【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，直角三角形斜边上的中线，关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

19．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点M是AB边的中点，CH⊥AB于点H，CD平分∠ACB． （1）求证：∠1=∠2．

（2）过点M作AB的垂线交CD延长线于E，求证：CM=EM； （3）△AEB是什么三角形？证明你的猜想．

【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到AM=CM=BM，由等腰三角形到性质得到∠CAB=∠ACM，由余角的性质得到∠CAB=∠BCH，等量代换得到∠BCH=∠ACM，根据角平分线的性质得到∠ACD=∠BCD，即可得到结论； （2）根据EM⊥AB，CH⊥AB，得到EM∥AB，由平行线的性质得到∠HCD=∠MED，由于∠HCD=∠MCD，于是得到∠MCD=∠MED，即可得到结论；

（3）根据 CM=EM AM=CM=BM，于是得到EM=AM=BM，推出△AEB是直角三角形，由于 EM垂直平分AB，得到EA=EB于是得到结论． 【解答】证明：（1）Rt△ABC中，∠ACB=90°， ∵M是AB边的中点，

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∴AM=CM=BM， ∴∠CAB=∠ACM， ∴∠CAB=90﹣∠ABC， ∵CH⊥AB，

∴∠BCH=90﹣∠ABC， ∴∠CAB=∠BCH， ∴∠BCH=∠ACM， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD=∠BCD，

∴∠ACD﹣∠ACM=∠BCD﹣∠BCH， 即∠1=∠2；

（2）∵EM⊥AB，CH⊥AB， ∴EM∥CH， ∴∠HCD=∠MED， ∵∠HCD=∠MCD， ∴∠MCD=∠MED， ∴CM=EM；

（3）△AEB是等腰直角三角形， ∵CM=EM AM=CM=BM， ∴EM=AM=BM，

∴△AEB是直角三角形， ∵EM垂直平分AB， ∴EA=EB，

∴△AEB是等腰三角形， ∴△AEB是等腰直角三角形．

【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰直角三角形的判定和性质，角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，

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熟练掌握各定理是解题的关键．

20．如图，已知在△ABC中，延长CA到D，使BA=BD，延长BA到E，使CA=CE，设P、M、N分别是BC、AD、AE的中点．求证：△PMN是等腰三角形．

【分析】连接BM、CN，根据等腰三角形三线合一得到∠BMC=90°，根据直角三角形的性质得到MP=BC，同理NP=BC，得到答案． 【解答】证明：连接BM、CN， ∵BA=BD，DM=MA， ∴BM⊥AD，

∴∠BMC=90°，又BP=PC， ∴MP=BC， 同理，NP=BC， ∴MP=NP，

∴△PMN是等腰三角形．

【点评】本题考查的是直角三角形的性质和等腰三角形的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形三线合一是解题的关键．

21．如图，△ACB、△CDE为等腰直角三角形，∠CAB=∠CDE=90°，F为BE的中点，求证：AF⊥DF，AF=DF．

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【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AF=BF=AE，DF=BF=AE，再根据等边对等角可得∠ABF=∠BAF，∠DBF=∠BDF，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠AFD=2∠ABC，再根据等腰直角三角形的性质求解即可．

【解答】证明：∵∠CAB=∠CDE=90°，F为BE的中点， ∴AF=BF=AE，DF=BF=AE， ∴AF=DF，

∴∠ABF=∠BAF，∠DBF=∠BDF，

由三角形的外角性质得，∠AFD=∠ABF+∠BAF+∠DBF+∠BDF=2∠ABC， ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠ABC=45°， ∴∠AFD=90°， ∴AF⊥DF，

综上所述，AF⊥DF，AF=DF．

【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰直角三角形的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键．

22．已知等腰直角三角形ABC中，CD是斜边AB上的高，AE平分∠CAB交CD于E，在DB上取点F，使DF=DE，求证：CF平分∠DCB．

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