第20讲:直角三角形与勾股定理

一、复习目标

（1）掌握判定直角三角形全等的条件和直角三角形的性质。 （2）掌握角平分线性质的逆定理。 （3）掌握勾股定理及其逆定理。 二、课时安排 1课时

三、复习重难点

直角三角形的性质和判定，勾股定理及其逆定理，直角三角形全等的判定及其应用。 四、教学过程 （一）知识梳理

直角三角形的概念、性质与判定

定义 有一个角是________的三角形叫做直角三角形 (1)直角三角形的两个锐角互余 (2)在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于性质 ___________全套资料联系QQ/微信：1403225658 (3)在直角三角形中，斜边上的中线等于________________

(1)两个内角互余的三角形是直角三角形 判定 (2)一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形 拓展 11(1)SRt△ABC＝ch＝ab，其中a、b为两直角边，c为斜边，h为斜边上的高；22(2)Rt△ABC内切圆半径r＝a＋b－c2，外接圆半径R＝，即等于斜边的一半 2c勾股定理及逆定理

勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和，等于斜边c的平方．即：________

勾股定理 的逆定理 逆定理 如果三角形的三边长a、b、c有关系： ________ ，那么这个三角形是直角三角形 (1)判断某三角形是否为直角三角形； 用途 (2)证明两条线段垂直； (3)解决生活实际问题 互逆命题

如果两个命题的题设和结论正好相反，我们把这样的两个命题叫做互互逆命题 逆命题，如果我们把其中一个叫做______，那么另一个叫做它的______ 若一个定理的逆定理是正确的，那么它就是这个定理的________，称互逆定理 这两个定理为互逆定理 命题、定义、定理、公理

定义 在日常生活中，为了交流方便，我们就要对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给他们下定义 命题 定义 判断一件事情的句子叫做命题 正确的命题称为________ 分类 错误的命题称为________ 组成 公理 定理 每个命题都由______和______两个部分组成 公认的真命题称为________ 除公理以外，其他真命题的正确性都经过推理的方法证实，推理的过程称为________．经过证明的真命题称为________

（二）题型、技巧归纳

考点一：利用勾股定理求线段的长度

技巧归纳：勾股定理的作用：(1)已知直角三角形的两边求第三边；(2)已知直角三角形的一边

求另两边的关系；(3)用于证明平方关系的问题．

考点2实际问题中勾股定理的应用

技巧归纳：利用勾股定理求最短线路问题的方法：将起点和终点所在的面展开成为一个平面，进而利用勾股定理求最短长度．

考点3勾股定理逆定理的应用

技巧归纳：判断是否能构成直角三角形的三边，判断的方法是：判断两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可判断．

考点4定义、命题、定理、反证法

技巧归纳：只有对一件事情做出判定的语句才是命题，其中正确的命题是真命题，错误的命题是假命题．对于命题的真假(正误)判断问题，一般只需根据熟记的定义、公式、性质、判定定理等相关内容直接作出判断即可，有的则需要经过必要的推理与计算才能进一步确定真与假．

（三）典例精讲

例1 将一个有45度角的三角板的直角顶点放在一张宽为3 cm的纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30度角，如图21－1，则三角板的最大边的长为( )全套资料联系QQ/微信：1403225658

A、3CM B、6CM C、32CM D、62CM

[解析] 如图所示，过点A作AD⊥BD，垂足为D，所以AB＝2AD＝2×3＝6 (cm)，△ABC是等腰直角三角形，AC＝2AB＝62(cm)．

例2 一个长方体形的木柜放在墙角处(与墙面和地面均没有缝隙)，有一只蚂蚁从柜角A处沿

着木柜表面爬到柜角C1处．

(1)请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；

(2)当AB＝4，BC＝4，CC1＝5时，求蚂蚁爬过的最短路径的长； (3)求点B1到最短路径的距离．

解：(1)如图，木柜的表面展开图是两个矩形和．

蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图的AC′1和AC1.

(2)蚂蚁沿着木柜表面经线段A1B1到C′1，爬过的路径的长是l1＝4＋（4＋5）＝97. 蚂蚁沿着木柜表面经线段BB1到C1，爬过的路径的长是l2＝（4＋4）＋5＝89. l1>l2，最短路径的长是l2＝89. (3)作B1E⊥AC1于E，则B1E＝

B1C1420

·AA1＝·5＝89 AC18989

2

2

2

2

例3 已知三组数据：①2，3，4；②3，4，5；③1，，2.分别以每组数据中的三个数为三角形