...
π π
因为
[ , ] 是函数 y sin x 的增区间， 2 2
π
所以 2m ≤ .
3 2 π
所以 m≤ .
12
所以 m 的最大值为
12
.
16．（共 13 分）
解：（Ⅰ）设该生选中月平均收入薪资高于
8500 元的城市为事件A.
8500 元的有 6 个，
因为 15 座城市中月平均收入薪资高于
2 所以
P(A) .
5
（Ⅱ）由（Ⅰ）知选中平均薪资高于
8500 元的城市的概率为
2
3 ， ，低于 8500 元的概率为
5 5
2
所以 X ~ B(2, ) .
5 3
9
2
P( X
0) ( ) ；
5 25 2 3 12 1
P( X 1) C
2
；
5 5 25 2 4 2
2
P( X 2) C
2
( ) 5
25
.
所以随机变量 X 的分布列为：
P
0 1 2
25
所以 X 的数学期望为 E(X ) 2
5
（Ⅲ）
2 1
2
X
9
12
25 2
4 25
4 5
.
s s
2
.
2029.（共 14 分）
解：（Ⅰ）因为 平面 ABCD
BC 所以 BC 因为 AA1
所以 BC
平面 ABB A ，平面 ABCD
1 1
平面 ABCD ，
平面 ABB1 A1 .
平面
1
平面 ABB A
1 1
AB， AB
BC ，
ABBA，
1
1
AA .
（Ⅱ）取 A1B1 的中点 N ，连结BN .
平行四边形ABB1A1 中 AB AA1 ， BAA1
由（Ⅰ）知 BC 平面 ABB A .
1 1
60 .易证BN A1B1 .
z
C
1
故以为 B原点， BA，BN，BC 所在直线为坐标轴，
建立如图所示空间直角坐标系B xyz.
C
D
D
1
...
...
依题意， A(2,0,0), A (1, 3,0), D (1,0,1) ，
1
M
B
1
设平面 DAA1 的一个法向量为 n ( x, y, z) 则
x
B
A
1
N
y
A
AA1 ( 1，3，,0）， AD ( 1,0,1)
...
...
则
n AA1 n AD
0
， 即 0
x
3y 0
，
x z 0
令 y = 1，得 n = (
3,1, 3)．
易知平面 ABB A 的一个法向量为 m = (0,0,1) ，
1 1
设二面角 D AA1 B 的平面角为 α，可知
为锐角，
则
cos cos n,m
n m
21
3
n m
7
3 1 3
．
21
， 7
即二面角 D AA1 B 的余弦值为
（Ⅲ）解：设 DM
DB ，
1 1
[0,1] ， M (x, y, z) ．
， C (0,0,1) ，
因为 D (1,0,1) ， B
( 1, 3,0)
( x 1,y,z 1)
.
所以 DB1 所以 x
( 2, 3, 1),DM
3 ,z 1 ) )
1 2 , y
M (1 2 , 3 ,1 CM (1 2 , 3 ,
因为 CM ∥ 平面 DAA
1
所以 CM n = 0
即
3(1 2 ) 3 3
0，所以 λ=
1
． 2
DM
所以存在点 M ，使得 CM∥ 平面 DAA1 ，此时
DB
1
1 ． 2
2030.（共 13 分）
x
解：（Ⅰ）因为 a 0 ， x R 所以 f ( x) (x 2)e ，
故 f ( x) ( x 1)e ，
x
令 f ( x) 0，得 x 1 ，所以单调递增区间为 令 f ( x) 0，得 x 1 ，所以单调递区 为间
x
(1, (
) ；
,1) ．
（Ⅱ）由题可得 f (x) (x 1)(e ax) .
ax 0恒成立，
① 当 a ≤ 0 时，对任意x (0,+ ) ，都有 ex 所以当 0
x 1 时， f ( x) 0 ；当 x 1 时， f ( x) 0 .
所以函数 f (x) 在 x 1 处取得极小值，符合题意.
x
② 当 0 a ≤ e时，设 g( x) = e
x
ax ，依然取 x (0,+ ) .
g ( x) = e 则a ，令 g ( x) = 0 ，得 x = ln a ，
) 上单调递增，
所以 g( x) 在 (0,ln a) 上单调递减，在区间(ln a,
...
...
所以 g(x)min g (ln a) a(1 ln a) .
a(1 ln a )≥ 0（当且仅当 a=e时，等号成立，此时
因为 0 a ≤ e ，所以 g( x)min
x 1 ）.
所以对任意 x (0,1) (1, ) ，都有 ex
ax 0 恒成立 .
所以当 0
x 1 时， f ( x) 0 ；当 x 1 时， f ( x) 0 .
所以函数 f (x) 在 x 1 处取得极小值，符合题意
.
综上①②可知：当 a ≤ e 时 x 1 是函数 f ( x) 的极小值点 .
19．（共 14 分） 解：（Ⅰ）由题意得
2
2 =4p
，解得
p 1．
所以抛物线 C 的准线方程为
x
p 1
2
2
．
2
2
y
y
1
2
A ,y ,B
, y ， （Ⅱ）设
1
2
2
2
y
y
2
2 1 1 由 AB∥OM 得 k，所以AB
kOM
1，则
2
2
y
y
y
y
2
1
2
1
2
2
所以线段AB中点 Q 的为纵坐标y
1．
Q
直线 AO 方程为
y
2 1
┅ ① y
x x
2
y
y
1
1
2
y
2 2
直线 BM 方程为
2
┅ ②
y 2
x 2
x 2
2
y
y
2
2
2
2
2
联立①②解得
x y 1
2 ，即点 P的为纵坐标yP 1． y 1
如果直线 BM 斜率不存在，结论也显然成立． 所以直线 PQ 与 x 轴平行．
20．（共 13 分）
...
y2 y1 2．