【解析】

Ⅰ 由题意利用相互独立及其对立事件的概率计算公式可得

．

Ⅱ 由题意，令网购者获得减免的总金额为随机变量 （单位：百元），则 的值可以为 ， ， ， ， ， ， ．再利用相互独立事件的概率计算公式即可得出． 【解答】

由题意，得 ，

因为 ，解得 ．

由题意，令网购者获得减免的总金额为随机变量 （单位：百元）， 则 的值可以为 ， ， ， ， ， ， ．

而 ； ； ； ； ；

； ．

所以 的分布列为：

于是有

如图，在四棱锥 中， ， ， ． 为棱 的中点，异面直线 与 所成的角为 ．

（1）在平面 内找一点 ，使得直线 平面 ，并说明理由；

（2）若二面角 的大小为 ，求二面角 的余弦值． 【答案】 解：（1）延长 交直线 于点 ， ∵ 点 为 的中点，∴ ， ∵ ，∴ ，

试卷第13页，总21页

∵ ，即 ．∴ 四边形 为平行四边形，即 ． ∵ ，∴ ，∴ ， ∵ 平面 ， ∴ 平面 ，…

∵ ， 平面 ，∴ 平面 ，故在平面 内可以找到一点 ，使得直线 平面 …

（2）如图所示，∵ ，异面直线 与 所成的角为 ，即 又 ， ∴ 平面 ． 又 即 ∴ 平面 ∴ ．

因此 是二面角 的平面角，其大小为 ． ∴ ． …

建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设 ，则 ． ∴ ， ， ， ∴ ， ， ， 易知平面 的法向量为 设平面 的法向量为

，则

，可得： ．

令 ，则 ， ，∴ ． … 设二面角 的平面角为 ，

则

．

∴ 二面角 的余弦值为 ． …

【考点】

二面角的平面角及求法 直线与平面平行的判定 【解析】

（1）延长 交直线 于点 ，证明 ，即可使得直线 平面 ；

（2）建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设 ，则 ．求出平面的法向量，即可求二面角 的余弦值． 【解答】 解：（1）延长 交直线 于点 ， ∵ 点 为 的中点，∴ ，

试卷第14页，总21页

∵ ，∴ ，

∵ ，即 ．∴ 四边形 为平行四边形，即 ． ∵ ，∴ ，∴ ， ∵ 平面 ， ∴ 平面 ，…

∵ ， 平面 ，∴ 平面 ，故在平面 内可以找到一点 ，使得直线 平面 …

（2）如图所示，∵ ，异面直线 与 所成的角为 ，即 又 ， ∴ 平面 ． 又 即 ∴ 平面 ∴ ．

因此 是二面角 的平面角，其大小为 ． ∴ ． …

建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设 ，则 ． ∴ ， ， ， ∴ ， ， ， 易知平面 的法向量为 设平面 的法向量为

，则

，可得： ．

令 ，则 ， ，∴ ． … 设二面角 的平面角为 ，

则

．

∴ 二面角 的余弦值为 ． …

已知椭圆

的一个焦点为 ，其左顶点 在圆 ＝ 上． （1）求椭圆 的方程；

（2）直线 ＝ 交椭圆 于 ， 两点，设点 关于 轴的对称点为 （点 与点 不重合），且直线 与 轴的交于点 ，试问 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】

∵ 椭圆 的左顶点 在圆 ＝ 上，∴ 又∵ 椭圆的一个焦点为 ，∴ ＝ ∴ ＝ ＝

试卷第15页，总21页

∴ 椭圆 的方程为

设 ， ，则直线与椭圆 方程联立

化简并整理得 ＝ ， ∴ ，

由题设知 ∴ 直线 的方程为

令 ＝ 得 ∴ 点

，

（当且仅当

即

， 时等号成立）

∴ 的面积存在最大值，最大值为 ． 【考点】 椭圆的离心率 椭圆的应用

直线与椭圆的位置关系 【解析】

（1）由椭圆 的左顶点 在圆 ＝ 上，求得 ，由椭圆的一个焦点得 ＝ ，由 ＝ 得 ，即可．

（2）由题意， ，可得直线 的方程，令 ＝ ，可得点 的坐标为 ． 利用 的面积为 ，化简了基本不等式的性质即可得出． 【解答】

∵ 椭圆 的左顶点 在圆 ＝ 上，∴ 又∵ 椭圆的一个焦点为 ，∴ ＝ ∴ ＝ ＝ ∴ 椭圆 的方程为

设 ， ，则直线与椭圆 方程联立

化简并整理得 ＝ ， ∴ ，

由题设知 ∴ 直线 的方程为

令 ＝ 得 ∴ 点

，

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