三、（补）势力场、势能、

动能定理从能量的角度来描述物体的运动现象。现我们将力所作的功的概念进一步推广，可由能量的观点可推出拉格朗日方程。 （一）、势力场与势函数

如果质点在某空间内任何位置都受有一个大小，方向完全确定的作用力。即质点所受到的力仅与质点的位置有关，记为：F(x,y,z) 那么这个空间称之为力场。将F向坐标轴投影就有：

X?Fx(x,y,z) , Y?Fy(x,y,z) , Z?Fz(x,y,z)

设上述的函数是单值、连续、并且具有一阶偏导数。 现我们计算F在力场中运动时所作的功，由功的定义知道：

W??(Fxdx?Fydy?Fzdz) (其中L为质点运动的轨迹)

L一般地讲，这个积分与质点运动的路径有关。现仅讨论与路径无关的情况。这对于理解物体运动的本质是很有意义的。

如果上述的线积分仅与质点的起始位置与终了位置有关，而与路径无关。由高等数学知该微分三项式为某一函数的全微分，即

dU?(Fxdx?Fydy?Fzdz)。显然U是坐标x，y，z的函数，则定义：

U?U(x,y,z)———力场的势函数。

如果质点从M0运动到M，则代入上述的线积分则有：

WM0?M?M0?M?dU?U(x,y,z)?U(x0,y0,z0)

?U?U?U并且 Fx? ； Fy? ； Fz??x?z?y

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（二）、势能、势能函数

前面我们纯粹从数学的角度引进了势函数，通过势函数，我们可方便地计算有势力的功。势函数的概念比较抽象，但在矢量场的分析中具有普遍的意义。在我们力学分析中，还经常用到物理意义较为明显的势能函数，由势能函数来代替势函数。现我们来看两者的关系。首先来定义势能的概念。所谓势能即：

势能——当物体在势力场中某一位置时，具有作功的能量。

显然，势能具有相对的意义。选取不同的基准位置，则同一位置的势能具有不同的数值。

现以质点为例，由定义知：质点M点的势能等于质点从M点

?运动到???M00时，力场中的力所作的功。根据前面的讨论，这个功为

二点势函数的差。现我们用V来表示，即：

M0V?WM?M0??MdU?U0?U

即 V?U(x0,y0,z0)?U(x,y,z)

显然V是x，y，z的函数。则我们称 V——势能函数。 现我们将基准面M0选定为零势面，即U0?0故又有：

V??U

这就是说，势能函数与势函数仅差一个负号。由此我们又有

?U?V?U?V?U?VFx?????；Fy?；Fz? ???x?x?z?z?y?y几种常见的具体问题的势能函数书上P 都有。

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势能函数可以判断系统在某位置是否稳定。

dV当dxx?xMdV?0

dxx?xMd2V?0且 2dx?0

x?x0则系统在x?x0位置是渐近是稳定的。

（三）、机械能守恒定律：

设系统有两个位置（和两个瞬时）则：

T1?V1?T2?V2?常量

如果设一个状态为任意位置的，一个是初始的，则上式对时间求导数，可以得运动微分方程。即由T1?V1?T?V?常量，

dTdV??0 dtdt机械能守恒定律在碰撞中常用，即碰撞前和碰撞后，机械能守恒（包括动量守恒，动量矩守恒等等）

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拉格朗日方程

在推出动力学普遍方程时我们用的是直角坐标来表示质点系的运动。一般地说用直角坐标来表示质点系的运动并不总是方便的，特别是研究多自由度的非自由质点系动力学问题中，如果采用广义坐标来研究则方便得多。

设有一具有理想的完整约束（即几何条件的约束）的非自由质点系，并设此质点系具有k个自由度数，故可用k个广义坐标q1,q2,?,qk表示质点系的位置。作一直角坐标系0xyz，设质点系中任一质点Mi的位置，

??可用矢量ri(xi,yi,zi)表示。显然，如果约束是非定常的，则位矢ri是广

义坐标及时间的函数。即

??ri?ri(q1,q2,?,qk,t) (i?1,2,?,n) （1）

此处，n是质点系质点的数目。实际上这里也给出了质点系的约束方程

?有n?k个。?ri?qj(j?1,2,?,k)

??ri??ri???qj (i?1,2,?,n) （2）

j?1?qjk已知动力学普遍方程为：

??????(Fi?miri)??ri?0

ni?1展开后得：

??n??r??Fi??ri??mi?i??ri?0 （3）

ni?1i?1上式中左边第一项表示主动力系在质点系中的虚位移中的元功之和，写

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