求系统固有频率的方法

物体结构的固有频率是表示系统的一种固有特性，故计算固有频率，在工程动态问题中是很重要的，必须熟练掌握。

一、标准运动微分方程法

用动力学方法（动量定理、动量矩定理、动能定理，或拉格朗日方程等），建立系统的运动微分方程。将方程写成标准形式，即：

2????nxx?0

再由微分方程坐标参数的系数决定?n。注意这里所谓的坐标可以是线位移，也可以是角位移。

例 可绕水平轴摆动的物体，称为复摆（亦称物理摆），设物体的质量为m，对轴的转动惯量为J，中心C至轴O的距离为l，如图所示。求复摆微幅振动时的振动周期T。

解：取偏角?为坐标，以逆时针为正。由定轴转动时的动量矩定理，得复摆的运动微分方程为：

O l ????mglsin? J?在?很微小时，可令sin???，于是上式可写为：

? C ?mg mgl??????0 J这就是所求系统的微分方程标准形式。其坐标?前的系数就是系统固有

mgl圆频率的平方，即p?,则系统的固有周期为：

JT?2?J?2?pmgl

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二、静伸量长法

对质量弹簧系统（如图）而言，当系统在平衡位置时，弹簧有静伸长?st，(如图)。 其平衡方程为：k?st?p?mg。

k m l0 故k?mg?st。代入固有频率的表达式，则有：

km?st ?n??mgm?st?? （1.2.1）

stf?12?ggP 进一步又有：

?st （1.2.2）

其中：k、m应为系统的等效刚度及等效质量。这些都要记住

例 均值悬臂梁长为l，弯曲刚度为EI，重量不计，自由端附有重如图所示。试求出P?mg的物体，系统的固有频率。

l m ?st

y 解：由材料力学知，在物体重力的作用下，梁的自由端将有静挠度

Pl3?st?

3EI1代入公式得：f?2?1??st2?g3EIg1?3Pl?st2?3EIml3?st

3EI 3ml?st1答：系统的固有频率为：f?2?

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三、能量法

在阻尼可以略去不计的情况下，系统为一保守系统。振系在自由振动时的动能和势能之和（即机械能）保持常值。（仅质量—弹簧系统） 现我们仍以质量——弹簧系统为例(如图)。 不考虑阻尼，因大多数情况下小阻尼对固有频 k 率的影响不大。

0 现设系统的机械能是守恒的：那么系统在任 m x 何一个位置上具有的动能T和势能V的总和不变。就是说：

U机?T?V?常数 (a)

当振体在平衡位置以外的任一位置，其动能可表示为：

2?T?1mx (b) 2而这位置的势能V包括两部分，即：

V?Vg?VE (c)

振体的重力势能 ——— Vg ；及弹簧势能 ———VE 取系统的平衡位置为势能的零点，则

Vg??mgx

0VE??x?(mg?kx)dx?mgx?1kx2

22代入(c)式则得： V?Vg?VE?1kx (d)

2U机?T?VE?常数 (e)

在振动过程中，振体达到平衡位置时，x?0即系统的势能为零，但

振体的速度最大。也就是说，系统的全部机械能等于全部动能，即

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12?mTmax?mxax (f) 2??0，当振体达到极端位置时，即x?xmax时，其速度等于零，即:x故其动能为零。也就是说，系统的势能达到最大并且等于全部机械能，即：

Vmax?1kxmax (g) 2由于系统机械能是守恒的故有：

Tmax?Umax?Vmax （1.2.3） 即

2m2k2?max?xmax x22于是我们就有：

?maxxk???n (1.2.4) xmaxm这就是计算系统固有频率的能量法。 顺便说一下，如果将(a)式对时间求导数，即

dU?0 （1.2.5） dt可得到系统的微分方程，然后再用标准微分方程法求的系统的固有频率。

一般来说固有频率的计算有三种方法三种法的特点： 对于单个物体来说，用标准微分方程法较简单。 对于已知静伸长量时，用静伸长量法较为方便。尤其是对一些连续弹性体来说更为方便。

而能量法则主要用于系统较复杂的系统。象一些机构问题，则能显示出

能量法的优点。因问题仅归结为写出系统的动能和势能即可。条件仅是系统的机械能守恒

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