20. 写出晶体绕直角坐标X、Y和Z轴转动θ角的操作矩阵和中心反演的操作矩阵。 答：晶体绕直角坐标X、Y和Z轴转动θ角的操作矩阵分别为：

0?1?s Ax?0co?????0sin?cos????sin??，Az?sin????co?s??0?0?sin?cos?00??cos??00? ，Ay????1????sin?0sin??10?? 0cos?????100???中心反演的操作矩阵为A?0?10。 ????00?1??21.分别在体心立方和面心立方晶体的晶胞中画出其原胞，并给出他们晶胞基矢与原胞基矢

的关系。

答：体心立方和面心立方晶体的晶胞中的原胞：

体心立方 面心立方

???a???a???a???体心立方：a1?(?i?j?k)，a2?(i?j?k)，a3?(i?j?k)

222???a??a??a??面心立方：a1?(j?k)，a2?(i?k)，a3?(i?j)

22222. 在立方晶胞中，画出（100）、（111）和（210）晶面。

解：

23.在立方晶胞中，画出（０２１）和（０１１）晶面。 解：

5

O

a 四、证明计算

1. 劳厄方程与布拉格公式是一致的。

bc c O a b

证明：由坐标空间劳厄方程： 与正倒格矢关系 比较可知：若

Rl?(k?k0)?2??

Rl?kh?2??

kh?k?k0成立

kh，则k方向产生衍射光，kh?k?k0式

即入射波矢k0，衍射波矢k之差为任意倒格矢

称为倒空间劳厄方程又称衍射三角形。

现由倒空间劳厄方程出发，推导Blagg公式，弹性散射

k?k0

由倒格子性质，倒格矢kh垂直于该晶面族。所以，kh的垂直平分面必与该晶面族平行。 由图可得知：

4?|kh|=2kSin?＝?k'hSin? (A) ）

'h|＝

又若|若

|为该方向的最短倒格矢，由倒格矢性质有：|K2?d

kh不是该方向最短倒格失，由倒格子周期性

'h2?k|k| h＝n||＝d.n （B） -

比较（A）、（B）二式可得 2dSin?＝n?

即为Blagg公式。

2. 证明不存在5度及6度以上的旋转对称轴。

如下图所示， A , B 是同一晶列上 O 格点的两个最近邻格点．如果绕通过 O 点并垂直子纸面的转轴顺时针旋转θ角，则 A 格点转到A?点．若此时晶格自身重合．A?点处原来必定有一格点．如果再绕通过 O 点的转轴逆时针旋转θ角，则晶格又恢复到未转动时的状态，

6

但逆时针旋转θ角，B格点转到B?点处，说明B?处原来必定有一格点．可以把格点看成分布在一族相互平行的晶列．由下图可知，A?B?晶列与 AB 晶列平行．平行的晶列具有相同的周期，若设该周期为 a ，则有

A?B??2a|cos?|?ma

其中m为整数，由余弦的取值范围可得

|cos?|?于是可得

m?12

m?0:???3?2,2

?2?4?5?m?1:??,,,3333

m?2:???,2?

因为逆时针旋转 3π/2，4π/3，5π/3分别等于顺时针旋转π/2，2π/3，π/3，所以晶格对称转动所允许的独立转角为

2?,?,上面的转角可统一写成

2???,,323

2?,n?1,2,3,4,6n

称n为转轴的度数．由此可知，晶格的周期性不允许有 5 度及6度以上的旋转对称轴。

3. 证明倒格子矢量G?hb1h2h3)的晶面系。 11?h2b2?h3b3垂直于密勒指数为(h

证明：因为CA?

a1a3aa?,CB?2?3，G?hb11?h2b2?h3b3 h1h3h2h37

利用ai?bj?2??ij，容易证明

Gh1h2h3?CA?0Gh1h2h3?CB?0

所以，倒格子矢量G?hb1h2h3)的晶面系。 11?h2b2?h3b3垂直于密勒指数为(h

4. 体心立方和面心立方点阵的倒易点阵 证明体心立方点阵的倒易点阵是面心立方点阵．反之，面心立方点阵的倒易点阵是体心立方点阵． [证明]

选体心立方点阵的初基矢量，

a1?a??y??z?? ?x2a??y??z?? a2???x2a??y??z?? a3??x2?,y?,z?是平行于立方体边的正交的单位矢量。 其中a是立方晶胞边长，x初基晶胞体积Vc?a1??a2?a3??根据式(2．1)计算倒易点阵矢量

13a 2b1?2?2?2?a2?a3,b2?a3?a1,b3?a1?a2 VcVcVc?xVcab1?a2?a3??2?2a2?xVcab2?a3?a1?2?2a2?ya2a?2?ya?2a2?zaa2??y?? ??x22a2?zaa2??z?? ??y22a?2 8