3拉格朗日方程及振动 下载本文

求系统固有频率的方法

物体结构的固有频率是表示系统的一种固有特性,故计算固有频率,在工程动态问题中是很重要的,必须熟练掌握。

一、标准运动微分方程法

用动力学方法(动量定理、动量矩定理、动能定理,或拉格朗日方程等),建立系统的运动微分方程。将方程写成标准形式,即:

2????nxx?0

再由微分方程坐标参数的系数决定?n。注意这里所谓的坐标可以是线位移,也可以是角位移。

例 可绕水平轴摆动的物体,称为复摆(亦称物理摆),设物体的质量为m,对轴的转动惯量为J,中心C至轴O的距离为l,如图所示。求复摆微幅振动时的振动周期T。

解:取偏角?为坐标,以逆时针为正。由定轴转动时的动量矩定理,得复摆的运动微分方程为:

O l ????mglsin? J?在?很微小时,可令sin???,于是上式可写为:

? C ?mg mgl??????0 J这就是所求系统的微分方程标准形式。其坐标?前的系数就是系统固有

mgl圆频率的平方,即p?,则系统的固有周期为:

JT?2?J?2?pmgl

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二、静伸量长法

对质量弹簧系统(如图)而言,当系统在平衡位置时,弹簧有静伸长?st,(如图)。 其平衡方程为:k?st?p?mg。

k m l0 故k?mg?st。代入固有频率的表达式,则有:

km?st ?n??mgm?st?? (1.2.1)

stf?12?ggP 进一步又有:

?st (1.2.2)

其中:k、m应为系统的等效刚度及等效质量。这些都要记住

例 均值悬臂梁长为l,弯曲刚度为EI,重量不计,自由端附有重如图所示。试求出P?mg的物体,系统的固有频率。

l m ?st

y 解:由材料力学知,在物体重力的作用下,梁的自由端将有静挠度

Pl3?st?

3EI1代入公式得:f?2?1??st2?g3EIg1?3Pl?st2?3EIml3?st

3EI 3ml?st1答:系统的固有频率为:f?2?

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三、能量法

在阻尼可以略去不计的情况下,系统为一保守系统。振系在自由振动时的动能和势能之和(即机械能)保持常值。(仅质量—弹簧系统) 现我们仍以质量——弹簧系统为例(如图)。 不考虑阻尼,因大多数情况下小阻尼对固有频 k 率的影响不大。

0 现设系统的机械能是守恒的:那么系统在任 m x 何一个位置上具有的动能T和势能V的总和不变。就是说:

U机?T?V?常数 (a)

当振体在平衡位置以外的任一位置,其动能可表示为:

2?T?1mx (b) 2而这位置的势能V包括两部分,即:

V?Vg?VE (c)

振体的重力势能 ——— Vg ;及弹簧势能 ———VE 取系统的平衡位置为势能的零点,则

Vg??mgx

0VE??x?(mg?kx)dx?mgx?1kx2

22代入(c)式则得: V?Vg?VE?1kx (d)

2U机?T?VE?常数 (e)

在振动过程中,振体达到平衡位置时,x?0即系统的势能为零,但

振体的速度最大。也就是说,系统的全部机械能等于全部动能,即

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12?mTmax?mxax (f) 2??0,当振体达到极端位置时,即x?xmax时,其速度等于零,即:x故其动能为零。也就是说,系统的势能达到最大并且等于全部机械能,即:

Vmax?1kxmax (g) 2由于系统机械能是守恒的故有:

Tmax?Umax?Vmax (1.2.3) 即

2m2k2?max?xmax x22于是我们就有:

?maxxk???n (1.2.4) xmaxm这就是计算系统固有频率的能量法。 顺便说一下,如果将(a)式对时间求导数,即

dU?0 (1.2.5) dt可得到系统的微分方程,然后再用标准微分方程法求的系统的固有频率。

一般来说固有频率的计算有三种方法三种法的特点: 对于单个物体来说,用标准微分方程法较简单。 对于已知静伸长量时,用静伸长量法较为方便。尤其是对一些连续弹性体来说更为方便。

而能量法则主要用于系统较复杂的系统。象一些机构问题,则能显示出

能量法的优点。因问题仅归结为写出系统的动能和势能即可。条件仅是系统的机械能守恒

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