

A

1

N

y

A

AA1 ( 1,3,,0), AD ( 1,0,1)

...

...

n AA1 n AD

0

, 即 0

x

3y 0

x z 0

令 y = 1,得 n = (

3,1, 3).

易知平面 ABB A 的一个法向量为 m = (0,0,1) ,

1 1

设二面角 D AA1 B 的平面角为 α,可知

为锐角,

cos cos n,m

n m

21

3

n m

7

3 1 3

21

, 7

即二面角 D AA1 B 的余弦值为

(Ⅲ)解:设 DM

DB ,

1 1

[0,1] , M (x, y, z) .

, C (0,0,1) ,

因为 D (1,0,1) , B

( 1, 3,0)

( x 1,y,z 1)

.

所以 DB1 所以 x

( 2, 3, 1),DM

3 ,z 1 ) )

1 2 , y

M (1 2 , 3 ,1 CM (1 2 , 3 ,

因为 CM ∥ 平面 DAA

1

所以 CM n = 0

3(1 2 ) 3 3

0,所以 λ=

1

. 2

DM

所以存在点 M ,使得 CM∥ 平面 DAA1 ,此时

DB

1

1 . 2

2030.(共 13 分)

x

解:(Ⅰ)因为 a 0 , x R 所以 f ( x) (x 2)e ,

故 f ( x) ( x 1)e ,

x

令 f ( x) 0,得 x 1 ,所以单调递增区间为 令 f ( x) 0,得 x 1 ,所以单调递区 为间

x

(1, (

) ;

,1) .

(Ⅱ)由题可得 f (x) (x 1)(e ax) .

ax 0恒成立,

① 当 a ≤ 0 时,对任意x (0,+ ) ,都有 ex 所以当 0

x 1 时, f ( x) 0 ;当 x 1 时, f ( x) 0 .

所以函数 f (x) 在 x 1 处取得极小值,符合题意.

x

② 当 0 a ≤ e时,设 g( x) = e

x

ax ,依然取 x (0,+ ) .

g ( x) = e 则a ,令 g ( x) = 0 ,得 x = ln a ,

) 上单调递增,

所以 g( x) 在 (0,ln a) 上单调递减,在区间(ln a,

...

...

所以 g(x)min g (ln a) a(1 ln a) .

a(1 ln a )≥ 0(当且仅当 a=e时,等号成立,此时

因为 0 a ≤ e ,所以 g( x)min

x 1 ).

所以对任意 x (0,1) (1, ) ,都有 ex

ax 0 恒成立 .

所以当 0

x 1 时, f ( x) 0 ;当 x 1 时, f ( x) 0 .

所以函数 f (x) 在 x 1 处取得极小值,符合题意

.

综上①②可知:当 a ≤ e 时 x 1 是函数 f ( x) 的极小值点 .

19.(共 14 分) 解:(Ⅰ)由题意得

2

2 =4p

,解得

p 1.

所以抛物线 C 的准线方程为

x

p 1

2

2

2

2

y

y

1

2

A ,y ,B

, y , (Ⅱ)设

1

2

2

2

y

y

2

2 1 1 由 AB∥OM 得 k,所以AB

kOM

1,则

2

2

y

y

y

y

2

1

2

1

2

2

所以线段AB中点 Q 的为纵坐标y

1.

Q

直线 AO 方程为

y

2 1

┅ ① y

x x

2

y

y

1

1

2

y

2 2

直线 BM 方程为

2

┅ ②

y 2

x 2

x 2

2

y

y

2

2

2

2

2

联立①②解得

x y 1

2 ,即点 P的为纵坐标yP 1. y 1

如果直线 BM 斜率不存在,结论也显然成立. 所以直线 PQ 与 x 轴平行.

20.(共 13 分)

...

y2 y1 2.