成广义坐标的形式，即

??k?Fi??ri??Qj?qj （4）

ni?1j?1式中，Qj是对应于广义坐标qj的广义力。

（左边是主动力和直角坐标表示，而右边是广义力和广义位移表示。用

不同的坐标，但表示的都是主动力所作的功，是一回事） （3）式左边第二项表示惯性力系在质点系中的虚位移中的元功之和，将（2）式代入得：

??kn?ri?????ri??????mr??r?(mr??q)?(mr)?qj （5） ????iiiii?jii??qji?1i?1j?1?qjj?1i?1nnk（注意上式中和式次序的交换）为了将上式中位矢对时间的导数也用广义坐标形式表示，将上式括号中的式子改写为：

????ri?ridd?ri??????? （6） miri??(miri?)?miri??qjdt?qjdt?qj现在来证明上式中有关及的两个关系式：

1）、将（1）式位置矢量对时间求导数，可求得任一质点的速度

?k??ri?ri????j （7） vi?ri???q?tj?1?qj??ri?j表示广义坐标对时间的变化率，此式中，q称为广义速度。并且知道

?t??ri和仅仅是广义坐标及时间的函数。由此可求得一个关系式 ?qj 32

???vi?ri （8） ???qj?q2）、将（7）式对任一广义坐标q?求偏导数，得：

??2?2?k??vi?ri?ri?ri?j ????q?q??q??q??tj?1?q??qj?j只是时间的函数与其他广义坐（这里注意广义坐标相互是独立的，故q标无关）

另一方面，直接对（1）式位置矢量求广义坐标q?的偏导数后，再对时间t求偏导数得：

?2?2?k?ri?rid?ri?j ()???qdt?q??t?q?j?1?q??qj由此得到另外一个关系式（比较上面两式）

????r?rdi?(i) ?qjdt?qj将这两个关系式代入（6）式之中，可得到：

???22mvmvd???r?v?vd???iiii??i?(mv?i)?mv?i?()?() miviiiii?j2?j?qj2?qjdt?q?qjdt?q（矢量自身点乘即平方）将此结果代入（5）式中，并引入质点系动能T

mivi2 T??2i?1n由此可求得：

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kd?T?T????mr??r?(?)?qj （10） ??iii?j?qji?1j?1dt?qn将（4）式和（10）式代入普遍方程（3）式中，最后求得

d?T?T(Qj??)?qj?0 ??j?qjdt?qj?1显然，上式对于任意的广义坐标变分?qj恒等于零，因此，在各项中?qj的系数，即所有括号项中均分别为零上式才恒成立，即

kd?T?T??Qj (j?1,2,?,k) （11） ?j?qjdt?q这就是第二类拉格朗日方程。它描述具有完整约束的非自由质点系动力学的普遍规律。它是由k个二阶常微分方程组成的方程组，其中包含k个独立广义坐标。如将此方程组积分，就可求得解q1,q2,?,qk由时间参数表示的函数，这就是以广义坐标表示的质点系运动方程。它含有2k个由起始条件确定的常数，即t?0时的，质点系广义坐标和广义速度决定。

当主动力具有势时，设质点系的势能为V，这主动力的广义力为：

?V (j?1,2,?,k) Qj???qj因而拉格朗日方程可写成

d?T?T?? (j?1,2,?,k) ()????jdt?q?qj?qj由于势能V不依赖于广义速度，因而有

?V?0。如引入拉格朗日?j?q34

函数L?T?V，即它表示质点系的动能与势能之差。则上式可改写成：

d?L?L()??0 (j?1,2,?,k) ?jdt?q?qj此即在保守系统中，拉格朗日方程的形式。

由此可知，当解决在保守系统中的质点系中的质点系动力学问题，即要写出系统的运动微分方程时，就归结成为求拉格朗日函数L?T?V的问题。显然，拉格朗日函数具有能量的量纲。这不但在机械系统中成立，在电动力学中，有些问题也可求出拉格朗日函数，从而通过拉格朗日方程，来建立电动力学的运动微分方程，故拉格朗日函数及拉格朗日方程，具有更为普遍的意义。

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