将三项式 展开，当 ， ， ， ，…时，得到以下等式：
…
观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角形，其构造方法为：第 行为 ，以下各行每个数是它头上与左右两肩上 数（不足 数的，缺少的数计为 ）之和，第 行共有 个数．若在 的展开式中， 项的系数为 ，则实数 的值为________．
【答案】
【考点】 归纳推理 【解析】
由题意可得广义杨辉三角形第 行为 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，所以 的展开式中， 项的系数为 ，即可求出实数 的值． 【解答】
解：由题意可得广义杨辉三角形第 行为 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 所以 的展开式中， 项的系数为 ， 所以 ． 故答案为： ．
若 ，对任意的 ，都有 ，且 设 表示整数 的个位数字，则 ________． 【答案】
【考点】 数列递推式
数列的概念及简单表示法 【解析】
通过计算出前几项的值猜想并用数学归纳法证明 ，进而通过计算出数列
前几项的值可知从第 项起数列 是以 为周期的周期数列，进而可得结论． 【解答】
解：依题意， ， 即 ， ，解得： 或 （舍）
，即 ， 解得： 或 （舍），
，即 ， 解得： 或 （舍），
，即 ， 解得： 或 （舍），
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猜想： ．
下面用数学归纳法来证明： ①当 时，显然成立；
②假设当 时，有 ，
∵ ，
∴ ， 解得： ，或
（舍），
即当 时命题成立； 由①、②可知 ． ∴ ， ， ， ， ， ，
∴ 从第 项起数列 是以 为周期的周期数列， ∵ ， ∴ ， 故答案为： ．
三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.
在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ，
（1）若 ， ， 成等比数列， ，求 的值；
（2）若 ， ， 成等差数列，且 ，设 ， 的周长为 ，求 的最大值． 【答案】
解：（1）∵ ， ， ∴ ，
∵ ， ， 成等比数列，∴ ． … 由正弦定理得， ， ∴
…
（2）∵ 角 ， ， 成等差数列， ，∴ ， 又 ，由正弦定理得 ， ∵
，
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∴
∴ … ∴ 周长
… ∵ ，∴ 当 即 时， ，
所以 周长 的最大值为 ． …
【考点】 正弦定理
三角函数中的恒等变换应用 【解析】
（1）由题意和平方关系求出 ，由等比中项的性质和正弦定理化简后，由两角和的正弦公式、诱导公式化简已知的式子，将数据代入求值即可；
（2）由等差中项的性质和内角和定理求出 ，由条件和正弦定理求出 、 ，表示出周长为 后，由两角和与差的正弦公式化简，由正弦函数的性质和 的范围求出周长 的最大值． 【解答】
解：（1）∵ ， ， ∴ ，
∵ ， ， 成等比数列，∴ ． … 由正弦定理得， ， ∴
…
（2）∵ 角 ， ， 成等差数列， ，∴ ， 又 ，由正弦定理得 ， ∵ ∴
，
∴ …
∴ 周长
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… ∵ ，∴ 当 即 时， ，
所以 周长 的最大值为 ． …
近年来我国电子商务行业迎来蓬勃发展新机遇， 年双 期间，某网络购物平台推销了 ， ， 三种商品，某网购者决定抢购这三种商品，假设该名网购者都参与了 ， ， 三种商品的抢购，抢购成功与否相互独立，且不重复抢购同一种商品，对 ， ， 三件商品抢购成功的概率分别为 ， ， ，已知三件商品都被抢购成功的概率为 ，至少有一件商品被抢购成功的概率为 ．
（1）求 ， 的值；
（2）若购物平台准备对抢购成功的 ， ， 三件商品进行优惠减免， 商品抢购成功减免 百元， 商品抢购成功减免 比百元， 商品抢购成功减免 百元．求该名网购者获得减免总金额（单位：百元）的分别列和数学期望． 【答案】
由题意，得 ，
因为 ，解得 ．
由题意，令网购者获得减免的总金额为随机变量 （单位：百元）， 则 的值可以为 ， ， ， ， ， ， ．
而 ； ； ； ； ；
； ．
所以 的分布列为：
于是有 【考点】
离散型随机变量及其分布列 离散型随机变量的期望与方差
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